Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Encuentre todos los grupos abelianos de orden menor o igual a 40.

2

Encuentre todos los grupos abelianos de orden 200.

3

Encuentre todos los grupos abelianos de orden 720.

4

Encuentre todas las series de composición para cada uno de los siguientes grupos.

1. ${\mathbb Z}_{12}$

2. ${\mathbb Z}_{48}$

3. Los cuaterniones, $Q_8$

4. $D_4$

5. $S_3 \times {\mathbb Z}_4$

6. $S_4$

7. $S_n\text{,}$ $n \geq 5$

8. ${\mathbb Q}$

5

Demuestre que el producto directo infinito $G = {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times \cdots$ no es finitamente generado.

6

Sea $G$ un grupo abeliano de orden $m\text{.}$ Si $n$ divide a $m\text{,}$ demuestre que $G$ tiene un subgrupo de orden $n\text{.}$

7

Un grupo $G$ es un grupo de torsión si todo elemento de $G$ tiene orden finito. Demuestre que un grupo de torsión abeliano finitamente generado tiene que ser finito.

8

Sean $G\text{,}$ $H\text{,}$ y $K$ grupos abelianos finitamente generados. Muestre que si $G \times H \cong G \times K\text{,}$ entonces $H \cong K\text{.}$ Encuentre un contraejemplo para mostrar que esto no es verdadero en general.

9

Sean $G$ y $H$ grupos solubles. Muestre que $G \times H$ también es soluble.

10

Si $G$ tiene una serie de composición (principal) y si $N$ es un subgrupo normal propio de $G\text{,}$ muestre que existe una serie de composición (principal) que contiene a $N\text{.}$

11

Demuestre o refute: Sea $N$ un subgrupo normal de $G\text{.}$ Si $N$ y $G/N$ tienen series de composición, entonces $G$ también tiene serie de composición.

12

Sea $N$ un subgrupo normal de $G\text{.}$ Si $N$ y $G/N$ son grupos solubles, muestre que $G$ también es un grupo soluble.

13

Demuestre que $G$ es un grupo soluble si y solo si $G$ tiene una serie de subgrupos

donde $P_i$ es normal en $P_{i + 1}$ y el orden de $P_{i + 1} / P_i$ es primo.

14

Sea $G$ un grupo soluble. Demuestre que cualquier subgrupo de $G$ también es soluble.

15

Sea $G$ un grupo soluble y $N$ un subgrupo normal de $G\text{.}$ Demuestre que $G/N$ es soluble.

16

Demuestre que $D_n$ es soluble para todo entero $n\text{.}$

17

Supongamos que $G$ tiene una serie de composición. Si $N$ es un subgrupo normal de $G\text{,}$ muestre que $N$ y $G/N$ también tienen series de composición.

18

Sea $G$ un $p$-grupo cíclico con subgrupos $H$ y $K\text{.}$ Demuestre que ya sea $H$ está contenido en $K$ o $K$ está contenido en $H\text{.}$

19

Supuongamos que $G$ es un grupo soluble de orden $n \geq 2\text{.}$ Muestre que $G$ contiene un subgrupo normal abeliano no trivial.

20

Recuerde que el subgrupo conmutador $G'$ de un grupo $G$ está definido como el subgrupo de $G$ generado por los elementos de la forma $a^{-1} b ^{-1} ab$ para $a, b \in G\text{.}$ Podemos definir una serie de subgrupos de $G$ como $G^{(0)} = G\text{,}$ $G^{(1)} = G'\text{,}$ y $G^{(i + 1)} = (G^{(i)})'\text{.}$

1. Demuestre que $G^{(i+1)}$ es normal en $(G^{(i)})'\text{.}$ La serie de subgrupos

   $$\begin{equation*} G^{(0)} = G \supset G^{(1)} \supset G^{(2)} \supset \cdots \end{equation*}$$

   se llama serie derivada de $G\text{.}$

2. Muestre que $G$ es soluble si y solo si $G^{(n)} = \{ e \}$ para algún entero $n\text{.}$

21

Supongamos que $G$ es un grupo soluble de orden $n \geq 2\text{.}$ Muestre que $G$ tiene un grupo cociente abeliano no trivial.

22Lema de Zassenhaus

Sean $H$ y $K$ subgrupos de un grupo $G\text{.}$ Supongamos admás que $H^*$ y $K^*$ son subgrupos normales de $H$ y $K$ respectivamente. Entonces

1. $H^* ( H \cap K^*)$ es un subgrupo normal de $H^* ( H \cap K)\text{.}$

2. $K^* ( H^* \cap K)$ es un subgrupo normal de $K^* ( H \cap K)\text{.}$

3. $H^* ( H \cap K) / H^* ( H \cap K^*) \cong K^* ( H \cap K) / K^* ( H^* \cap K) \cong (H \cap K) / (H^* \cap K)(H \cap K^*)\text{.}$

23Teorema de Schreier

Use el Lema de Zassenhaus para demostrar que dos series subnormales (normales) de un grupo $G$ tienen refinamientos isomorfos.

24

Use el Teorema de Schreier para demostrar el Teorema de Jordan-Hölder.