Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Escriba las siguientes permutaciones en notación cíclica.

1. $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

2. $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

3. $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

4. $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

2

Escriba cada una de las siguientes como producto de ciclos disjuntos.

1. $(1345)(234)$

2. $(12)(1253)$

3. $(143)(23)(24)$

4. $(1423)(34)(56)(1324)$

5. $(1254)(13)(25)$

6. $(1254) (13)(25)^2$

7. $(1254)^{-1} (123)(45) (1254)$

8. $(1254)^2 (123)(45)$

9. $(123)(45) (1254)^{-2}$

10. $(1254)^{100}$

11. $|(1254)|$

12. $|(1254)^2|$

13. $(12)^{-1}$

14. $(12537)^{-1}$

15. $[(12)(34)(12)(47)]^{-1}$

16. $[(1235)(467)]^{-1}$

3

Exprese las siguientes permutaciones como producto de transposiciones e identifíquelas como pares o impares.

1. $(14356)$

2. $(156)(234)$

3. $(1426)(142)$

4. $(17254)(1423)(154632)$

5. $(142637)$

4

Encuentre $(a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}$

5

Liste todos los subgrupos de $S_4\text{.}$ Encuentre cada uno de los siguientes conjuntos.

1. $\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}$

2. $\{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}$

3. $\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3$ and $\sigma(2) = 2 \}$

¿Es alguno de estos conjuntos un subgrupo de $S_4\text{?}$

6

Encuentre todos los subgrupos de $A_4\text{.}$ ¿Cuál es el orden de cada uno de ellos?

7

Encuentre todos los posibles órdenes de elementos en $S_7$ y en $A_7\text{.}$

8

Muestre que $A_{10}$ contiene un elemento de orden 15.

9

¿Contiene $A_8$ un elemento de orden 26?

10

Encuentre un elemento de orden maximal en $S_n$ para $n = 3, \ldots, 10\text{.}$

11

¿Cuáles son las posibles estructuras de ciclos de los elementos de $A_5\text{?}$ ¿Y de $A_6\text{?}$

12

Sea $\sigma \in S_n$ un elemento de orden $n\text{.}$ Muestre que para todos los enteros $i$ y $j\text{,}$ $\sigma^i = \sigma^j$ si y solo si $i \equiv j \pmod{n}\text{.}$

13

Sea $\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n$ el producto disjunto de ciclos. Demuestre que el orden de $\sigma$ es el mínimo común múltiplo de los largos de los ciclos $\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}$

14

Usando notación cíclica, liste los elementos en $D_5\text{.}$ ¿Cuáles son $r$ y $s\text{?}$ Escriba todo elemento como producto de $r$ y $s\text{.}$

15

Si las diagonales de un cubo están etiquetadas como en la Figura 5.26, ¿a qué movimiento del cubo corresponde la permutación $(12)(34)\text{?}$ ¿Y las otras permutaciones de las diagonales?

16

Encuentre el grupo de movimientos rígidos de un tetrahedro. Muestre que este es el mismo grupo que $A_4\text{.}$

17

Demuestre que $S_n$ es no abeliano para $n \geq 3\text{.}$

18

Muestre que $A_n$ es no abeliano para $n \geq 4\text{.}$

19

Demuestre que $D_n$ es no abeliano para $n \geq 3\text{.}$

20

Sea $\sigma \in S_n$ un ciclo. Demuestre que $\sigma$ puede ser escrito como el producto de a lo más $n-1$ transposiciones.

21

Sea $\sigma \in S_n\text{.}$ Si $\sigma$ no es un ciclo, demuestre que $\sigma$ puede ser escrita como el producto de a lo más $n-2$ transposiciones.

22

Si $\sigma$ puede ser expresada como un producto de un número par de transposiciones, muestre que cualquier otro producto de transposiciones que sea igual a $\sigma$ también debe contener un número impar de estas.

