AATA Grupos Actuando en Conjuntos

Sección14.1Grupos Actuando en Conjuntos

Sea $X$ un conjunto y sea $G$ un grupo. Una acción (izquierda) de $G$ en $X$ es una función $G \times X \rightarrow X$ dada por $(g,x) \mapsto gx\text{,}$ donde

$ex = x$ para todo $x \in X\text{;}$
$(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)$ para todo $x \in X$ y todo $g_1, g_2 \in G\text{.}$

Con estas condiciones $X$ se denomina $G$ -conjunto. Notemos que no pedimos que $X$ esté relacionado con $G$ de ninguna forma. Es verdad que cualquier grupo $G$ actúa en cualquier $X$ con la acción trivial $(g,x) \mapsto x\text{;}$ pero, las acciones de grupo resultan más interesantes si el conjunto $X$ tiene alguna relación con $G\text{.}$

Ejemplo14.1

Sean $G = GL_2( {\mathbb R} )$ y $X = {\mathbb R}^2\text{.}$ Entonces $G$ actúa en $X$ por multiplicación a la izquierda. Si $v \in {\mathbb R}^2$ e $I$ es la matriz identidad, entonces $Iv = v\text{.}$ Si $A$ y $B$ son matrices invertibles de $2 \times 2\text{,}$ entonces $(AB)v = A(Bv)$ pues la multiplicación de matrices es asociativa.

Ejemplo14.2

Sea $G = D_4$ el grupo de simentría de un cuadrado. Si $X = \{ 1, 2, 3, 4 \}$ es el conjunto de vértices del cuadrado, entonces podemos considerar $D_4$ como el conjunto de las siguientes permutaciones:

$\begin{equation*} \{ (1), (13), (24), (1432), (1234), (12)(34), (14)(23), (13)(24) \}. \end{equation*}$

Los elementos de $D_4$ actúan en $X$ como funciones. La permutación $(13)(24)$ actúa en el vértice 1 enviándolo al vértice 3, en el vértice 2 enviándolo al vértice 4, y así sucesivamente. Es fácil ver que se satisfacen los axiomas de acción de grupo.

En general, si $X$ es cualquier conjunto y $G$ es un subgrupo de $S_X\text{,}$ el grupo de todas las permutaciones actuando en $X\text{,}$ entonces $X$ es un $G$ -conjunto con la acción de grupo

$\begin{equation*} (\sigma, x) \mapsto \sigma(x) \end{equation*}$

para $\sigma \in G$ y $x \in X\text{.}$

Ejemplo14.3

Si tomamos $X = G\text{,}$ entonces cualquier grupo $G$ actúa en sí mismo por medio de su representación regular izquierda; es decir, $(g,x) \mapsto \lambda_g(x) = gx\text{,}$ donde $\lambda_g$ es multiplicación a la izquierda:

$\begin{gather*} e \cdot x = \lambda_e x = ex = x\\ (gh) \cdot x = \lambda_{gh}x = \lambda_g \lambda_h x = \lambda_g(hx) = g \cdot ( h \cdot x). \end{gather*}$

Si $H$ es un subgrupo de $G\text{,}$ entonces $G$ es un $H$ -conjunto bajo multiplicación izquierda por elementos de $H\text{.}$

Ejemplo14.4

Sea $G$ un grupo y supongamos que $X=G\text{.}$ Si $H$ es un subgrupo de $G\text{,}$ entonces $G$ es un $H$ -conjunto bajo conjugación; es decir, podemos definir una acción de $H$ en $G\text{,}$

$\begin{equation*} H \times G \rightarrow G, \end{equation*}$

via

$\begin{equation*} (h,g) \mapsto hgh^{-1} \end{equation*}$

para $h \in H$ y $g \in G\text{.}$ Claramente, se satisface el primer axioma para una acción de grupo. Observando que

$\begin{align*} (h_1 h_2, g) & = h_1 h_2 g (h_1 h_2 )^{-1}\\ & = h_1( h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}\\ & = (h_1, (h_2, g) ), \end{align*}$

vemos que la segunda condición también se satisface.

Ejemplo14.5

Sea $H$ un subgrupo de $G$ y ${\mathcal L}_H$ el conjunto de clases laterales izquierdas de $H\text{.}$ El conjunto ${\mathcal L}_H$ es un $G$ -conjunto bajo la acción

$\begin{equation*} (g, xH) \mapsto gxH. \end{equation*}$

Nuevamente, es fácil ver que se satisface el primer axioma. Como $(g g')xH = g( g'x H)\text{,}$ el segundo axioma también es válido.

Si $G$ actúa en un conjunto $X$ y $x, y \in X\text{,}$ entonces $x$ se dice $G$ -equivalente a $y$ si existe $g \in G$ tal que $gx =y\text{.}$ Escribimos $x \sim_G y$ o $x \sim y$ si dos elementos son $G$ -equivalentes.

