Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Si $F$ es un cuerpo, muestre que $F[x]$ es un espacio vectorial sobre $F\text{,}$ donde los vectores en $F[x]$ son polinomios. La suma de vectores es la suma de polinomios, y la multiplicación por escalar está definida por $\alpha p(x)$ para $\alpha \in F\text{.}$

2

Demuestre que ${\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )$ es un espacio vectorial.

3

Sea ${\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )$ el cuerpo de los elementos de la forma $a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}$ donde $a, b, c, d$ están en ${\mathbb Q}\text{.}$ Demuestre que ${\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )$ es un espacio vectorial de dimensión 4 sobre ${\mathbb Q}\text{.}$ Encuentre una base para ${\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}$

4

Demuestre que los números complejos forman un espacio vectorial de dimensión 2 sobre ${\mathbb R}\text{.}$

5

Demuestre que el conjunto $P_n$ de todos los polinomios de grado menor a $n$ forma un subespacio del espacio vectorial $F[x]\text{.}$ Encuentre una base para $P_n$ y calcule la dimensión de $P_n\text{.}$

6

Sea $F$ un cuerpo y denote por $F^n$ al conjunto de las $n$-tuplas de elementos de $F\text{.}$ Dados los vectores $u = (u_1, \ldots, u_n)$ y $v = (v_1, \ldots, v_n)$ en $F^n$ y $\alpha$ en $F\text{,}$ defina la adición de vectores como

y el producto por escalar como

Demuestre que $F^n$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ bajo estas operaciones.

7

Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de ${\mathbb R}^3\text{?}$ En caso de que el conjunto sea un subespacio, encuentre una base y calcule la dimensión.

1. $\{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2 + x_3 = 0 \}$

2. $\{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 + 4 x_3 = 0, 2 x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$

3. $\{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 2 \}$

4. $\{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2^2 = 0 \}$

8

Muestre que el conjunto de todas las posibles soluciones $(x, y, z) \in {\mathbb R}^3$ de las ecuaciones

forma un subespacio de ${\mathbb R}^3\text{.}$

9

Sea $W$ el subconjunto de las funciones continuas definidas en $[0, 1]$ tales que $f(0) = 0\text{.}$ Demuestre que $W$ es un subespacio de $C[0, 1]\text{.}$

10

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F\text{.}$ Demuestre que $-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)$ para todo $\alpha \in F$ and all $v \in V\text{.}$

11

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n\text{.}$ Demuestre cada uno de los siguientes enunciados.

1. Si $S = \{v_1, \ldots, v_n \}$ es un conjunto linealmente independiente de vectores en $V\text{,}$ entonces $S$ es una base para $V\text{.}$

2. Si $S = \{v_1, \ldots, v_n \}$ genera $V\text{,}$ entonces $S$ es una base para $V\text{.}$

3. Si $S = \{v_1, \ldots, v_k \}$ es un conjunto linealmente independiente de vectores en $V$ con $k \lt n\text{,}$ entonces existen vectores $v_{k + 1}, \ldots, v_n$ tales que

   $$\begin{equation*} \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \end{equation*}$$

   es una base para $V\text{.}$

12

Demuestre que cualquier conjunto de vectores que contenga a ${\mathbf 0}$ es lineamente dependiente.

13

Sea $V$ un espacio vectorial. Muestre que $\{ {\mathbf 0} \}$ es un subespacio de $V$ de dimensión cero.

14

Si un espacio vectorial $V$ es generado por $n$ vectores, cualquier conjunto de $m$ vectores en $V\text{,}$ con $m \gt n\text{,}$ es linealmente dependiente.

