AATA Clases Laterales

Sección6.1Clases Laterales

Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G\text{.}$ Defina una clase lateral izquierda de $H$ con representante $g \in G$ como el conjunto

$\begin{equation*} gH = \{ gh : h \in H \}. \end{equation*}$

Las clases laterales derechas pueden ser definidas similiarmente como

$\begin{equation*} Hg = \{ hg : h \in H \}. \end{equation*}$

Si las clases laterales izquierda y derecha coinciden o si es claro del contexto a qué tipo de clases laterales nos estamos refiriendo, diremos clase lateral sin especificar izquierda o derecha.

Ejemplo6.1

Sea $H$ el subgrupo de ${\mathbb Z}_6$ que consiste de los elementos 0 y 3. Las clases laterales son

$\begin{gather*} 0 + H = 3 + H = \{ 0, 3 \}\\ 1 + H = 4 + H = \{ 1, 4 \}\\ 2 + H = 5 + H = \{ 2, 5 \}. \end{gather*}$

Las clases laterales de subgrupos de ${\mathbb Z}$ y ${\mathbb Z}_n$ siempre las escribiremos con la notación aditiva que hemos usado acá. En un grupo conmutativo, las clases laterales izquierdas y derechas son siempre idénticas.

Ejemplo6.2

Sea $H$ el subgrupo de $S_3$ definido por las permutaciones $\{(1), (123), (132) \}\text{.}$ Las clases laterales izquierdas de $H$ son

$\begin{gather*} (1)H = (1 2 3)H = (132)H = \{(1), (1 23), (132) \}\\ (1 2)H = (1 3)H = (2 3)H = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}$

Las clases laterales derechas de $H$ son exactamente las mismas que las clases laterales izquierdas:

$\begin{gather*} H(1) = H(1 2 3) = H(132) = \{(1), (1 23), (132) \}\\ H(1 2) = H(1 3) = H(2 3) = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}$

No siempre es el caso que una clase lateral derecha sea igual a una clase lateral izquierda. Sea $K$ el subgrupo de $S_3$ definido por las permutaciones $\{(1), (1 2)\}\text{.}$ Entonces las clases laterales izquierdas de $K$ son

$\begin{gather*} (1)K = (1 2)K = \{(1), (1 2)\}\\ (1 3)K = (1 2 3)K = \{(1 3), (1 2 3)\}\\ (2 3)K = (1 3 2)K = \{(2 3), (1 3 2)\}; \end{gather*}$

pero, las clases laterales derechas de $K$ son

$\begin{gather*} K(1) = K(1 2) = \{(1), (1 2)\}\\ K(1 3) = K(1 3 2) = \{(1 3), (1 3 2)\}\\ K(2 3) = K(1 2 3) = \{(2 3), (1 2 3)\}. \end{gather*}$

El siguiente lema es bastante útil al tratar con clases laterales. (Dejamos su demostración como ejercicio.)

Lema6.3

Sea $H$ un subgrupo de un grupo $G$ y supongamos que $g_1, g_2 \in G\text{.}$ Las siguientes condiciones son equivalentes.

$g_1 H = g_2 H\text{;}$
$H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{;}$
$g_1 H \subset g_2 H\text{;}$
$g_2 \in g_1 H\text{;}$
$g_1^{-1} g_2 \in H\text{.}$

En todos los ejemplos que hemos visto, las clases laterales de un subgrupo $H$ particionan el grupo mayor $G\text{.}$ El siguiente teorema dice que esto siempre será el caso.

Teorema6.4

Sea $H$ un subgrupo de un grupo $G\text{.}$ Entonces las clases laterales izquierdas de $H$ en $G$ particionan $G\text{.}$ Es decir, el grupo $G$ es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de $H$ en $G\text{.}$

Demostración

Sean $g_1 H$ y $g_2 H$ dos clases laterales de $H$ en $G\text{.}$ Debemos mostrar que ya sea $g_1 H \cap g_2 H = \emptyset$ o $g_1 H = g_2 H\text{.}$ Supongamos que $g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset$ y $a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}$ Entonces por la definición de clase lateral izquierda, $a = g_1 h_1 = g_2 h_2$ para ciertos elementos $h_1$ y $h_2$ en $H\text{.}$ Luego, $g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}$ y $g_1 \in g_2 H\text{.}$ Por el Lema 6.3, $g_1 H = g_2 H\text{.}$

Nota6.5

No hay nada especial en este teorema respecto a clases laterales izquierdas. Las clases laterales derechas también particionan $G\text{;}$ la demostración de este hecho es exactamente la misma que para clases laterales izquierdas excepto que todas las multiplicaciones se deben hacer al lado opuesto de $H\text{.}$

Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G\text{.}$ Se define el índice índice de $H$ en $G$ como el número de clases laterales izquierdas de $H$ en $G\text{.}$ Denotaremos este índice por $[G:H]\text{.}$

Ejemplo6.6

Sea $G= {\mathbb Z}_6$ y sea $H = \{ 0, 3 \}\text{.}$ Entonces $[G:H] = 3\text{.}$

Ejemplo6.7

Supongamos que $G= S_3\text{,}$ $H = \{ (1),(123), (132) \}\text{,}$ y $K= \{ (1), (12) \}\text{.}$ Entonces $[G:H] = 2$ y $[G:K] = 3\text{.}$

Teorema6.8

Sea $H$ un subgrupo de un grupo $G\text{.}$ El número de clases laterales izquierdas de $H$ en $G$ es el mismo que el número de clases laterales derechas de $H$ en $G\text{.}$

Demostración

Sean ${\mathcal L}_H$ y ${\mathcal R}_H$ los conjuntos de clases laterales izquierdas y derechas respectivamente de $H$ en $G\text{.}$ Si podemos definir una función biyectiva $\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}$ entonces habremos demostrado el teorema. Si $gH \in {\mathcal L}_H\text{,}$ sea $\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}$ Por el Lema 6.3, la función $\phi$ está bien definida; es decir, si $g_1 H = g_2 H\text{,}$ entonces $H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}$ Para demostrar que $\phi$ es 1-1, supongamos que

\begin{equation*} H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}. \end{equation*}

Nuevamente por el Lema 6.3, $g_1 H = g_2 H\text{.}$ La función $\phi$ es sobre pues $\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}$