AATA Dominios Integrales y Cuerpos

Sección16.2Dominios Integrales y Cuerpos

Recordemos algunas definiciones. Si $R$ es un anillo y $r$ es un elemento distinto de cero en $R\text{,}$ entonces $r$ se llama divisor de cero si existe un elemento distinto de cero $s \in R$ tal que $rs = 0\text{.}$ Un anillo conmutativo con identidad se llama dominio integral si no tiene divisores de cero. Si un elemento $a$ en un anillo $R$ con identidad tiene un inverso multiplicativo, decimos que $a$ es una unidad. Si todo elemento distinto de cero en un anillo $R$ es una unidad, entonces $R$ se llama anillo de división. Un anillo de división conmutativo se llama cuerpo.

Ejemplo16.12

Si $i^2 = -1\text{,}$ entonces el conjunto ${\mathbb Z}[ i ] = \{ m + ni : m, n \in {\mathbb Z} \}$ forma un anillo conocido como los enteros Gaussianos. Es fácil ver que los enteros Gaussianos forman un subanillo de los números complejos pues están cerrados bajo la suma y la multiplicación. Sea $\alpha = a + bi$ una unidad en ${\mathbb Z}[ i ]\text{.}$ Entonces $\overline{\alpha} = a - bi$ también es una unidad pues si $\alpha \beta = 1\text{,}$ entonces $\overline{\alpha} \overline{\beta} = 1\text{.}$ Si $\beta = c + di\text{,}$ entonces

$\begin{equation*} 1 = \alpha \beta \overline{\alpha} \overline{\beta} = (a^2 + b^2 )(c^2 + d^2). \end{equation*}$

Por lo tanto, $a^2 + b^2$ debe ser 1 o $-1\text{;}$ y, equivalentemente, $a + bi = \pm 1$ o $a+ bi = \pm i\text{.}$ Por lo tanto, las unidades de este anillo son $\pm 1$ y $\pm i\text{;}$ luego, los enteros Gaussianos no son un cuerpo. Dejaremos como ejercicio demostrar que los enteros Gaussianos son un dominio integral.

Ejemplo16.13

El conjunto de las matrices

$\begin{equation*} F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{equation*}$

con coeficiente en ${\mathbb Z}_2$ forma un cuerpo.

Ejemplo16.14

El conjunto ${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}$ es un cuerpo. El inverso de un elemento $a + b \sqrt{2}$ en ${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )$ es

$\begin{equation*} \frac{a}{a^2 - 2 b^2} +\frac{- b}{ a^2 - 2 b^2} \sqrt{2}. \end{equation*}$

Tenemos la siguiente caracterización alternativa de los dominios integrales.

Proposición16.15Ley de Cancelación

Sea $D$ un anillo conmutativo con identidad. Entonces $D$ es un dominio integral si y solo si para todos los elementos distintos de cero $a \in D$ con $ab = ac\text{,}$ tenemos $b=c\text{.}$

Demostración

Sea $D$ un dominio integral. Entonces $D$ no tiene divisores de cero. Sea $ab = ac$ con $a \neq 0\text{.}$ Entonces $a(b - c) =0\text{.}$ Luego, $b - c = 0$ y $b = c\text{.}$

Recíprocamente, supongamos que la cancelación es posible en $D\text{.}$ Es decir, supongamos que $ab = ac$ implica $b=c\text{.}$ Sea $ab = 0\text{.}$ Si $a \neq 0\text{,}$ entonces $ab = a 0$ o $b=0\text{.}$ Por lo tanto, $a$ no puede ser un divisor de cero.

El siguiente teorema sorprendente se lo debemos a Wedderburn.

Teorema16.16

Todo dominio integral finito es un cuerpo.

Demostración

Sea $D$ un dominio integral finito y sea $D^\ast$ el onjunto de los elementos distintos de cero en $D\text{.}$ Debemos mostrar que todo elemento en $D^*$ tiene un inverso. Para cada $a \in D^\ast$ podemos definir una función $\lambda_a : D^\ast \rightarrow D^\ast$ como $\lambda_a(d) = ad\text{.}$ Esta función tiene sentid, pues si $a \neq 0$ y $d \neq 0\text{,}$ entonces $ad \neq 0\text{.}$ La función $\lambda_a$ es 1-1, pues para $d_1, d_2 \in D^*\text{,}$

\begin{equation*} ad_1 = \lambda_a(d_1) = \lambda_a(d_2) = ad_2 \end{equation*}

implica $d_1 = d_2$ por cancelación a la izquierda. Como $D^\ast$ es un conjunto finito, la función $\lambda_a$ también debe ser sobre; luego, para algún $d \in D^\ast\text{,}$ $\lambda_a(d) = ad = 1\text{.}$ Por lo tanto, $a$ tiene inverso a la izquierda. Como $D$ es conmutativo, $d$ también es inverso a la derecha para $a\text{.}$ Concluimos que $D$ es un cuerpo.

Para cualquier entero no negativo $n$ y cualquier elemento $r$ en un anillo $R$ escribimos $r + \cdots + r$ ( $n$ times) como $nr\text{.}$ Definimos la característica de un anillo $R$ como el menor entero positivo $n$ tal que $nr=0$ para todo $r \in R\text{.}$ Si no existe tal entero, entonces la característica de $R$ se define como 0. Denotaremos la característica de $R$ por $\chr R\text{.}$

Ejemplo16.17

Para todo primo $p\text{,}$ ${\mathbb Z}_p$ es un cuerpo de característica $p\text{.}$ Por la Proposición 3.4, todo elemento distinto de cero en ${\mathbb Z}_p$ tiene un inverso; luego, ${\mathbb Z}_p$ es un cuerpo. Si $a$ es un elemento distinto de cero en el cuerpo, entonces $pa =0\text{,}$ pues el orden de cualquier elemento distinto de cero en el grupo abeliano ${\mathbb Z}_p$ es $p\text{.}$

Lema16.18

Sea $R$ un anillo con identidad. Si 1 tiene orden $n\text{,}$ entonces la característica de $R$ es $n\text{.}$

Demostración

Si 1 tiene orden $n\text{,}$ entonces $n$ es el menor entero positivo tal que $n 1 = 0\text{.}$ Además, para todo $r \in R\text{,}$

\begin{equation*} nr = n(1r) = (n 1) r = 0r = 0. \end{equation*}

Por otra parte, si ningún entero positivo $n$ existe tal que $n1 = 0\text{,}$ entonces la característica de $R$ es cero.

Teorema16.19

La característica de un dominio integral es un número primo o cero.

Demostración

Sea $D$ un dominio integral y supongamos que la característica de $D$ es $n$ con $n \neq 0\text{.}$ Si $n$ no es primo, entonces $n = ab\text{,}$ con $1 \lt a \lt n$ y $1 \lt b \lt n\text{.}$ Pr el Lema 16.18, solo necesitamos considerar el caso $n 1 = 0\text{.}$ Como $0 = n 1 = (ab)1 = (a1)(b1)$ y no hay divisores de cero en $D\text{,}$ ya sea $a1 =0$ o $b1=0\text{.}$ Luego, la característica de $D$ debe ser menor a $n\text{,}$ lo que es una contradicción. Por lo tanto, $n$ debe ser primo.