Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Muestre que cada uno de los siguientes números es algebraico sobre ${\mathbb Q}$ encontrando su polinomio minimal sobre ${\mathbb Q}\text{.}$

1. $\sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }$

2. $\sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}$

3. $\sqrt{3} + \sqrt{2}\, i$

4. $\cos \theta + i \sin \theta$ for $\theta = 2 \pi /n$ with $n \in {\mathbb N}$

5. $\sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }$

2

Encuentre una base para cada una de las siguientes extensiones de cuerpos. ¿Cuál es el grado de esta extensión?

1. ${\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )$ sobre ${\mathbb Q}$

2. ${\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )$ sobre ${\mathbb Q}$

3. ${\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)$ sobre ${\mathbb Q}$

4. ${\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )$ sobre ${\mathbb Q}$

5. ${\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )$ sobre ${\mathbb Q}$

6. ${\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )$ sobre ${\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )$

7. ${\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )$ sobre ${\mathbb Q}$

8. ${\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )$ sobre ${\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )$

9. ${\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )$ sobre ${\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )$

3

Encuentre el cuerpo de descomposición de cada uno de los siguientes polinomios.

1. $x^4 - 10 x^2 + 21$ sobre ${\mathbb Q}$

2. $x^4 + 1$ sobre ${\mathbb Q}$

3. $x^3 + 2x + 2$ sobre ${\mathbb Z}_3$

4. $x^3 - 3$ sobre ${\mathbb Q}$

4

Considere el cuerpo de extensión ${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$ sobre $\mathbb Q\text{.}$

1. Encuentre una base para el cuerpo de extensión ${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$ sobre $\mathbb Q\text{.}$ Concluya que $[{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}$

2. Encuentre todos los subcuerpos $F$ de ${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$ tal que $[F:\mathbb Q] = 2\text{.}$

3. Encuentre todos los subcuerpos $F$ de ${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$ tal que $[F:\mathbb Q] = 4\text{.}$

5

Demuestre que ${\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle$ es un cuerpo con 8 elementos. Construya una tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo del cuerpo.

6

Demuestre que el polígono regular de 9 lados no es constructible con regla y compas, pero el de 20 lados sí es constructible.

7

Demuestre que el coseno de un grado ($\cos 1^\circ$) es algebraico sobre ${\mathbb Q}$ pero no es constructible.

8

¿Se puede construir un cubo con tres veces el volumen de un cubo dado?

9

Demuestre que ${\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )$ es una extensión algebraica de ${\mathbb Q}$ pero no es una extensión finita.

10

Demuestre o refute: $\pi$ es algebraico sobre ${\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}$

11

Sea $p(x)$ un polinomio no constante de grado $n$ en $F[x]\text{.}$ Demuestre que existe un cuerpo de descomposición $E$ para $p(x)$ tal que $[E : F] \leq n!\text{.}$

12

Demuestre o refute: ${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}$

13

Demuestre que los cuerpos ${\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )$ and ${\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)$ son isomorfos pero no iguales.

14

Sea $K$ una extensión algebraica de $E\text{,}$ y $E$ una extensión algebraica de $F\text{.}$ Demuestre que $K$ es algebraico sobre $F\text{.}$ [Cuidado: No suponga que las extensiones son finitas.]

15

Demuestre o refute: ${\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle$ es un cuerpo.

16

Sea $F$ un cuerpo de característica $p\text{.}$ Demuestre que $p(x) = x^p - a$ es irreducible o se descompone completamente en $F\text{.}$

17

Sea $E$ la clausura algebraica de un cuerpo $F\text{.}$ Demuestre que todo polinomio $p(x)$ en $F[x]$ se descompone completamente en $E\text{.}$

18

Si todo polinomio irreducible $p(x)$ en $F[x]$ es lineal, demuestre que $F$ es un cuerpo algebraicamente cerrado.

19

Demuestre que si $\alpha$ y $\beta$ son números constructibles tales que $\beta \neq 0\text{,}$ entonces también lo es $\alpha / \beta\text{.}$

20

Demuestre que el conjunto de todos los elementos en ${\mathbb R}$ que son algebraicos sobre ${\mathbb Q}$ forma una extensión de cuerpos de ${\mathbb Q}$ que no es finita.

21

Sea $E$ una extensión algebraica de un cuerpo $F\text{,}$ y sea $\sigma$ un automorfismo de $E$ que fija $F\text{.}$ Sea $\alpha \in E\text{.}$ Demuestre que $\sigma$ induce una permutación del conjunto de ceros del polinomio minimal de $\alpha$ que están en $E\text{.}$

22

Muestre que ${\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}$ Extienda su demostración para demostrar que ${\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}$ donde $\gcd(a, b) = 1\text{.}$

23

Sea $E$ una extensión finita de un cuerpo $F\text{.}$ Si $[E:F] = 2\text{,}$ demuestre que $E$ es un cuerpo de descomposición sobre $F$ para algún polinomio $f(x) \in F[x]\text{.}$

24

Demuestre o refute: Dado un polinomio $p(x)$ en ${\mathbb Z}_6[x]\text{,}$ es posible construir un anillo $R$ tal que $p(x)$ tiene una raíz en $R\text{.}$

25

Sea $E$ una extensión de $F$ y $\alpha \in E\text{.}$ Determine $[F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}$

26

Sean $\alpha, \beta$ trascendente sobre ${\mathbb Q}\text{.}$ Pruebe que al menos uno de $\alpha \beta$ y $\alpha + \beta$ también es trascendente.

27

Sea $E$ una extensión de cuerpos de $F$ y sea $\alpha \in E$ trascendente sobre $F\text{.}$ Demuestre que cada elemento en $F(\alpha)$ que no está en $F$ también es trascendente sobre $F\text{.}$

28

Sea $\alpha$ una raíz de un polinomio irreducible $p(x) \in F[x]\text{,}$ con $\deg p = n\text{.}$ Demuestre que $[F(\alpha) : F] = n\text{.}$