AATA Ejercicios

Sección2.3Ejercicios

1

Demuestre que

$\begin{equation*} 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \end{equation*}$

para $n \in {\mathbb N}\text{.}$

2

Demuestre que

$\begin{equation*} 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \end{equation*}$

para $n \in {\mathbb N}\text{.}$

3

Demuestre que $n! \gt 2^n$ para $n \geq 4\text{.}$

4

Demuestre que

$\begin{equation*} x + 4x + 7x + \cdots + (3n - 2)x = \frac{n(3n - 1)x}{2} \end{equation*}$

para todo $n \in {\mathbb N}\text{.}$

5

Demuestre que $10^{n + 1} + 10^n + 1$ es divisible por 3 para todo $n \in {\mathbb N}\text{.}$

6

Demuestre que $4 \cdot 10^{2n} + 9 \cdot 10^{2n - 1} + 5$ es divisible por 99 para todo $n \in {\mathbb N}\text{.}$

7

Muestre que

$\begin{equation*} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k. \end{equation*}$

8

Demuestre la regla de Leibniz para $f^{(n)} (x)\text{,}$ donde $f^{(n)}$ es la $n$ -ésima derivada de $f\text{;}$ es decir, muestre que

$\begin{equation*} (fg)^{(n)}(x) = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n - k)}(x). \end{equation*}$

9

Use inducción para demostrar que $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2^{n + 1} - 1$ para todo $n \in {\mathbb N}\text{.}$

10

Demuestre que

$\begin{equation*} \frac{1}{2}+ \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1} \end{equation*}$

para todo $n \in {\mathbb N}\text{.}$

11

Si $x$ es un número real no negativo, demuestre que $(1 + x)^n - 1 \geq nx$ para $n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}$

12Conjunto Potencia

Sea $X$ un conjunto. Defina el conjunto potencia de $X\text{,}$ denotado ${\mathcal P}(X)\text{,}$ como el conjunto de todos los subconjuntos de $X\text{.}$ Por ejemplo,

$\begin{equation*} {\mathcal P}( \{a, b\} ) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \}. \end{equation*}$

Para todo entero positivo $n\text{,}$ muestre que un conjunto con exactamente $n$ elementos tiene un conjunto potencia con exactamente $2^n$ elementos.

13

Demuestre que que los dos Principios de Inducción enunciados en la Sección2.1 son equivalentes.

14

Muestre que el Principio del Buen-Orden para los números naturales implica que 1 es el menor número natural. Use este resultado para mostrar que el Principio del Buen-Orden implica el Principio de Inducción; es decir, muestre que si $S \subset {\mathbb N}$ tal que $1 \in S$ y $n + 1 \in S$ cada vez que $n \in S\text{,}$ entonces $S = {\mathbb N}\text{.}$

15

Para cada uno de los siguientes pares de números $a$ y $b\text{,}$ calcule $\gcd(a,b)$ y encuentre enteros $r$ y $s$ tales que $\gcd(a,b) = ra + sb\text{.}$

14 y 39
234 y 165
1739 y 9923
471 y 562
23771 y 19945
$-4357$ y 3754

16

Sean $a$ y $b$ enteros distintos de cero. Si existen enteros $r$ y $s$ tales que $ar + bs =1\text{,}$ muestre que $a$ y $b$ son relativamente primos.

17Números de Fibonacci

Los Números de Fibonacci son

$\begin{equation*} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots. \end{equation*}$

Podemos definirlos recursivamente como $f_1 = 1\text{,}$ $f_2 = 1\text{,}$ y $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n$ para $n \in {\mathbb N}\text{.}$

Demuestre que $f_n \lt 2^n\text{.}$
Demuestre que $f_{n + 1} f_{n - 1} = f^2_n + (-1)^n\text{,}$ $n \geq 2\text{.}$
Demuestre que $f_n = [(1 + \sqrt{5}\, )^n - (1 - \sqrt{5}\, )^n]/ 2^n \sqrt{5}\text{.}$
Muestre que $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n / f_{n + 1} = (\sqrt{5} - 1)/2\text{.}$
Demuestre que $f_n$ y $f_{n + 1}$ son relativamente primos.

18

Sean $a$ y $b$ enteros tales que $\gcd(a,b) = 1\text{.}$ Sean $r$ y $s$ enteros tales que $ar + bs =1\text{.}$ Demuestre que

$\begin{equation*} \gcd(a,s) = \gcd(r,b) = \gcd(r,s) = 1. \end{equation*}$

19

Sean $x, y \in {\mathbb N}$ relativamente primos. Si $xy$ es un cuadrado perfecto, demuestre que $x$ e $y$ son ambos cuadrados perfectos.

20

Usando el algoritmo de división, muestre que todo cuadrado perfecto es de la forma $4k$ o $4k + 1$ para algún entero no negativo $k\text{.}$

21

Supongamos que $a, b, r, s$ son relativamente primos de a pares y que

$\begin{align*} a^2 + b^2 & = r^2\\ a^2 - b^2 & = s^2. \end{align*}$

Demuestre que $a\text{,}$ $r\text{,}$ y $s$ son impares y que $b$ es par.

22

Sea $n \in {\mathbb N}\text{.}$ Use el algoritmo de división para demostrar que todo entero es congruente mód $n$ a exactamente uno de los enteros $0, 1, \ldots, n-1\text{.}$ Concluya que si $r$ es un entero, entonces hay exactamente un $s$ en ${\mathbb Z}$ tal que $0 \leq s \lt n$ y $[r] = [s]\text{.}$ Luego, los enteros están efectivamente particionados por la relación de congruencia mód $n\text{.}$

23

Defina el mínimo común múltiplo de dos enteros distintos de cero $a$ y $b\text{,}$ denotado por $\lcm(a,b)\text{,}$ como el entero positivo $m$ tal que tanto $a$ como $b$ dividen a $m\text{,}$ y si $a$ y $b$ dividen a otro entero $n\text{,}$ entonces $m$ también divide a $n\text{.}$ Demuestre que existe un único mínimo común múltiplo para cualquiera dos enteros $a$ y $b$ distintos de cero.

24

Si $d= \gcd(a, b)$ y $m = \lcm(a, b)\text{,}$ demuestre que $dm = |ab|\text{.}$

25

Muestre que $\lcm(a,b) = ab$ si y solo si $\gcd(a,b) = 1\text{.}$

26

Demuestre que $\gcd(a,c) = \gcd(b,c) =1$ si y solo si $\gcd(ab,c) = 1$ para todos los enteros $a\text{,}$ $b\text{,}$ y $c\text{.}$

27

Sean $a, b, c \in {\mathbb Z}\text{.}$ Demuestre que si $\gcd(a,b) = 1$ y $a \mid bc\text{,}$ entonces $a \mid c\text{.}$

28

Sea $p \geq 2\text{.}$ Demuestre que si $2^p - 1$ es primo, entonces $p$ también es primo.

29

Demuestre que hay infinitos primos de la forma $6n + 5\text{.}$

30

Demuestre que hay infinitos primos de la forma $4n - 1\text{.}$

31

Usando el hecho que 2 es primo, muestre que no existen enteros $p$ y $q$ tales que $p^2 = 2 q^2\text{.}$ Demuestre que por lo tanto $\sqrt{2}$ no puede ser un número racional.