AATA Cuerpos de descomposición

Sección21.2Cuerpos de descomposición

Sea $F$ un cuerpo y $p(x)$ un polinomio no constante en $F[x]\text{.}$ Ya sabemos que podemos encontrar una extensión de cuerpos de $F$ que contiene una raíz de $p(x)\text{.}$ Sin embargo, quisiéramos saber si existe una extensión $E$ de $F$ que contenga todas las raíces de $p(x)\text{.}$ En otras palabras, ¿podemos encontrar una extensión de cuerpos de $F$ tal que $p(x)$ se fatoriza como productos de polinomios lineales? ¿Cuál es la “menor” extensión que contiene todas las raíces de $p(x)\text{?}$

Sea $F$ un cuerpo y $p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ un polinomio no constante en $F[x]\text{.}$ Una extensión de cuerpos $E$ de $F$ es un cuerpo de descomposición de $p(x)$ si existen $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ en $E$ tales que $E = F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )$ y

$\begin{equation*} p(x) = ( x - \alpha_1 )(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n). \end{equation*}$

Un polinomio $p(x) \in F[x]$ se descompone en $E$ si es producto de factores lineales en $E[x]\text{.}$

Ejemplo21.29

Sea $p(x) = x^4 + 2x^2 - 8$ en ${\mathbb Q}[x]\text{.}$ Entonces $p(x)$ tiene factores irreducibles $x^2 -2$ y $x^2 + 4\text{.}$ Por lo tanto, el cuerpo ${\mathbb Q}( \sqrt{2}, i )$ es un cuerpo de descomposición para $p(x)\text{.}$

Ejemplo21.30

Sea $p(x) = x^3 -3$ en ${\mathbb Q}[x]\text{.}$ Entonces $p(x)$ tiene una raíz en el cuerpo ${\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}$ Sin embargo, este cuerpo no es un cuerpo de descomposición para $p(x)$ pues las raíces cúbicas complejas de 3,

$\begin{equation*} \frac{ -\sqrt[3]{3} \pm (\sqrt[6]{3}\, )^5 i }{2}, \end{equation*}$

no están en ${\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}$

Teorema21.31

Sea $p(x) \in F[x]$ un polinomio no constante. Entonces hay un cuerpo de descomposición $E$ para $p(x)\text{.}$

Demostración

Procederemos por inducción sobre el grado de $p(x)\text{.}$ Si $\deg p(x) = 1\text{,}$ entonces $p(x)$ es un polinomio lineal y $E = F\text{.}$ Supongamos que el teorema es cierto para todos los polinomios de grado $k$ con $1 \leq k \lt n$ y sea $\deg p(x) = n\text{.}$ Podemos suponer que $p(x)$ es irreducible; de lo contrario, por la hipótesis de inducción, estamos listos. Por el Teorema 21.5, hay un cuerpo $K$ tal que $p(x)$ tiene una raíz $\alpha_1$ en $K\text{.}$ Luego, $p(x) = (x - \alpha_1)q(x)\text{,}$ con $q(x) \in K[x]\text{.}$ Como $\deg q(x) = n -1\text{,}$ hay un cuerpo de descomposición $E \supset K$ para $q(x)$ que contiene los ceros $\alpha_2, \ldots, \alpha_n$ de $p(x)$ por la hipótesis de inducción. Por lo tanto,

\begin{equation*} E = K(\alpha_2, \ldots, \alpha_n) = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \end{equation*}

es un cuerpo de descomposición para $p(x)\text{.}$

Surge ahora la pregunta sobre la unicidad del cuerpo de descomposición. Esta pregunta tiene respuesta afirmativa. Dados dos cuerpos de descomposición $K$ y $L$ de un polinomio $p(x) \in F[x]\text{,}$ hay un isomorfismo de cuerpos $\phi : K \rightarrow L$ que fija $F\text{.}$ Para demostrar este resultado, comenzaremos con un lema.

Lema21.32

Sea $\phi : E \rightarrow F$ un isomorfismo de cuerpos. Sea $K$ una extensión de cuerpos de $E$ y $\alpha \in K$ algebraico sobre $E$ con polinomio minimal $p(x)\text{.}$ Supongamos que $L$ es una extensión de cuerpos de $F$ tal que $\beta$ es raíz del polinomio en $F[x]$ obtenido a partir de $p(x)$ como imagen por $\phi\text{.}$ Entonces $\phi$ se extiende a un único isomorfismo $\overline{\phi} : E( \alpha ) \rightarrow F( \beta )$ tal que $\overline{\phi}( \alpha ) = \beta$ y $\overline{\phi}$ coincide con $\phi$ en $E\text{.}$