Proposición14.6

Sea $X$ un $G$ -conjunto. Entonces la $G$ -equivalencia es una relación de equivalencia en $X\text{.}$

Demostración

La relación $\sim$ es refleja pues $ex = x\text{.}$ Supongamos que $x \sim y$ para $x, y \in X\text{.}$ Entonces existe $g$ tal que $gx = y\text{.}$ En ese caso $g^{-1}y=x\text{;}$ por lo que $y \sim x\text{.}$ Para mostrar que la relación es transitiva, supongamos que $x \sim y$ e $y \sim z\text{.}$ Entonces existen elementos $g$ y $h$ del grupo tale que $gx = y$ y $hy= z\text{.}$ Así $z = hy = (hg)x\text{,}$ y $x$ es equivalente a $z\text{.}$

Si $X$ es un $G$ -conjunto, entonces cualquier parte de la partición de $X$ asociada a la $G$ -equivalencia se denomina órbita de $X$ bajo $G\text{.}$ A la órbita que contiene un elemento $x$ de $X$ la denotaremos como ${\mathcal O}_x\text{.}$

Ejemplo14.7

Sea $G$ el grupo de permutaciones definido por

$\begin{equation*} G =\{(1), (1 2 3), (1 3 2), (4 5), (1 2 3)(4 5), (1 3 2)(4 5) \} \end{equation*}$

y $X = \{ 1, 2, 3, 4, 5\}\text{.}$ Entonces $X$ es un $G$ -conjunto. Las órbitas son ${\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 =\{1, 2, 3\}$ y ${\mathcal O}_4 = {\mathcal O}_5 = \{4, 5\}\text{.}$

Ahora supongamos que $G$ es un grupo actuando en un conjunto $X$ y sea $g$ un elemento de $G\text{.}$ El conjunto de puntos fijos de $g$ en $X\text{,}$ denotado por $X_g\text{,}$ es el conjunto de todos los $x \in X$ tales que $gx = x\text{.}$ Podemos también estudiar los elementos $g$ del grupo que fijan un $x \in X$ dado. Este conjunto es más que un subconjunto de $G\text{,}$ es un subgrupo. Este subgrupo se llama el subgrupo estabilizador o subgrupo de isotropía de $x\text{.}$ Denotaremos el subgrupo estabilizador de $x$ por $G_x\text{.}$

Nota14.8

Es importante recordar que $X_g \subset X$ y $G_x \subset G\text{.}$

Ejemplo14.9

Sea $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y supongamos que $G$ es el grupo de permutaciones dado por las permutaciones

$\begin{equation*} \{ (1), (1 2)(3 4 5 6), (3 5)(4 6), (1 2)( 3 6 5 4) \}. \end{equation*}$

Entonces los conjuntos de puntos fijos de $X$ bajo la acción de $G$ son

$\begin{gather*} X_{(1)} = X,\\ X_{(3 5)(4 6)} = \{1,2\},\\ X_{(1 2)(3 4 5 6)} = X_{(1 2)(3 6 5 4)} = \emptyset, \end{gather*}$

y los subgrupos estabilizadores son

$\begin{gather*} G_1 = G_2 = \{(1), (3 5)(4 6) \},\\ G_3 = G_4 = G_5 = G_6 = \{(1)\}. \end{gather*}$

Es fácil ver que $G_x$ es un subgrupo de $G$ para cada $x \in X\text{.}$

Proposición14.10

Sea $G$ un grupo actuando en un conjunto $X$ y sea $x \in X\text{.}$ El estabilizador de $x\text{,}$ $G_x\text{,}$ es un subgrupo de $G\text{.}$

Demostración

Claramente, $e \in G_x$ pues la identidad deja fijo cada elemento en el conjunto $X\text{.}$ Sean $g, h \in G_x\text{.}$ Entonces $gx = x$ y $hx = x\text{.}$ Entonces $(gh)x = g(hx) = gx = x\text{;}$ luego, el producto de dos elementos en $G_x$ también está en $G_x\text{.}$ Finalmente, si $g \in G_x\text{,}$ entonces $x = ex = (g^{-1}g)x = (g^{-1})gx = g^{-1} x\text{.}$ Así $g^{-1}$ está en $G_x\text{.}$

El número de elementos en el conjunto de puntos fijos de un elemento $g \in G$ lo denotaremos por $|X_g|$ y el número de elementos en la órbita de $x \in X$ lo denotaremos por $|{\mathcal O}_x|\text{.}$ Los siguientes teoremas establecen la relación entre las órbitas de un elemento $x \in X$ y las clases laterales izquierdas de $G_x$ en $G\text{.}$

Teorema14.11

Sea $G$ un grupo finito y sea $X$ un $G$ -conjunto finito. Si $x \in X\text{,}$ entonces $|{\mathcal O}_x| = [G:G_x]\text{.}$

Demostración

Sabemos que $|G|/|G_x|$ es el número de clases laterales izquierdas de $G_x$ en $G$ por el Teorema de Lagrange (Teorema 6.10). Definiremos una función biyetiva $\phi$ de la órbita ${\mathcal O}_x$ de $x$ al conjunto de clases laterales izquierdas ${\mathcal L}_{G_x}$ de $G_x$ en $G\text{.}$ Sea $y \in {\mathcal O}_x\text{.}$ Entonces existe $g$ en $G$ tal que $g x = y\text{.}$ Definamos $\phi$ de forma que $\phi( y ) = g G_x\text{.}$ Para mostrar que $\phi$ es 1-1, supongamos que $\phi(y_1) = \phi(y_2)\text{.}$ Entonces

\begin{equation*} \phi(y_1) = g_1 G_x = g_2 G_x = \phi(y_2), \end{equation*}

donde $g_1 x = y_1$ y $g_2 x = y_2\text{.}$ Como $g_1 G_x = g_2 G_x\text{,}$ existe $g \in G_x$ tal que $g_2 = g_1 g\text{,}$

\begin{equation*} y_2 = g_2 x = g_1 g x = g_1 x = y_1; \end{equation*}

por lo tanto, la función $\phi$ es 1-1. Finalmente, debemos mostrar que $\phi$ es epiyectiva. Sea $g G_x$ una clase lateral izquierda. Si $g x = y\text{,}$ entonces $\phi(y) = g G_x\text{.}$