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Sección20.2Subespacios

Así como los grupos tienen subgrupo y los anillos tienen subanillos, los espacios vectoriales también tienen subestructuras. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, y W un subconjunto de V. Entonces W es un subespacio de V si es cerrado bajo adición de vectores y bajo multiplicación escalar; es decir, si u,vW y αF, siempre se tiene que u+v y αv también están en W.

Ejemplo20.6

Sea W el subconjunto de R3 definido por W={(x1,2x1+x2,x1x2):x1,x2R}. Afirmamos que W es un subespacio de R3. Como

α(x1,2x1+x2,x1x2)=(αx1,α(2x1+x2),α(x1x2))=(αx1,2(αx1)+αx2,αx1αx2),

W es cerrado bajo multiplicación por escalares. Para mostrar que W es cerrado bajo la adición de vectores, sean u=(x1,2x1+x2,x1x2) y v=(y1,2y1+y2,y1y2) vectores en W. Entonces

u+v=(x1+y1,2(x1+y1)+(x2+y2),(x1+y1)(x2+y2)).
Ejemplo20.7

Sea W el subconjunto de los polinomios en F[x] sin términos de grado impar. Si p(x) y q(x) no tienen términos de grado impar, entonces tampoco los tendrá p(x)+q(x). Además, αp(x)W para αF y p(x)W.

Sea V cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo F y supongamos que v1,v2,,vn son vectores en V y α1,α2,,αn son escalares en F. Cualquier vector w en V de la forma

w=ni=1αivi=α1v1+α2v2++αnvn

se llama combinación lineal de los vectores v1,v2,,vn. El conjunto generado por los vectores v1,v2,,vn es el conjunto de vectores obtenido a partir de todas las combinaciones lineales posibles de v1,v2,,vn. Si W es el conjunto generado por v1,v2,,vn, entonces decimos que W está generado por v1,v2,,vn.

Sean \(u\) y \(v\) en \(S\text{.}\) Podemos escribir cada uno de ellos como combinación lineal de los \(v_i\text{:}\)

\begin{align*} u & = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n\\ v & = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n. \end{align*}

Entonces

\begin{equation*} u + v =( \alpha_1 + \beta_1) v_1 + (\alpha_2+ \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n) v_n \end{equation*}

es una combinación lineal de los \(v_i\text{.}\) Para \(\alpha \in F\text{,}\)

\begin{equation*} \alpha u = (\alpha \alpha_1) v_1 + ( \alpha \alpha_2) v_2 + \cdots + (\alpha \alpha_n ) v_n \end{equation*}

está en el conjunto generado por \(S\text{.}\)