AATA Subgrupos Cíclicos

Sección4.1Subgrupos Cíclicos

Con frecuencia un subgrupo dependerá exclusivamente de un elemento de un grupo; es decir, el conocimiento de ese elemento en particular nos permitirá calcular cualquier elemento del subgrupo.

Ejemplo4.1

Supongamos que escogemos $3 \in {\mathbb Z}$ y consideremos todos los múltiplos (tanto positivos como negativos) de 3. Como conjunto, tenemos

$\begin{equation*} 3 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}. \end{equation*}$

Es fácil ver que $3 {\mathbb Z}$ es un subgrupo de los enteros. Este subgrupo está completamente determinado por el elemento 3 pues podemos obtener todos los otros elementos del grupo tomando los múltiplos de 3. Todo elemento en el subgrupo es “generado” por 3.

Ejemplo4.2

Si $H = \{ 2^n : n \in {\mathbb Z} \}\text{,}$ entonces $H$ es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números racionales no nulos, ${\mathbb Q}^*\text{.}$ Si $a = 2^m$ y $b = 2^n$ están en $H\text{,}$ entonces $ab^{-1} = 2^m 2^{-n} = 2^{m-n}$ también está en $H\text{.}$ Por la Proposición 3.31, $H$ es un subgrupo de ${\mathbb Q}^*$ determinada por el elemento 2.

Teorema4.3

Sea $G$ un grupo y sea $a$ un elemento en $G\text{.}$ Entonces el conjunto

$\begin{equation*} \langle a \rangle = \{ a^k : k \in {\mathbb Z} \} \end{equation*}$

es un subgrupo de $G\text{.}$ Más aún, $\langle a \rangle$ es el menor subgrupo de $G$ que contiene a $a\text{.}$

Demostración

La identidad está en $\langle a \rangle $ pues $a^0 = e\text{.}$ Si $g$ y $h$ son dos elementos cualquiera en $\langle a \rangle \text{,}$ entonces por la definición de $\langle a \rangle$ podemos escribir $g = a^m$ y $h = a^n$ con $m$ y $n$ enteros. Así $gh = a^m a^n = a^{m+n}$ está nuevamente en $\langle a \rangle \text{.}$ Finalmente, si $g = a^n$ está en $\langle a \rangle \text{,}$ entonces el inverso $g^{-1} = a^{-n}$ también está en $\langle a \rangle \text{.}$ Claramente, cualquier subgrupo $H$ de $G$ que contenga $a$ debe contener todas las potencias de $a$ por clausura; luego, $H$ contiene a $\langle a \rangle \text{.}$ Por lo tanto, $\langle a \rangle $ es el menor subgrupo de $G$ que contiene a $a\text{.}$

Nota4.4

Si usamos la notación “+”, como en el caso de los enteros con la operación de suma, escribimos $\langle a \rangle = \{ na : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}$

Para $a \in G\text{,}$ llamamos a $\langle a \rangle$ el subgrupo cíclico generado por $a\text{.}$ Si $G$ contiene algún elemento $a$ tal que $G = \langle a \rangle \text{,}$ entonces $G$ es un grupo cíclico. En ese caso $a$ es un generador de $G\text{.}$ Si $a$ es un elemento de un grupo $G\text{,}$ definimos el orden de $a$ como el menor entero positivo $n$ tal que $a^n= e\text{,}$ y escribimos $|a| = n\text{.}$ Si no hay tal entero $n\text{,}$ decimos que el orden de $a$ es infinito y escribimos $|a| = \infty$ para denotar el orden de $a\text{.}$

Ejemplo4.5

Note que un grupo cíclico puede tener más que un generador. Tanto 1 como 5 generan ${\mathbb Z}_6\text{;}$ por lo tanto, ${\mathbb Z}_6$ es un grupo cíclico. No todo elemento en un grupo cíclico es un generador del grupo. El orden de $2 \in {\mathbb Z}_6$ es 3. El subgrupo cíclico generado por 2 es $\langle 2 \rangle = \{ 0, 2, 4 \}\text{.}$

Los grupos ${\mathbb Z}$ y ${\mathbb Z}_n$ son grupos cíclicos. Los elementos 1 y $-1$ son generadores para ${\mathbb Z}\text{.}$ Siempre podemos generar ${\mathbb Z}_n$ con 1 pero puede haber otros generadores de ${\mathbb Z}_n\text{,}$ como en el caso de ${\mathbb Z}_6\text{.}$

Ejemplo4.6

El grupo de unidades, $U(9)\text{,}$ en ${\mathbb Z}_9$ es un grupo cíclico. Como conjunto, $U(9)$ es $\{ 1, 2, 4, 5, 7, 8 \}\text{.}$ El elemento 2 es un generador para $U(9)$ pues

$\begin{align*} 2^1 & = 2 \qquad 2^2 = 4\\ 2^3 & = 8 \qquad 2^4 = 7\\ 2^5 & = 5 \qquad 2^6 = 1. \end{align*}$

Ejemplo4.7

No todo grupo es un grupo cíclico. Considere el grupo de simetrías de un triángulo equilátero $S_3\text{.}$ La tabla de multiplicación para este grupo es la Tabla 3.7. Los subgrupos de $S_3$ se muestran en la Figura 4.8. Note que todo subgrupo propio es cíclico; sin embargo, ningún elemento por si solo genera el grupo completo.