15Transformaciones Lineales

Sean $V$ y $W$ espacio s vectoriales sobre un cuerpo $F\text{,}$ de dimensiones $m$ y $n\text{,}$ respectivamente. Si $T: V \rightarrow W$ es una función que satisface

para todo $\alpha \in F$ y para todo $u, v \in V\text{,}$ entonces $T$ es una transformación lineal de $V$ en $W\text{.}$

1. Demuestre que el núcleo de $T\text{,}$ $\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}$ es un subespacio de $V\text{.}$ El núcleo de $T$ también se llama espacio nulo de $T\text{.}$

2. Demuestre que el rango o imagen de $T\text{,}$ $R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ for some } v \in V \}\text{,}$ es un subespacio de $W\text{.}$

3. Muestre que $T : V \rightarrow W$ es inyectiva si y solo si $\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}$

4. Sea $\{ v_1, \ldots, v_k \}$ una base para el espacio nulo de $T\text{.}$ Podemos extender esta base a una base $\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}$ de $V\text{.}$ ¿Por qué? Demuestre que $\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}$ es una base para el rango de $T\text{.}$ Concluya que el rango de $T$ tiene dimensión $m-k\text{.}$

5. Supongamos que $\dim V = \dim W\text{.}$ Muestre que una transformación lineal $T : V \rightarrow W$ es inyectiva si y solo si es epiyectiva.

16

Sean $V$ y $W$ espacio vectoriales de dimensión finita $n$ sobre un cuerpo $F\text{.}$ Supongamos que $T: V \rightarrow W$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Si $\{ v_1, \ldots, v_n \}$ es una pase de $V\text{,}$ muestre que $\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}$ es una base de $W\text{.}$ Concluya que cualquier espacio vetorial sobre $F$ de dimensión $n$ es isomorfo a $F^n\text{.}$

17Sumas Directas

Sean $U$ y $V$ subespacios de un espacio vectorial $W\text{.}$ La suma de $U$ y $V\text{,}$ denotada por $U + V\text{,}$ está definida como el conjunto de todos los vectores de la forma $u + v\text{,}$ con $u \in U$ y $v \in V\text{.}$

1. Demuestre que $U + V$ y $U \cap V$ son subespacios de $W\text{.}$

2. Si $U + V = W$ y $U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}$ entonces se dice que $W$ es la suma directa. En este caso, escribimos $W = U \oplus V\text{.}$ Muestre que cada $w \in W$ se puede escribir de forma única como $w = u + v\text{,}$ donde $u \in U$ y $v \in V\text{.}$

3. Sea $U$ un subespacio de dimensión $k$ de un espacio vectorial $W$ de dimensión $n\text{.}$ Demuestre que existe un subespacio $V$ de dimensión $n-k$ tal que $W = U \oplus V\text{.}$ ¿Es único el subespacio $V\text{?}$

4. Si $U$ y $V$ sin subespacios arbitrarios de un espacio vectorial $W\text{,}$ muestre que

   $$\begin{equation*} \dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V). \end{equation*}$$

18Espacio Duales

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo $F\text{.}$

1. Muestre que el conjunto de todas las transformaciones lineales de $V$ en $W\text{,}$ denotado por $\Hom(V, W)\text{,}$ es un espacio vectorial sobre $F\text{,}$ donde definimos la adición de vectores como sigue:

   $$\begin{align*} (S + T)(v) & = S(v) +T(v)\\ (\alpha S)(v) & = \alpha S(v), \end{align*}$$

   donde $S, T \in \Hom(V, W)\text{,}$ $\alpha \in F\text{,}$ y $v \in V\text{.}$

2. Sea $V$ un $F$-espacio vectorial. Se define el espacio dual de $V$ como $V^* = \Hom(V, F)\text{.}$ Los elementos en el dual de un espacio $V$ se llaman funcionales lineales. Sea $v_1, \ldots, v_n$ una base ordenada para $V\text{.}$ Si $v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n$ es cualquier vector en $V\text{,}$ definimos un funcional lineal $\phi_i : V \rightarrow F$ como $\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}$ Muestre que los $\phi_i$ forman una base de $V^*\text{.}$ Esta base se denomina base dual de $v_1, \ldots, v_n$ (o simplemente la base dual basis si el contexto deja claro el significado).

3. Considere la base $\{ (3, 1), (2, -2) \}$ de ${\mathbb R}^2\text{.}$ ¿Cuál es la base dual de $({\mathbb R}^2)^*\text{?}$

4. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un cuerpo $F$ y sea $V^{* *}$ el espacio dual de $V^*\text{.}$ Muestre que cada elemento $v \in V$ define un elemento $\lambda_v$ en $V^{**}$ y que la función $v \mapsto \lambda_v$ es un isomorfismo de $V$ con $V^{**}\text{.}$