Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Sea $z = a + b \sqrt{3}\, i$ en ${\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i]\text{.}$ Si $a^2 + 3 b^2 = 1\text{,}$ muestre que $z$ es una unidad. Muestre que las únicas unidades de ${\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]$ son 1 y $-1\text{.}$

2

Los enteros Gaussianos, ${\mathbb Z}[i]\text{,}$ forman un DFU. Factorice cada uno de los siguientes elementos en ${\mathbb Z}[i]$ como producto de irreducibles.

1. 5

2. $1 + 3i$

3. $6 + 8i$

4. 2

3

Sea $D$ un dominio integral.

1. Demuestre que $F_D$ es un grupo abeliano bajo la operación de adición.

2. Muestre que la operación de multiplicación está bien-definida en el cuerpo de fracciones, $F_D\text{.}$

3. Verifique las propiedades aociativa y conmutativa en $F_D\text{.}$

4

Demuestre o refute: Cualquier subanillo de un cuerpo $F$ que contenga a 1 es un dominio integral.

5

Demuestre o refute: Si $D$ es un dominio integral, entonces todo elemento primo en $D$ también es irreducible en $D\text{.}$

6

Sea $F$ un cuerpo de característica cero. Demuestre que $F$ contiene un subcuerpo isomorfo a ${\mathbb Q}\text{.}$

7

Sea $F$ un cuerpo.

1. Demuestre que el cuerpo de fracciones de $F[x]\text{,}$ denotado por $F(x)\text{,}$ es isomorfo al conjunto de todas las expresiones racionales $p(x) / q(x)\text{,}$ donde $q(x)$ no es el polinomio cero.

2. Sean $p(x_1, \ldots, x_n)$ y $q(x_1, \ldots, x_n)$ polinomios en $F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}$ Muestre que el conjunto de todas las expresiones racionales $p(x_1, \ldots, x_n) / q(x_1, \ldots, x_n)$ es isomorfo al cuerpo de fracciones de $F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}$ Denotamos el cuerpo de fracciones de $F[x_1, \ldots, x_n]$ por $F(x_1, \ldots, x_n)\text{.}$

8

Sea $p$ un número primoy denote el cuerpo de fracciones de ${\mathbb Z}_p[x]$ por ${\mathbb Z}_p(x)\text{.}$ Demuestre que ${\mathbb Z}_p(x)$ es un cuerpo infinito de característica $p\text{.}$

9

Demuestre que el cuerpo de fracciones de los enteros Gaussianos, ${\mathbb Z}[i]\text{,}$ es

10

Un cuerpo $F$ se llama cuerpo primo si no tiene subcuerpos propios. Si $E$ es un subcuerpo de $F$ y $E$ es un cuerpo primo, entonces $E$ en un subcuerpo primo de $F\text{.}$

1. Demuestre que todo cuerpo contiene un único subcuerpo primo.

2. Si $F$ es un cuerpo de característica 0, demuestre que el subcuerpo primo de $F$ es isomorfo al cuerpo de los números racionales, ${\mathbb Q}\text{.}$

3. Si $F$ es un cuerpo de característica $p\text{,}$ demuestre que el subcuerpo primo de $F$ es isomorfo a ${\mathbb Z}_p\text{.}$

11

Sea ${\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.}$

1. Demuestre que ${\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]$ es un dominio integral.

2. Encuentre todas las unidades en ${\mathbb Z}[\sqrt{2}\, ]\text{.}$

3. Determine el cuerpo de fracciones de ${\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\text{.}$

4. Demuestre que ${\mathbb Z}[ \sqrt{2} i ]$ es un dominio Euclideano con la valuación Euclideana $\nu( a + b \sqrt{2}\, i) = a^2 + 2b^2\text{.}$

12

Sea $D$ un DFU. Un elemento $d \in D$ es un máximo divisor común de $a$ y $b$ en $D$ si $d \mid a$ y $d \mid b$ y $d$ es divisible por cualquier otro elemento que divida tanto a $a$ como a $b\text{.}$

