Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son anillos con las operaciones usuales de adición y multiplicación? Si el conjunto es un anillos, ¿es además un cuerpo?

1. $7 {\mathbb Z}$

2. ${\mathbb Z}_{18}$

3. ${\mathbb Q} ( \sqrt{2}\, ) = \{a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q}\}$

4. ${\mathbb Q} ( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} : a, b, c, d \in {\mathbb Q}\}$

5. ${\mathbb Z}[\sqrt{3}\, ] = \{ a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Z} \}$

6. $R = \{a + b \sqrt[3]{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}$

7. ${\mathbb Z}[ i ] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \text{ e } i^2 = -1 \}$

8. ${\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, ) = \{ a + b \sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} : a, b, c \in {\mathbb Q} \}$

2

Sea $R$ el anillo de las matrices de $2 \times 2$ de la forma

donde $a, b \in {\mathbb R}\text{.}$ Muestre que si bien $R$ es un anillo que no tiene identidad, podemos encontrar un subanillo $S$ de $R$ con identidad.

3

Liste o caracterice todas las unidades en cada uno de los siguientes anillos.

1. ${\mathbb Z}_{10}$

2. ${\mathbb Z}_{12}$

3. ${\mathbb Z}_{7}$

4. ${\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}$ las martices de $2 \times 2$ con coeficientes en ${\mathbb Z}$

5. ${\mathbb M}_2( {\mathbb Z}_2 )\text{,}$ las martices de $2 \times 2$ con coeficientes en ${\mathbb Z}_2$

4

Encuentre todos los ideales de cada uno de los anillos siguientes. ¿Cuáles de estos ideales son maximales? ¿Cuáles son primos?

1. ${\mathbb Z}_{18}$

2. ${\mathbb Z}_{25}$

3. ${\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\text{,}$ las martices de $2 \times 2$ con coeficientes en ${\mathbb R}$

4. ${\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}$ las martices de $2 \times 2$ con coeficientes en ${\mathbb Z}$

5. ${\mathbb Q}$

5

Para cada uno de los siguientes anillos $R$ con ideal $I\text{,}$ escriba una tabla de adición y una tabla de multiciplicación para $R/I\text{.}$

1. $R = {\mathbb Z}$ and $I = 6 {\mathbb Z}$

2. $R = {\mathbb Z}_{12}$ and $I = \{ 0, 3, 6, 9 \}$

6

Encuentre todos los homomorfismos $\phi : {\mathbb Z} / 6 {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z} / 15 {\mathbb Z}\text{.}$

7

Demuestre que ${\mathbb R}$ no es isomorfo a ${\mathbb C}\text{.}$

8

Demuestre o refute: El anillo ${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}$ es isomorfo al anillo ${\mathbb Q}( \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}$

9

¿Cuál es la característica del cuerpo formado por el conjunto de matrices

con coeficientes en ${\mathbb Z}_2\text{?}$

10

Defina una función $\phi : {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb M}_2 ({\mathbb R})$ como

Muestre que $\phi$ es un isomorfismo de ${\mathbb C}$ con su imagen en ${\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\text{.}$

11

Demuestre que los enteros Gaussianos, ${\mathbb Z}[i ]\text{,}$ forman un dominio integral.

12

Demuestre que ${\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i : a, b \in {\mathbb Z} \}$ es un dominio integral.

13

Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de congruencias.

1. $$\begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{5}\\ x & \equiv 6 \pmod{11} \end{align*}$$

2. $$\begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{7}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 5 \pmod{15} \end{align*}$$

3. $$\begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{4}\\ x & \equiv 4 \pmod{7}\\ x & \equiv 7 \pmod{9}\\ x & \equiv 5 \pmod{11} \end{align*}$$

4. $$\begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{5}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 1 \pmod{11}\\ x & \equiv 5 \pmod{13} \end{align*}$$

14

Use el método de computación paralela descrito en el texto para calcular $2234 + 4121$ separando el cálculo en cuatro sumas módulo 95, 97, 98, y 99.

