Sección20.2Subespacios
¶Así como los grupos tienen subgrupo y los anillos tienen subanillos, los espacios vectoriales también tienen subestructuras. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, y W un subconjunto de V. Entonces W es un subespacio de V si es cerrado bajo adición de vectores y bajo multiplicación escalar; es decir, si u,v∈W y α∈F, siempre se tiene que u+v y αv también están en W.
Ejemplo20.6
Sea W el subconjunto de R3 definido por W={(x1,2x1+x2,x1−x2):x1,x2∈R}. Afirmamos que W es un subespacio de R3. Como
α(x1,2x1+x2,x1−x2)=(αx1,α(2x1+x2),α(x1−x2))=(αx1,2(αx1)+αx2,αx1−αx2),
W es cerrado bajo multiplicación por escalares. Para mostrar que W es cerrado bajo la adición de vectores, sean u=(x1,2x1+x2,x1−x2) y v=(y1,2y1+y2,y1−y2) vectores en W. Entonces
u+v=(x1+y1,2(x1+y1)+(x2+y2),(x1+y1)−(x2+y2)).
Ejemplo20.7
Sea W el subconjunto de los polinomios en F[x] sin términos de grado impar. Si p(x) y q(x) no tienen términos de grado impar, entonces tampoco los tendrá p(x)+q(x). Además, αp(x)∈W para α∈F y p(x)∈W.
Sea V cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo F y supongamos que v1,v2,…,vn son vectores en V y α1,α2,…,αn son escalares en F. Cualquier vector w en V de la forma
w=n∑i=1αivi=α1v1+α2v2+⋯+αnvn
se llama combinación lineal de los vectores v1,v2,…,vn. El conjunto generado por los vectores v1,v2,…,vn es el conjunto de vectores obtenido a partir de todas las combinaciones lineales posibles de v1,v2,…,vn. Si W es el conjunto generado por v1,v2,…,vn, entonces decimos que W está generado por v1,v2,…,vn.
Proposición20.8
Sea S={v1,v2,…,vn} un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. Entonces el conjunto generado por S es un subespacio de V.
Demostración
Sean \(u\) y \(v\) en \(S\text{.}\) Podemos escribir cada uno de ellos como combinación lineal de los \(v_i\text{:}\)
\begin{align*}
u & = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n\\
v & = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n.
\end{align*}
Entonces
\begin{equation*}
u + v =( \alpha_1 + \beta_1) v_1 + (\alpha_2+ \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n) v_n
\end{equation*}
es una combinación lineal de los \(v_i\text{.}\) Para \(\alpha \in F\text{,}\)
\begin{equation*}
\alpha u = (\alpha \alpha_1) v_1 + ( \alpha \alpha_2) v_2 + \cdots + (\alpha \alpha_n ) v_n
\end{equation*}
está en el conjunto generado por \(S\text{.}\)