Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Demuestre que $\det( AB) = \det(A) \det(B)$ para $A, B \in GL_2( {\mathbb R} )\text{.}$ Esto muestra que el determinante es un homomorfismo de $GL_2( {\mathbb R} )$ a ${\mathbb R}^*\text{.}$

2

¿Cuál de las siguientes funciones son homomorfismos? Si la función es un homomorfismo, cuál es el núcleo?

1. $\phi : {\mathbb R}^\ast \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})$ definida como

   $$\begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \end{equation*}$$

2. $\phi : {\mathbb R} \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})$ definida como

   $$\begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

3. $\phi : GL_2 ({\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}$ definida como

   $$\begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = a + d \end{equation*}$$

4. $\phi : GL_2 ( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}^\ast$ definida como

   $$\begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = ad - bc \end{equation*}$$

5. $\phi : {\mathbb M}_2( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}$ definida como

   $$\begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = b, \end{equation*}$$

   donde ${\mathbb M}_2( {\mathbb R})$ es el grupo aditivo de las matrices de $2 \times 2$ con coeficientes en ${\mathbb R}\text{.}$

3

Sea $A$ una matriz de $m \times n\text{.}$ Muestre que la multiplicación de matrices, $x \mapsto Ax\text{,}$ define un homomorfismo $\phi : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\text{.}$

4

Sea $\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}$ dada por $\phi(n) = 7n\text{.}$ Demuestre que $\phi$ es un homomorfismo de grupos. Encuentre el núcleo y la imagen de $\phi\text{.}$

5

Describa todos los homomorfismos de ${\mathbb Z}_{24}$ a ${\mathbb Z}_{18}\text{.}$

6

Describa todos los homomorfismos de ${\mathbb Z}$ a ${\mathbb Z}_{12}\text{.}$

7

En el grupo ${\mathbb Z}_{24}\text{,}$ sean $H = \langle 4 \rangle$ y $N = \langle 6 \rangle\text{.}$

1. Liste los elementos en $HN$ (usualmente escribimos $H + N$ para estos grupos aditivos) y $H \cap N\text{.}$

2. Liste las clases laterales en $HN/N\text{,}$ mostrando los elementos en cada una de ellas.

3. Liste las clases laterales en $H/(H \cap N)\text{,}$ mostrando los elementos en cada una de ellas.

4. Indique la correspondecia entre $HN/N$ y $H/(H \cap N)$ descrita en la demostración del Segundo Teorema de Isomorfía.

8

Si $G$ es un grupo abeliano y $n \in {\mathbb N}\text{,}$ demuestre que $\phi : G \rightarrow G$ definida como $g \mapsto g^n$ es un homomorfismo de grupos.

9

Si $\phi : G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos y $G$ es abeliano, demuestre que $\phi(G)$ también es abeliano.

10

Si $\phi : G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos y $G$ es cíclico, demuestre que $\phi(G)$ también es cíclico.

11

Muestre que un homomorfismo definido en un grupo cíclico está completamente determinado por su acción en el generador del grupo.

12

Si un grupo $G$ tiene exactamente un subgrupo $H$ de orden $k\text{,}$ demuestre que $H$ es normal en $G\text{.}$

13

Demuestre o refute: ${\mathbb Q} / {\mathbb Z} \cong {\mathbb Q}\text{.}$

14

Sea $G$ un grupo finito y sea $N$ un subgrupo normal de $G\text{.}$ Si $H$ es un subgrupo de $G/N\text{,}$ demuestre que $\phi^{-1}(H)$ es un subgrupo de $G$ de orden $|H| \cdot |N|\text{,}$ donde $\phi : G \rightarrow G/N$ es el homomorfismo canónico.

15

Sean $G_1$ y $G_2$ grupos, y sean $H_1$ y $H_2$ subgrupos normales de $G_1$ y $G_2$ respectivamente. Sea $\phi : G_1 \rightarrow G_2$ un homomorfismo. Muestre que $\phi$ induce un homomorfismo natural $\overline{\phi} : (G_1/H_1) \rightarrow (G_2/H_2)$ si $\phi(H_1) \subset H_2\text{.}$

16

Si $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$ y $H \cap K = \{ e \}\text{,}$ demuestre que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $G/H \times G/K\text{.}$

17

Sea $\phi : G_1 \rightarrow G_2$ un epimorfismo de grupos. Sea $H_1$ un subgrupo normal de $G_1$ y supongamos que $\phi(H_1) = H_2\text{.}$ Demuestre o refute que $G_1/H_1 \cong G_2/H_2\text{.}$

18

Sea $\phi : G \rightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Muestre que $\phi$ es 1-1 si y solo si $\phi^{-1}(e) = \{ e \}\text{.}$

19

Dado un homomorfismo $\phi :G \rightarrow H$ defina una relación $\sim$ en $G$ como $a \sim b$ si $\phi(a) = \phi(b)\text{.}$ Muestre que esta relación es de equivalencia y describa las clases de equivalencia.