AATA Productos Directos

Sección9.2Productos Directos

Dados dos grupos $G$ y $H\text{,}$ se puede construir un nuevo grupo a partir del producto Cartesiano de $G$ y $H\text{,}$ $G \times H\text{.}$ Recíprocamente, dado un grupo grande, a veces es posible descomponer el grupo; es decir, un grupo a veces es isomorfo al producto directo de dos grupos menores. En lugar de estudiar el grupo grande $G\text{,}$ es usualmente más fácil estudiar los grupos componentes de $G\text{.}$

SubsecciónProducto Directo Externo

Si $(G,\cdot)$ y $(H, \circ)$ son grupos, entonces podemos transformar el producto cartesiano de $G$ y $H$ en un nuevo grupo. Como conjunto, el grupo no es más que el conjunto de pares ordenados $(g, h) \in G \times H$ con $g \in G$ y $h \in H\text{.}$ Podemos definir una operación binaria en $G \times H$ como

$\begin{equation*} (g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \circ h_2); \end{equation*}$

es decir, simplemente multiplicamos los elementos en la primera coordenada usando el producto en $G$ y los elementos en la segunda coordenada usando el producto de $H\text{.}$ Hemos especificado las operaciones particulares $\cdot$ y $\circ$ en cada grupo para mayor claridad; usualmente escribiremos simplemente $(g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\text{.}$

Proposición9.13

Sean $G$ y $H$ grupos. El conjunto $G \times H$ es un grupo con la operación $(g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)$ donde $g_1, g_2 \in G$ y $h_1, h_2 \in H\text{.}$

Demostración

Claramente la operación binaria definida arriba es cerrada. Si $e_G$ y $e_H$ son las identidades de los grupos $G$ y $H$ respectivamente, entonces $(e_G, e_H)$ es la identidad de $G \times H\text{.}$ El inverso de $(g, h) \in G \times H$ es $(g^{-1}, h^{-1})\text{.}$ El hecho de que la operación sea asociativa es consecuencia directa de la asociatividad de $G$ y $H\text{.}$

Ejemplo9.14

Sea ${\mathbb R}$ el grupo de los números reales con la operación de adición. El producto cartesiano de ${\mathbb R}$ con sí mismo, ${\mathbb R} \times {\mathbb R} = {\mathbb R}^2\text{,}$ también es un grupo, en el que la operación es simplemente la suma por coordenadas; es decir, $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\text{.}$ La identidad $(0,0)$ y el inverso de $(a, b)$ es $(-a, -b)\text{.}$

Ejemplo9.15

Considere

$\begin{equation*} {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 = \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0),(1, 1) \}. \end{equation*}$

Si bien ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$ y ${\mathbb Z}_4$ ambos contienen cuatro elementos, no son isomorfos. Cada elemento $(a,b)$ en ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$ tiene orden 2 o 1, pues $(a,b) + (a,b) = (0,0)\text{;}$ pero, ${\mathbb Z}_4$ es cíclico.

El grupo $G \times H$ se llama producto directo externo de $G$ y $H\text{.}$ Note que no hay nada especial en el hecho de haber usado solo dos grupos para formar un grupo nuevo. El producto directo

$\begin{equation*} \prod_{i = 1}^n G_i = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n \end{equation*}$

de los grupos $G_1, G_2, \ldots, G_n$ se define de exactamente la misma forma. Si $G = G_1 = G_2 = \cdots = G_n\text{,}$ escribiremos $G^n$ en lugar de $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\text{.}$

Ejemplo9.16

El grupo ${\mathbb Z}_2^n\text{,}$ considerado como conjunto, es simplemente el conjunto de todas las $n$ -tuplas binarias. La operación del grupo es el “o exclusivo” de dos $n$ -tuplas binarias. Por ejemplo,

$\begin{equation*} (01011101) + (01001011) = (00010110). \end{equation*}$

Este grupo es importante en la teoría de códigos, en criptografía y en muchas áreas de computación.

Teorema9.17

Sea $(g, h) \in G \times H\text{.}$ Si $g$ y $h$ tienen órdenes finitos $r$ y $s$ respectivamente, entonces el orden de $(g, h)$ en $G \times H$ es el mínimo común múltiplo de $r$ y $s\text{.}$

Demostración

Supongamos que $m$ es el mínimo común múltiplo de $r$ y $s$ y sea $n = |(g,h)|\text{.}$ Entonces

\begin{gather*} (g,h)^m = (g^m, h^m) = (e_G,e_H)\\ (g^n, h^n) = (g, h)^n = (e_G,e_H). \end{gather*}

