Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Defina los dos anillos ${\mathbb Z}_{11}$ y ${\mathbb Z}_{12}$ usando los comandos R = Integers(11) y S = Integers(12). Para cada anillo, use los comandos relevantes para determinar: si el anillo es finito, si es conmutativo, si es un dominio integral y si es un cuerpo. Luego use comandos Sage para encontrar el orden del anillo, listar sus elementos, y mostrar su neutro multiplicativo (i.e. $1\text{,}$ si es que existe).

2

Defina R como el anillo de los números enteros, ${\mathbb Z}\text{,}$ ejecutando R = ZZ o R = Integers(). Un comando como R.ideal(4) creará el ideal principal $\langle 4\rangle\text{.}$ El mismo comando puede recibir mñas de un generador, por ejemplo, R.ideal(3, 5) creará el ideal $\{a\cdot 3+ b\cdot 5\mid a,b\in{\mathbb Z}\}\text{.}$ Cree varios ideales de ${\mathbb Z}$ con dos generadores y pídale a Sage que los muestre al crearlos. Explique lo que observa y escriba comandos que le permitan comprobar su observación para miles de ejemplos diferentes.

3

Cree un cuerpo finito $F$ de orden 81 por medio de F.<t>=FiniteField(3^4).

1. Liste los elementos de $F\text{.}$

2. Obtenga los generadores de $F$ con F.gens().

3. Obtenga el primer generador de $F$ y guárdelo como u con u = F.0 (alternativamente, u = F.gen(0)).

4. Calcule las primeras 80 potencias de u y comente.

5. El generador con el que trabajó arriba es una raíz de un polinomio sobre ${\mathbb Z}_3\text{.}$ Obtenga este polinomio con F.modulus() y use esta observación para explicar la entrada correspondiente a la cuarta potencia en su lista de potencias del generador.

4

Construya y analice un anillo cociente como sigue:

1. Use P.<z>=Integers(7)[] para construir un anillo $P$ de polinomios en $z$ con coeficientes en ${\mathbb Z}_7\text{.}$

2. Use K = P.ideal(z^2+z+3) para contruir el ideal principal $K$ generado por el polinomio $z^2+z+3\text{.}$

3. Use H = P.quotient(K) para contruir $H\text{,}$ el anillo cociente de $P$ por $K\text{.}$

4. Use Sage para comprobar que $H$ es un cuerpo.

5. Como en el ejercicio anterior, obtenga un generador y examine la colección de potencias de ese generador.