Demostración

Si $p(x)$ tiene grado $n\text{,}$ entonces por el Teorema 21.13 podemos escribir cualquier elemento en $E( \alpha )$ como combinación lineal de $1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}\text{.}$ Por lo tanto, el isomorfismo que buscamos debe ser

\begin{equation*} \overline{\phi}( a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1}) = \phi(a_0) + \phi(a_1) \beta + \cdots + \phi(a_{n - 1}) \beta^{n - 1}, \end{equation*}

donde

\begin{equation*} a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1} \end{equation*}

es un elemento en $E(\alpha)\text{.}$ El hecho de que $\overline{\phi}$ sea un isomorfismo se podría verificar de forma directa; sin embargo, es más fácil notar que $\overline{\phi}$ es una composición de funciones que ya sabemos que son homomorfismos.

Podemos extender $\phi$ a un isomorfismo de $E[x]$ a $F[x]\text{,}$ que también denotaremos por $\phi\text{,}$ haciendo

\begin{equation*} \phi( a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n ) = \phi( a_0 ) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n. \end{equation*}

Esta extensión coincide con el isomorfismo original $\phi : E \rightarrow F\text{,}$ pues los polinomios constantes son enviados a polinomios constantes. Por hipótesis, $\phi(p(x)) = q(x)\text{;}$ luego, $\phi$ envía $\langle p(x) \rangle$ en $\langle q(x) \rangle\text{.}$ Por lo tanto, tenemos un isomorfismo $\psi : E[x] / \langle p(x) \rangle \rightarrow F[x]/\langle q(x) \rangle\text{.}$ Por la Proposición 21.12, tenemos isomorfismos $\sigma: E[x]/\langle p(x) \rangle \rightarrow E(\alpha)$ y $\tau : F[x]/\langle q(x) \rangle \rightarrow F( \beta )\text{,}$ definidos por evaluación en $\alpha$ y $\beta\text{,}$ respectivamente. Por lo tanto, $\overline{\phi} = \tau \psi \sigma^{-1}$ es el isomorfismo requerido.

Dejamos la demostración de la unicidad como ejercicio.

Teorema21.33

Sea $\phi : E \rightarrow F$ un isomorfismo de cuerpos y sea $p(x)$ un polinomio no constante en $E[x]$ y $q(x)$ el correspondiente polinomio en $F[x]$ bajo el isomorfismo. Si $K$ es un cuerpo de descomposición para $p(x)$ y $L$ es un cuerpo de descomposición para $q(x)\text{,}$ entonces $\phi$ se extiende a un isomorfismo $\psi : K \rightarrow L\text{.}$

Demostración

Procederemos por inducción en el grado de $p(x)\text{.}$ Podemos suponer que $p(x)$ es irreducible sobre $E\text{.}$ Por lo tanto, $q(x)$ también es irreducible sobre $F\text{.}$ Si $\deg p(x) = 1\text{,}$ entonces por la definición de cuerpo de descomposición, $K = E$ y $L = F$ y no hay nada que demostrar.

Supongamos que el teorema vale para todos los polinomios de grado menor a $n\text{.}$ Como $K$ es un cuerpo de descomposición para $p(x)\text{,}$ todas la raíces de $p(x)$ están en $K\text{.}$ Digamos que $\alpha$ es una de esas raíces, tal que $E \subset E( \alpha ) \subset K\text{.}$ De forma similar, podemos encontrar una raíz $\beta$ de $q(x)$ en $L$ tal que $F \subset F( \beta) \subset L\text{.}$ Por el Lema 21.32, hay un isomorfismo $\overline{\phi} : E(\alpha ) \rightarrow F( \beta)$ tal que $\overline{\phi}( \alpha ) = \beta$ y $\overline{\phi}$ coincide con $\phi$ en $E\text{.}$

Escribamos ahora $p(x) = (x - \alpha ) f(x)$ y $q(x) = ( x - \beta) g(x)\text{,}$ donde los grados de $f(x)$ y $g(x)$ son menores a los grados de $p(x)$ y $q(x)\text{,}$ respectivamente. La extensión $K$ es un cuerpo de descomposición para $f(x)$ sobre $E( \alpha)\text{,}$ y $L$ es un cuerpo de descomposición para $g(x)$ sobre $F( \beta )\text{.}$ Por la hipótesis de inducción hay un isomorfismo $\psi : K \rightarrow L$ tal que $\psi$ coincide con $\overline{\phi}$ en $E( \alpha)\text{.}$ Luego, hay un isomorfismo $\psi : K \rightarrow L$ tal que $\psi$ coincide con $\phi$ en $E\text{.}$

Corolario21.34

Sea $p(x)$ un polinomio en $F[x]\text{.}$ Entonces hay un cuerpo de descomposición $K$ para $p(x)$ que es único salvo isomorfismo.