Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Supongamos que

Describa cada uno de ls siguientes conjuntos.

1. $A \cap B$

2. $B \cap C$

3. $A \cup B$

4. $A \cap (B \cup C)$

2

Si $A = \{ a, b, c \}\text{,}$ $B = \{ 1, 2, 3 \}\text{,}$ $C = \{ x \}\text{,}$ y $D = \emptyset\text{,}$ liste todos los elementos en cada uno de los siguientes conjuntos.

1. $A \times B$

2. $B \times A$

3. $A \times B \times C$

4. $A \times D$

3

Encuentre un ejemplo de dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ para los que $A \times B = B \times A$ es verdadero.

4

Demuestre que $A \cup \emptyset = A$ y $A \cap \emptyset = \emptyset\text{.}$

5

Demuestre que $A \cup B = B \cup A$ y $A \cap B = B \cap A\text{.}$

6

Demuestre que $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}$

7

Demuestre que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\text{.}$

8

Demuestre que $A \subset B$ si y solo si $A \cap B = A\text{.}$

9

Demuestre que $(A \cap B)' = A' \cup B'\text{.}$

10

Demuestre que $A \cup B = (A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\text{.}$

11

Demuestre que $(A \cup B) \times C = (A \times C ) \cup (B \times C)\text{.}$

12

Demuestre que $(A \cap B) \setminus B = \emptyset\text{.}$

13

Demuestre que $(A \cup B) \setminus B = A \setminus B\text{.}$

14

Demuestre que $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}$

15

Demuestre que $A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C)\text{.}$

16

Demuestre que $(A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\text{.}$

17

¿Cuál de las siguientes relaciones $f: {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Q}$ define una función? En cada caso, justifique por qué $f$ es o no es una función.

1. $\displaystyle f(p/q) = \frac{p+ 1}{p - 2}$

2. $\displaystyle f(p/q) = \frac{3p}{3q}$

3. $\displaystyle f(p/q) = \frac{p+q}{q^2}$

4. $\displaystyle f(p/q) = \frac{3 p^2}{7 q^2} - \frac{p}{q}$

18

Determine cuáles de las siguientes funciones son 1-1 y cuáles son sobre. Si la función no es sobre, determine su rango.

1. $f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ definida por $f(x) = e^x$

2. $f: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}$ definida por $f(n) = n^2 + 3$

3. $f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ definida por $f(x) = \sin x$

4. $f: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}$ definida por $f(x) = x^2$

19

Sean $f :A \rightarrow B$ y $g : B \rightarrow C$ funciones invertibles; es decir, funciones tales que $f^{-1}$ y $g^{-1}$ existen. Muestre que $(g \circ f)^{-1} =f^{-1} \circ g^{-1}\text{.}$

20

1. Defina una función $f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ que sea 1-1 pero no sobre.

2. Defina una función $f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ que sea sobre pero no 1-1.

21

Demuestre que la relación definida en ${\mathbb R}^2$ por $(x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)$ si $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2$ es una relación de equivalencia.

22

Sean $f : A \rightarrow B$ y $g : B \rightarrow C$ funciones.

1. Si $f$ y $g$ son ambas funciones 1-1, muestre que $g \circ f$ es 1-1.

2. Si $g \circ f$ es dobre, muestre que $g$ es sobre.

3. Si $g \circ f$ es 1-1, muestre que $f$ es 1-1.

4. Si $g \circ f$ es 1-1 y $f$ es sobre, muestre que $g$ es 1-1.

5. Si $g \circ f$ es sobre y $g$ es 1-1, muestre que $f$ es sobre.

23

Defina una función en los números reales como

¿Cuáles son el dominio y el rango de $f\text{?}$ ¿cuál es la inversa de $f\text{?}$ Calcule $f \circ f^{-1}$ y $f^{-1} \circ f\text{.}$

24

Sea $f: X \rightarrow Y$ una función con $A_1, A_2 \subset X$ y $B_1, B_2 \subset Y\text{.}$

1. Demuestre que $f( A_1 \cup A_2 ) = f( A_1) \cup f( A_2 )\text{.}$

2. Demuestre que $f( A_1 \cap A_2 ) \subset f( A_1) \cap f( A_2 )\text{.}$ Dé un ejemplo en que la igualdad falle.

3. Demuestre que $f^{-1}( B_1 \cup B_2 ) = f^{-1}( B_1) \cup f^{-1}(B_2 )\text{,}$ donde

   $$\begin{equation*} f^{-1}(B) = \{ x \in X : f(x) \in B \}. \end{equation*}$$

4. Demuestre que $f^{-1}( B_1 \cap B_2 ) = f^{-1}( B_1) \cap f^{-1}( B_2 )\text{.}$

5. Demuestre que $f^{-1}( Y \setminus B_1 ) = X \setminus f^{-1}( B_1)\text{.}$

25

Determine si las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia o no. Si la relación es una relación de equivalencia, describa la partición dada por ella. Si no lo es, indique qué es lo que falla.

1. $x \sim y$ en ${\mathbb R}$ si $x \geq y$

2. $m \sim n$ en ${\mathbb Z}$ si $mn > 0$

3. $x \sim y$ en ${\mathbb R}$ si $|x - y| \leq 4$

4. $m \sim n$ en ${\mathbb Z}$ si $m \equiv n \pmod{6}$

26

Defina una relación $\sim$ en ${\mathbb R}^2$ diciendo que $(a, b) \sim (c, d)$ si y solo si $a^2 + b^2 \leq c^2 + d^2\text{.}$ Muestre que $\sim$ es refleja y transitiva pero no simétrica.

27

Muestre que una matriz de $m \times n$ da lugar a una función bien-definida de ${\mathbb R}^n$ en ${\mathbb R}^m\text{.}$

28

Encuentre el error en el siguiente argumento mostrando un contraejemplo. “La propiedad refleja es redundante entre los axiomas para una relación de equivalencia. Si $x \sim y\text{,}$ entonces $y \sim x$ por la propiedad simétrica. Usando la transitividad, podemos deducir que $x \sim x\text{.}$”

29Recta Real Proyectiva

Defina una relación en ${\mathbb R}^2 \setminus \{ (0,0) \}$ haciendo $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)$ si existe un número real $\lambda$ distinto de cero tal que $(x_1, y_1) = ( \lambda x_2, \lambda y_2)\text{.}$ Demuestre que $\sim$ define una relación de equivalencia en ${\mathbb R}^2 \setminus (0,0)\text{.}$ ¿Cuáles son las correspondientes clases de equivalencia? Esta relación de equivalencia define la recta proyectiva, denotada por ${\mathbb P}({\mathbb R}) \text{,}$ que es muy importante en geometría.