Luego, $n$ divide a $m\text{,}$ y $n \leq m\text{.}$ Sin embargo, por la segunda ecuación, tanto $r$ como $s$ dividen a $n\text{;}$ por lo tanto, $n$ es un múltiplo común de $r$ y $s\text{.}$ Como $m$ es el mínimo común múltiplo de $r$ y $s\text{,}$ $m \leq n\text{.}$ Por lo tanto, $m$ debe ser igual a $n\text{.}$

Corolario9.18

Sea $(g_1, \ldots, g_n) \in \prod G_i\text{.}$ Si $g_i$ tiene orden finito $r_i$ en $G_i\text{,}$ entonces el orden de $(g_1, \ldots, g_n)$ en $\prod G_i$ es el mínimo común múltiplo de $r_1, \ldots, r_n\text{.}$

Ejemplo9.19

Sea $(8, 56) \in {\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}$ Como $\gcd(8,12) = 4\text{,}$ el orden de 8 es $12/4 = 3$ en ${\mathbb Z}_{12}\text{.}$ Similarmente, el orden de $56$ en ${\mathbb Z}_{60}$ es $15\text{.}$ El mínimo común múltiplo de 3 y 15 es 15; luego, $(8, 56)$ tiene orden 15 en ${\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}$

Ejemplo9.20

El grupo ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3$ consiste de los pares

$\begin{align*} & (0,0), & & (0, 1), & & (0, 2), & & (1,0), & & (1, 1), & & (1, 2). \end{align*}$

En este caso, a diferencia del caso de ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$ y ${\mathbb Z}_4\text{,}$ es verdad que ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \cong {\mathbb Z}_6\text{.}$ Solo debemos mostrar que ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3$ es cíclico. Es fácil ver que $(1,1)$ es un generador para ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\text{.}$

El siguiente teorema nos dice exactamente cuándo el producto directo de dos grupos cíclicos es cíclico.

Teorema9.21

El grupo ${\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n$ es isomorfo a ${\mathbb Z}_{mn}$ si y solo si $\gcd(m,n)=1\text{.}$

Demostración

Primero mostraremos que si ${\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n \cong {\mathbb Z}_{mn}\text{,}$ entonces $\gcd(m, n) = 1\text{.}$ Demostraremos el contrapositivo; es decir, mostraremos que si $\gcd(m, n) = d \gt 1\text{,}$ entonces ${\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n$ no puede ser cíclico. Note que $mn/d$ es divisible tanto por $m$ como por $n\text{;}$ luego, cualquier elemento $(a,b) \in {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{,}$

\begin{equation*} \underbrace{(a,b) + (a,b)+ \cdots + (a,b)}_{mn/d \; \text{times}} = (0, 0). \end{equation*}

Por lo tanto, ningún $(a, b)$ puede generar todo ${\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{.}$

El recíproco es consecuencia directa del Teorema 9.17 pues $\lcm(m,n) = mn$ si y solo si $\gcd(m,n)=1\text{.}$

Corolario9.22

Sean $n_1, \ldots, n_k$ enteros positivos. Entonces

$\begin{equation*} \prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k} \end{equation*}$

si y solo si $\gcd( n_i, n_j) =1$ para todo $i \neq j\text{.}$

Corolario9.23

$\begin{equation*} m = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}, \end{equation*}$

donde los $p_i$ son primos distintos, entonces

$\begin{equation*} {\mathbb Z}_m \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}. \end{equation*}$

Demostración

Como el máximo común divisor de $p_i^{e_i}$ y $p_j^{e_j}$ es 1 para $i \neq j\text{,}$ la demostración se sigue del Corolario 9.22.

En el Capítulo 13, demostraremos que todos los grupos abelianos finitos son isomorfos a productos directos de la forma

$\begin{equation*} {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}} \end{equation*}$

donde $p_1, \ldots, p_k$ son primos (no necesariamente distintos).

SubsecciónProducto Directo Interno

El producto directo externo de dos grupos construye un grupo grande a partir de los dos grupos menores. Quisiéramos ser capaces de revertir el proceso y descomponer convenientemente un grupo grande en sus componentes como producto directo; es decir, quisiéramos poder decir cuándo un grupo es isomorfo al producto directo de dos de sus subgrupos.

Sea $G$ un grupo con subgrupos $H$ y $K$ que satisfagan las siguientes condiciones.