23

Si $\sigma$ es un ciclo de largo impar, demuestre que $\sigma^2$ también es un ciclo.

24

Muestre que un 3-ciclo es una permutación par.

25

Demuestre que en $A_n$ con $n \geq 3\text{,}$ culaquier permutación es un producto de ciclos de largo 3.

26

Demuestre que todo elemento en $S_n$ puede ser escrito como un producto finito de las siguientes permutaciones.

1. $(1 2), (13), \ldots, (1n)$

2. $(1 2), (23), \ldots, (n- 1,n)$

3. $(12), (1 2 \ldots n )$

27

Sea $G$ un grupo y sea $\lambda_g : G \rightarrow G$ una función definida por $\lambda_g(a) = g a\text{.}$ Demuestre que $\lambda_g$ es una permutación de $G\text{.}$

28

Demuestre que existen $n!$ permutaciones de un conjunto con $n$ elementos.

29

Recuerde que el centro de un grupo $G$ es

Encuentre el centro de $D_8\text{.}$ ¿Y el centro de $D_{10}\text{?}$ ¿Cuál es el centro de $D_n\text{?}$

30

Sea $\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)$ un ciclo de largo $k\text{.}$

1. Demuestre que si $\sigma$ es cualquier permutación, entonces

   $$\begin{equation*} \sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \end{equation*}$$

   es un ciclo de largo $k\text{.}$

2. Sea $\mu$ un ciclo de largo $k\text{.}$ Demuestre que existe una permutación $\sigma$ tal que $\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}$

31

Para $\alpha$ y $\beta$ en $S_n\text{,}$ defina $\alpha \sim \beta$ si existe $\sigma \in S_n$ tal que $\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}$ Muestre que $\sim$ es una relación de equivalencia en $S_n\text{.}$

32

Sea $\sigma \in S_X\text{.}$ Si $\sigma^n(x) = y\text{,}$ diremos que $x \sim y\text{.}$

1. Muestre que $\sim$ es una relación de equivalencia en $X\text{.}$

2. Si $\sigma \in A_n$ y $\tau \in S_n\text{,}$ muestre que $\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}$

3. Defina la órbita de $x \in X$ bajo $\sigma \in S_X$ como el conjunto

   $$\begin{equation*} {\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}. \end{equation*}$$

   Calcule las órbitas de cada uno de los siguientes elementos en $S_5\text{:}$

   $$\begin{align*} \alpha & = (1254)\\ \beta & = (123)(45)\\ \gamma & = (13)(25). \end{align*}$$

4. Si ${\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}$ demuestre que ${\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}$ Las órbitas bajo una permutación $\sigma$ son las clases de equivalencia correspondientes a la relación $\sim\text{.}$

5. Un subgrupo $H$ de $S_X$ es transitivo si para cada $x, y \in X\text{,}$ existe un $\sigma \in H$ tal que $\sigma(x) = y\text{.}$ Demuestre que $\langle \sigma \rangle$ es transitivo si y solo si ${\mathcal O}_{x, \sigma} = X$ para algún $x \in X\text{.}$

33

Sea $\alpha \in S_n$ con $n \geq 3\text{.}$ Si $\alpha \beta = \beta \alpha$ para todo $\beta \in S_n\text{,}$ demuestre que $\alpha$ debe ser la permutación identidad; luego, el centro de $S_n$ es el subgrupo trivial.

34

Si $\alpha$ es par, demuestre que $\alpha^{-1}$ también es par. ¿Hay un resultado análogo si $\alpha$ es impar?

35

Muestre que $\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta$ es par para todo $\alpha, \beta \in S_n\text{.}$

36

Sean $r$ y $s$ los elementos en $D_n$ descritos en el Teorema 5.23.

1. Muestre que $srs = r^{-1}\text{.}$

2. Muestre que $r^k s = s r^{-k}$ en $D_n\text{.}$

3. Demuestre que el orden de $r^k \in D_n$ es $n / \gcd(k,n)\text{.}$