Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Liste todos los polinomios de grado menor o igual a 3 en ${\mathbb Z}_2[x]\text{.}$

2

Calcule cada uno de los siguientes.

1. $(5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)$ in ${\mathbb Z}_{12}$

2. $(5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)$ in ${\mathbb Z}_{12}$

3. $(7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)$ in ${\mathbb Z}_9$

4. $(3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)$ in ${\mathbb Z}_5$

5. $(3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)$ in ${\mathbb Z}_5$

6. $(5x^2 + 3x - 2)^2$ in ${\mathbb Z}_{12}$

3

Use el algoritmo de división para encontrar $q(x)$ y $r(x)$ tales que $a(x) = q(x) b(x) + r(x)$ con $\deg r(x) \lt \deg b(x)$ para cada uno de los siguientes pares de polinomios.

1. $a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4$ and $b(x) = x - 2$ in ${\mathbb Z}_7[x]$

2. $a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1$ and $b(x) = x^2 + x - 2$ in ${\mathbb Z}_7[x]$

3. $a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4$ and $b(x) = x^3 - 2$ in ${\mathbb Z}_5[x]$

4. $a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x$ and $b(x) = x^3 + x$ in ${\mathbb Z}_2[x]$

4

Encuentre el máximo común divisor para cada uno de los siguientes pares $p(x)$ y $q(x)$ de polinomios. Si $d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}$ encuentre dos polinomios $a(x)$ y $b(x)$ tales que $a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}$

1. $p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15$ y $q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}$ donde $p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]$

2. $p(x) = x^3 + x^2 - x + 1$ y $q(x) = x^3 + x - 1\text{,}$ donde $p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]$

3. $p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4$ y $q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}$ donde $p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]$

4. $p(x) = x^3 - 2 x + 4$ y $q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}$ donde $p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]$

5

Encuentre todos los ceros de cada uno de los polinomios siguientes.

1. $5x^3 + 4x^2 - x + 9$ en ${\mathbb Z}_{12}$

2. $3x^3 - 4x^2 - x + 4$ en ${\mathbb Z}_{5}$

3. $5x^4 + 2x^2 - 3$ en ${\mathbb Z}_{7}$

4. $x^3 + x + 1$ en ${\mathbb Z}_2$

6

Encuentre todas las unidades en ${\mathbb Z}[x]\text{.}$

7

Encuentre una unidad $p(x)$ en ${\mathbb Z}_4[x]$ tal que $\deg p(x) \gt 1\text{.}$

8

¿Cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles sobre ${\mathbb Q}[x]\text{?}$

1. $x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4$

2. $x^4 - 5x^3 + 3x - 2$

3. $3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6$

4. $5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15$

9

Encuentre todos los polinomios irreducibles de grado 2 y 3 en${\mathbb Z}_2[x]\text{.}$

10

Dé dos factorizaciones diferentes de $x^2 + x + 8$ en ${\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}$

11

Demuestre o refute: Existe un polinomio $p(x)$ en ${\mathbb Z}_6[x]$ de grado $n$ con más de $n$ ceros distintos.

12

Si $F$ es un cuerpo, muestre que $F[x_1, \ldots, x_n]$ es un dominio integral.

13

Muestre que el algoritmo de división no se cumple en ${\mathbb Z}[x]\text{.}$ ¿Por qué falla?

14

Demuestre o refute: $x^p + a$ es irreducible para cualquier $a \in {\mathbb Z}_p\text{,}$ donde $p$ es primo.

15

Sea $f(x)$ irreducible en $F[x]\text{,}$ donde $F$ es un cuerpo. Si $f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}$ demuestre que ya sea $f(x) \mid p(x)$ o $f(x) \mid q(x)\text{.}$

16

Supongamos que $R$ y $S$ son anillos isomorfos. Demuestre que $R[x] \cong S[x]\text{.}$

17

Sea $F$ un cuerpo y $a \in F\text{.}$ Si $p(x) \in F[x]\text{,}$ muestre que $p(a)$ es el resto obtenido al dividir $p(x)$ por $x - a\text{.}$

18Teorema de la Raíz Racional

Sea

donde $a_n \neq 0\text{.}$ Demuestre que si $p(r/s) = 0\text{,}$ donde $\gcd(r, s) = 1\text{,}$ entonces $r \mid a_0$ y $s \mid a_n\text{.}$

19

Sea ${\mathbb Q}^*$ el grupo multiplicativo de los números racionales positivos. Demuestre que ${\mathbb Q}^*$ es isomorfo a $( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}$

20Polinomios Ciclotómicos

El polinomio

se llama polinomio ciclotómico. Muestre que $\Phi_p(x)$ es irreducible sobre ${\mathbb Q}$ para cualquier primo $p\text{.}$

21

Si $F$ es un cuerpo, muestre que existen infinitos polinomios irreducibles en $F[x]\text{.}$

22

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que la multiplicación en $R[x]$ es conmutativa.

23

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que la multiplicación en $R[x]$ es distributiva.

24

Demuestre que $x^p - x$ tiene $p$ ceros distintos en ${\mathbb Z}_p\text{,}$ para cualquier primo $p\text{.}$ Concluya que

25

Sea $F$ un cuerpo y sea $f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ en $F[x]\text{.}$ Defina $f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}$ como la derivada de $f(x)\text{.}$

1. Demuestre que

   $$\begin{equation*} (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x). \end{equation*}$$

   Concluya que podemos definir un homomorfismo de grupos abelianos $D : F[x] \rightarrow F[x]$ como $D(f(x)) = f'(x)\text{.}$

2. Calcule el núcleo de $D$ si $\chr F = 0\text{.}$

3. Calcule el núcleo de $D$ si $\chr F = p\text{.}$

4. Demuestre que

   $$\begin{equation*} (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x). \end{equation*}$$

5. Supongamos que es posible factorizar un polinomio $f(x) \in F[x]$ en factores lineales, digamos

   $$\begin{equation*} f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n). \end{equation*}$$

   Demuestre que $f(x)$ no tiene factores repetidos si y solo si $f(x)$ y $f'(x)$ son relativamente primos.

26

Sea $F$ un cuerpo. Muestre que $F[x]$ nunca es un cuerpo.

27

Sea $R$ un dominio integral. Demuestre que $R[x_1, \ldots, x_n]$ es un dominio integral.

28

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad. Muestre que $R[x]$ tiene un subanillo $R'$ isomorfo a $R\text{.}$

29

Sean $p(x)$ y $q(x)$ polinomios en $R[x]\text{,}$ donde $R$ es un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que $\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}$