15

Explique por qué el método de computación paralela descrito en el texto falla para $2134 \cdot 1531$ si intentamos descomponer el cálculo en dos cálculo menores módulo 98 y 99.

16

Si $R$ es un cuerpo, muestre que los únicos dos ideales de $R$ son $\{ 0 \}$ y $R$ mismo.

17

Sea $a$ un elemento cualquiera en el anillo $R$ con identidad. Muestre que $(-1)a = -a\text{.}$

18

Sea $\phi : R \rightarrow S$ un homomorfismo de anillos. Demuestre cada uno de los siguientes enunciados.

1. Si $R$ es un anillo conmutativo, entonces $\phi(R)$ es un anillo conmutativo.

2. $\phi( 0 ) = 0\text{.}$

3. Sean $1_R$ y $1_S$ las identidades de $R$ y $S\text{,}$ respectivamente. Si $\phi$ es sobreyectivo, entonces $\phi(1_R) = 1_S\text{.}$

4. Si $R$ es un cuerpo y $\phi(R) \neq 0\text{,}$ entonces $\phi(R)$ es un cuerpo.

19

Demuestre que se satisfacen la asociatividad de la multiplicación y la distributividad en $R/I\text{.}$

20

Demuestre el Segundo Teorema de Isomorfía para anillos: Sea $I$ un subanillo de un anillo $R$ y sea $J$ un ideal en $R\text{.}$ Entonces $I \cap J$ es un ideal en $I$ y

21

Demuestre el Tercer Teorema de Isomorfía para anillos: Sea $R$ un anillo y sean $I$ y $J$ ideales de $R\text{,}$ donde $J \subset I\text{.}$ Entonces

22

Demuestre el Teorema de Correspondencia: Sea $I$ un ideal de un anillo $R\text{.}$ Entonces $S \rightarrow S/I$ define una correspondencia 1-1 entre a el conjunto de los subanillos $S$ que contienen a $I$ y el conjunto de subanillos de $R/I\text{.}$ Además, los ideales de $R$ corresponden con ideales de $R/I\text{.}$

23

Sea $R$ un anillo y sea $S$ un subconjunto de $R\text{.}$ Muestre que $S$ es un subanillo de $R$ si y solo si se cumplen todas las siguientes condiciones.

1. $S \neq \emptyset\text{.}$

2. $rs \in S$ para todo $r, s \in S\text{.}$

3. $r - s \in S$ para todo $r, s \in S\text{.}$

24

Sea $R$ un anillo con una colección de subanillos $\{ R_{\alpha} \}\text{.}$ Demuestre que $\bigcap R_{\alpha}$ es un subanillo de $R\text{.}$ Dé un ejemplo para mostrar que la unión de dos subanillos no es necesariamente un subanillo.

25

Sea $\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A}$ una colección de ideales en un anillo $R\text{.}$ Demuestre que $\bigcap_{\alpha \in A} I_{\alpha}$ también es un ideal en $R\text{.}$ Dé un ejemplo para mostrar que si $I_1$ e $I_2$ son ideales en $R\text{,}$ entonces $I_1 \cup I_2$ puede no ser un ideal.

26

Sea $R$ un dominio integral. Muestre que si los únicos ideales en $R$ son $\{ 0 \}$ y $R$ mismo, entonces $R$ es un cuerpo.

27

Sea $R$ un anillo conmutativo. Un elemento $a$ en $R$ es nilpotente si $a^n = 0$ para algún entero positivo $n\text{.}$ Muestre que el conjunto de todos los elementos nilpotentes forma un ideal en $R\text{.}$

28

Un anillo $R$ es un anillo Booleano si para cada $a \in R\text{,}$ $a^2 = a\text{.}$ Muestre que todo anillo Booleano es conmutativo.

