Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Para cada uno de los siguientes grupos $G\text{,}$ determine si es que $H$ es un subgrupo normal de $G\text{.}$ Si $H$ es un subgrupo normal, escriba una tabla de Cayley para el grupo cociente $G/H\text{.}$

1. $G = S_4$ and $H = A_4$

2. $G = A_5$ and $H = \{ (1), (123), (132) \}$

3. $G = S_4$ and $H = D_4$

4. $G = Q_8$ and $H = \{ 1, -1, I, -I \}$

5. $G = {\mathbb Z}$ and $H = 5 {\mathbb Z}$

2

Encuentre todos los subgrupos de $D_4\text{.}$ ¿Cuáles subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos cociente de $D_4$ salvo isomorfismo?

3

Encuentre todos los subgrupos de the quaternion group, $Q_8\text{.}$ ¿Cuáles subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos cociente de $Q_8$ salvo isomorfismo?

4

Sea $T$ el grupo de matrices triangulares superiores no singulares de $2 \times 2$ con coeficientes en ${\mathbb R}\text{;}$ es decir, matrices de la forma

donde $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c \in {\mathbb R}$ y $ac \neq 0\text{.}$ Sea $U$ el conjunto de matrices de la forma

donde $x \in {\mathbb R}\text{.}$

1. Muestre que $U$ es un subgrupo de $T\text{.}$

2. Demuestre que $U$ es abeliano.

3. Demuestre que $U$ es normal en $T\text{.}$

4. Muestre que $T/U$ es abeliano.

5. ¿Es $T$ normal en $GL_2( {\mathbb R})\text{?}$

5

Muestre que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal.

6

Si $G$ es abeliano, demuestre que $G/H$ también es abeliano.

7

Demuestre o refute: Si $H$ es un subgrupo normal de $G$ tal que $H$ y $G/H$ son abelianos, entonces $G$ es abeliano.

8

Si $G$ es cíclico, demuestre que $G/H$ también es cíclico.

9

Demuestre o refute: Si $H$ y $G/H$ son cíclicos, entonces $G$ es cíclico.

10

Sea $H$ un subgrupo de índice 2 de un grupo $G\text{.}$ Demuestre que $H$ es normal en $G\text{.}$ Concluya que $S_n$ no es simple para $n \geq 3\text{.}$

11

Si un grupo $G$ tiene exactemente un subgrupo $H$ de orden $k\text{,}$ demuestre que $H$ es normal en $G\text{.}$

12

Defina el centralizador de un elemento $g$ en un grupo $G$ como el conjunto

Muestre que $C(g)$ es un subgrupo de $G\text{.}$ Si $g$ genera un subgrupo normal de $G\text{,}$ demuestre que $C(g)$ es normal en $G\text{.}$

13

Recuerde que el centro de un grupo $G$ es el conjunto

1. Calcule el centro de $S_3\text{.}$

2. Calcule el centro de $GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}$

3. Muestre que el centro de cualquier grupo $G$ es un subgrupo normal de $G\text{.}$

4. Si $G / Z(G)$ es cíclico, demuestre que $G$ es abeliano.

14

Sea $G$ un grupo y sea $G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}$ es decir, $G'$ es el subgrupo de todos los productos finitos de elementos en $G$ de la forma $aba^{-1}b^{-1}\text{.}$ El subgrupo $G'$ se llama subgrupo conmutador de $G\text{.}$

1. Muestre que $G'$ es un subgrupo normal de $G\text{.}$

2. Sea $N$ un subgrupo normal de $G\text{.}$ Demuestre que $G/N$ es abeliano si y solo si $N$ contiene al subgrupo conmutador de $G\text{.}$