$G = HK = \{ hk : h \in H, k \in K \}\text{;}$
$H \cap K = \{ e \}\text{;}$
$hk = kh$ para todo $k \in K$ y $h \in H\text{.}$

Entonces $G$ es el producto directo interno de $H$ y $K\text{.}$

Ejemplo9.24

El grupo $U(8)$ es el producto directo interno de

$\begin{equation*} H = \{1, 3 \} \quad \text{y} \quad K = \{1, 5 \}. \end{equation*}$

Ejemplo9.25

El grupo dihedral $D_6$ es un producto directo interno de sus dos subgrupos

$\begin{equation*} H = \{\identity, r^3 \} \quad \text{and} \quad K = \{\identity, r^2, r^4, s, r^2s, r^4 s \}. \end{equation*}$

Se puede mostrar fácilmente que $K \cong S_3\text{;}$ por lo tanto, $D_6 \cong {\mathbb Z}_2 \times S_3\text{.}$

Ejemplo9.26

No todo grupo puede ser escrito como el producto directo interno de dos subgrupos propios. Si el grupo $S_3$ fuese un producto directo interno de subgrupos propios $H$ y $K\text{,}$ entonces uno de ellos, digamos $H\text{,}$ tendría que tener orden 3. En ese caso $H$ es el subgrupo $\{ (1), (123), (132) \}\text{.}$ El subgrupo $K$ tiene que tener orden 2 pero sin importar cuál subgrupo escojamos como $K\text{,}$ la condición de que $hk = kh$ nunca se cumplirá para $h \in H$ y $k \in K\text{.}$

Teorema9.27

Sea $G$ el producto directo interno de dos subgrupos $H$ y $K\text{.}$ Entonces $G$ es isomorfo a $H \times K\text{.}$

Demostración

Como $G$ es un producto directo interno, podemos escribir cualquier elemento $g \in G$ como $g =hk$ para ciertos $h \in H$ y $k \in K\text{.}$ Definamos una función $\phi : G \rightarrow H \times K$ como $\phi(g) = (h,k)\text{.}$

El primer problema que debemos enfrentar es mostrar que $\phi$ es una función bien definida; es decir, debemos mostrar que $h$ y $k$ están únicamente determinados por $g\text{.}$ Supongamos que $g = hk=h'k'\text{.}$ Entonces $h^{-1} h'= k (k')^{-1}$ está tanto en $H$ como en $K\text{,}$ así es que debe ser la identidad. Por lo tanto, $h = h'$ y $k = k'\text{,}$ lo que demuestra que $\phi$ está, en efecto, bien definida.

Para demostrar que $\phi$ preserva la operación de grupo, sean $g_1 = h_1 k_1$ y $g_2 = h_2 k_2$ y observemos que

\begin{align*} \phi( g_1 g_2 ) & = \phi( h_1 k_1 h_2 k_2 )\\ & = \phi(h_1 h_2 k_1 k_2)\\ & = (h_1 h_2, k_1 k_2)\\ & = (h_1, k_1)( h_2, k_2)\\ & = \phi( g_1 ) \phi( g_2 ). \end{align*}

Dejaremos la demostración de que $\phi$ es una biyección como ejercicio.

Demostración

Definamos una función $\psi: H \times K \rightarrow G$ como $\psi(h,k)=hk\text{.}$ La operación de grupo se preserva pues

\begin{equation*} \psi(h_1h_2,k_1k_2)=h_1h_2k_1k_2=h_1k_1h_2k_2=\psi(h_1,k_1)\psi(h_2,k_2) \end{equation*}

Para verificar que $\psi$ es 1-1, supongamos que $hk=h'k'\text{.}$ Entonces $h^{-1} h'= k (k')^{-1}$ está tanto en $H$ como en $K\text{,}$ así es que debe ser la identidad. Por lo tanto, $h = h'$ y $k = k'\text{,}$ lo que demuestra que $\psi$ es 1-1.

La sobreyectividad es consecuencia inmediata de la definición del producto directo interno.

Ejemplo9.28

El grupo ${\mathbb Z}_6$ es un producto directo interno isomorfo a $\{ 0, 2, 4\} \times \{ 0, 3 \}\text{.}$

Podemos extender la definición de producto directo interno de $G$ a una colección de subgrupos $H_1, H_2, \ldots, H_n$ de $G\text{,}$ condicionándolos a que

$G = H_1 H_2 \cdots H_n = \{ h_1 h_2 \cdots h_n : h_i \in H_i \}\text{;}$
$H_i \cap \langle \cup_{j \neq i} H_j \rangle = \{ e \}\text{;}$
$h_i h_j = h_j h_i$ para todo $h_i \in H_i$ y $h_j \in H_j\text{.}$

Dejaremos la demostración del siguiente teorema como ejercicio.

Teorema9.29

Sea $G$ el producto interno de los subgrupos $H_i\text{,}$ donde $i = 1, 2, \ldots, n\text{.}$ Entonces $G$ es isomorfo a $\prod_i H_i\text{.}$