29

Sea $R$ un anillo, donde $a^3 =a$ para todo $a \in R\text{.}$ Demuestre que $R$ es commutativo.

30

Sea $R$ un anillo con identidad $1_R$ y $S$ un subanillo de $R$ con identidad $1_S\text{.}$ Demuestre o refute que $1_R = 1_S\text{.}$

31

Si no requerimos que la identidad de un anillo sea distinta de 0, no obtenemos una estructura matemática mut interesante. Sea $R$ un anillo tal que $1 = 0\text{.}$ Demuestre que $R = \{ 0 \}\text{.}$

32

Sea $S$ un subconjunto no vacío de un anillo $R\text{.}$ Demuestre que hay un subanillo $R'$ de $R$ que contiene a $S\text{.}$

33

Sea $R$ un anillo. Defina el centro de $R$ como

Demuestre que $Z(R)$ es un subanillo conmutativo de $R\text{.}$

34

Sea $p$ un primo. Demuestre que

es un anillo. El anillo ${\mathbb Z}_{(p)}$ se denomina anillo de enteros localizado en $p\text{.}$

35

Demuestre o refute: Todo dominio integral finito es isomorfo a ${\mathbb Z}_p\text{.}$

36

Sea $R$ un anillo con identidad.

1. Sea $u$ una unidad en $R\text{.}$ Defina una función $i_u : R \rightarrow R$ como $r \mapsto uru^{-1}\text{.}$ Demuestre que $i_u$ es un automorfismo de $R\text{.}$ Un automorfismo de $R$ de este tipo se llama automorfismo interno de $R\text{.}$ Denote por $\inn(R)$ al conjunto de todos los automorfismos internos de $R\text{.}$

2. Denote por $\aut(R)$ al conjunto de todos los automorfismos de $R\text{.}$ Demuestre que $\inn(R)$ es un subgrupo normal de $\aut(R)\text{.}$

3. Sea $U(R)$ el grupo de unidades en $R\text{.}$ Demuestre que la función

   $$\begin{equation*} \phi : U(R) \rightarrow \inn(R) \end{equation*}$$

   definida por $u \mapsto i_u$ es un homomorfismo. Determine el núcleo de $\phi\text{.}$

4. Calcule $\aut( {\mathbb Z})\text{,}$ $\inn( {\mathbb Z})\text{,}$ y $U( {\mathbb Z})\text{.}$

37

Sean $R$ y $S$ anillos arbitrarios. Muestre que su producto cartesiano es un anillo si definimos adición y multiplicación en $R \times S$ como

1. $(r, s) + (r', s') = ( r + r', s + s')$

2. $(r, s)(r', s') = ( rr', ss')$

38

Un elemento $x$ En un anillo se dice idempotente si $x^2 = x\text{.}$ Demuestre que los únicos idempotentes en un dominio integral son $0$ y $1\text{.}$ Encuentre un anillo con un idempotente $x$ que no sea 0 o 1.

39

Sean $\gcd(a, n) = d$ y $\gcd(b, d) \neq 1\text{.}$ Demuestre que $ax \equiv b \pmod{n}$ no tiene solución.

40El Teorema Chino de los Restos para Anillos

Sea $R$ un anillo y sean $I$ y $J$ ideals en $R$ tales que $I+J = R\text{.}$

1. Muestre que para cualquiera $r$ y $s$ en $R\text{,}$ el sistema de ecuaciones

   $$\begin{align*} x & \equiv r \pmod{I}\\ x & \equiv s \pmod{J} \end{align*}$$

   tiene solución.

2. Además, demuestre que cualquiera dos soluciones del sistema son congruentes módulo $I \cap J\text{.}$

3. Sea $I$ y $J$ ideales en un anillo $R$ tales que $I + J = R\text{.}$ Muestre que existe un isomorfismo de anillos

   $$\begin{equation*} R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J. \end{equation*}$$