1. Si $D$ es un DIP y $a$ y $b$ son ambos elementos distintos de cero en $D\text{,}$ demuestre que existe un único máximo común divisor de $a$ y $b$ salvo asociados. Es decir, si $d$ y $d'$ son ambos máximo común divisor de $a$ y $b\text{,}$ entonces $d$ y $d'$ son asociados. Escribimos $\gcd( a, b)$ para el máximo común divisor de $a$ y $b\text{.}$

2. Sea $D$ un DIP y sean $a$ y $b$ elementos distintos de cero en $D\text{.}$ Demuestre que existen elementos $s$ y $t$ en $D$ tales que $\gcd(a, b) = as + bt\text{.}$

13

Sea $D$ un dominio integral. Defina una relación en $D$ como $a \sim b$ si $a$ y $b$ son asociados en $D\text{.}$ Demuestre que $\sim$ es una relación de equivalencia en $D\text{.}$

14

Sea $D$ un dominio Euclideano con valuación Euclideana $\nu\text{.}$ Si $u$ es una unidad en $D\text{,}$ demuestre que $\nu(u) = \nu(1)\text{.}$

15

Sea $D$ un dominio Euclideano con valuación Euclideana $\nu\text{.}$ Si $a$ y $b$ son asociados en $D\text{,}$ demuestre que $\nu(a) = \nu(b)\text{.}$

16

Muestre que ${\mathbb Z}[\sqrt{5}\, i]$ no es un dominio de factorización única.

17

Demuestre o refute: Todo subdominio de un DFU también es un DFU.

18

Un ideal $I$ en un anillo conmutativo $R$ es finitamente generado si existen elementos $a_1, \ldots, a_n$ en $I$ such that every element $r \in I$ puede escribirse como $a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n$ para ciertos $r_1, \ldots, r_n$ en $R\text{.}$ Demuestre que $R$ satisface la condición de cadenas ascendentes si y solo sitodo ideal de $R$ es finitamente generado.

19

Sea $D$ un dominio integral en el que para cualquier cadena descendente de ideales $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\text{.}$ existe $N$ tal que $I_k = I_N$ para todo $k \geq N\text{.}$ Un anillo que satisface esta condición se dice que satisface la condición de cadenas descendentes, o CCD. Anillos que satisfacen la CCD se llaman anillos Artinianos, en honor a Emil Artin. Muestre que si $D$ satisface la condición de cadenas descendentes, entonces también satisface la condición de cadenas ascendentes.

20

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad. Definimos un subconjunto multiplicativo de $R$ como un subconjunto $S$ tal que $1 \in S$ y $ab \in S$ si $a, b \in S\text{.}$

1. Definamos una relación $\sim$ en $R \times S$ como $(a, s) \sim (a', s')$ si existe $s^\ast \in S$ tal que $s^\ast(s' a -s a') =0\text{.}$ Muestre que $\sim$ es una relaión de equivalencia en $R \times S\text{.}$

2. Denotems por $a/s$ a la clase de equivalencia de $(a,s) \in R \times S$ y sea $S^{-1}R$ el conjunto de todas las clases de equivalencia respecto a $\sim\text{.}$ Definamos las operaciones de adición yb multiplicación en $S^{-1} R$ como

   $$\begin{align*} \frac{a}{s} + \frac{b}{t} & = \frac{at + b s}{s t}\\ \frac{a}{s} \frac{b}{t} & = \frac{a b}{s t}, \end{align*}$$

   respectivamente. Demuestre que estas operaciones están bien-definidas en $S^{-1}R$ y que $S^{-1}R$ es un anillo con identidad bajo estas operaciones. El anillo $S^{-1}R$ se llama anillo de cocientes de $R$ respecto a $S\text{.}$

3. Muestre que la función $\psi : R \rightarrow S^{-1}R$ definida por $\psi(a) = a/1$ es un homomorfismo de anillos.

4. Si $R$ no tiene divisores de cero y $0 \notin S\text{,}$ muestre que $\psi$ es 1-1.

5. Demuestre que $P$ es un ideal primo de $R$ si y solo si $S = R \setminus P$ es un subconjunto multiplicativo de $R\text{.}$

6. Si $P$ es un ideal primo de $R$ y $S = R \setminus P\text{,}$ muestre que el anillo de cocientes $S^{-1}R$ tiene un único ideal maximal. Cualquier anillo que tiene un único ideal maximal se llama anillo local.