Figura4.8Subgrupos de

$S_3$

Teorema4.9

Todo grupo cíclico es abeliano.

Demostración

Sea $G$ un grupo cíclico y sea $a \in G$ un generador para $G\text{.}$ Si $g$ y $h$ están en $G\text{,}$ entonces pueden ser escritos como potencias de $a\text{,}$ digamos $g = a^r$ y $h = a^s\text{.}$ Como

\begin{equation*} g h = a^r a^s = a^{r+s} = a^{s+r} = a^s a^r = h g, \end{equation*}

$G$ es abeliano.

SubsecciónSubgrupos de Grupos Cíclicos

Podemos hacer algunas preguntas interesantes sobre subgrupos cíclicos de un grupo y sobre subgrupos de un grupo cíclico. Si $G$ es un grupo, qué subgrupos de $G$ son cíclicos? Si $G$ es un grupo cíclico, que tipo de subgrupos tiene $G\text{?}$

Teorema4.10

Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Demostración

Las principales herramientas usadas en esta demostración son el algoritmo de división y el principio del buen orden. Sea $G$ un grupo cíclico generado por $a$ y supongamos que $H$ es un subgrupo de $G\text{.}$ Si $H = \{ e \}\text{,}$ entonces $H$ es cíclico trivialmente. Supongamos que $H$ contiene algún otro elemento $g$ distinto de la identidad. Entonces $g$ puede ser escrito como $a^n$ para algún entero $n\text{.}$ Como $H$ es un subgrupo, $g^{-1} = a^{-n}$ también debe estar en $H\text{.}$ Como $n$ o $-n$ es positivo, podemos suponer que $H$ contiene potencias positivas de $a$ y que $n \gt 0\text{.}$ Sea $m$ el menor número natural tal que $a^m \in H\text{.}$ Tal $m$ existe por por el principio del buen orden.

Afirmamos que $h = a^m$ es un generador para $H\text{.}$ Debemos demostrar que todo $h' \in H$ puede ser escrito como una potencia de $h\text{.}$ Como $h' \in H$ y $H$ es un subgrupo de $G\text{,}$ $h' = a^k$ para algún entero $k\text{.}$ Usando el algoritmo de la división, podemos encontrar $q$ y $r$ tales que $k = mq +r$ con $0 \leq r \lt m\text{;}$ luego,

\begin{equation*} a^k = a^{mq +r} = (a^m)^q a^r = h^q a^r. \end{equation*}

Así $a^r = a^k h^{-q}\text{.}$ Como $a^k$ y $h^{-q}$ están en $H\text{,}$ $a^r$ también debe estar en $H\text{.}$ Pero $m$ era el menor número positivo tal que $a^m$ está en $H\text{;}$ por lo tanto, $r=0$ y $k=mq\text{.}$ Luego,

\begin{equation*} h' = a^k = a^{mq} = h^q \end{equation*}

y $H$ está generado por $h\text{.}$

Corolario4.11

Los subgrupos de ${\mathbb Z}$ son exactamente $n{\mathbb Z}$ con $n = 0, 1, 2,\ldots\text{.}$

Proposición4.12

Sea $G$ un grupo cíclico de orden $n$ y supongamos que $a$ es un generador para $G\text{.}$ Entonces $a^k=e$ si y solo si $n$ divide a $k\text{.}$

Demostración

Supongamos primero que $a^k=e\text{.}$ Por el algoritmo de la división, $k = nq + r$ con $0 \leq r \lt n\text{;}$ luego,

\begin{equation*} e = a^k = a^{nq + r} = a^{nq} a^r = e a^r = a^r. \end{equation*}

Como el menor entero $m$ tal que $a^m = e$ es $n\text{,}$ $r= 0\text{.}$

Recíprocamente, si $n$ divide a $k\text{,}$ entonces $k=ns$ para algún entero $s\text{.}$ Por lo tanto,

\begin{equation*} a^k = a^{ns} = (a^n)^s = e^s = e. \end{equation*}

Teorema4.13

Sea $G$ un grupo cíclico de orden $n$ y supongamos que $a \in G$ es un generador del grupo. Si $b = a^k\text{,}$ entonces el orden de $b$ es $n/d\text{,}$ con $d = \gcd(k,n)\text{.}$

Demostración

Buscamos el menor entero positivo $m$ tal que $e = b^m = a^{km}\text{.}$ Por la Proposición 4.12, este es el menor entero positivo $m$ tal que $n$ divide a $km$ o, equivalentemente, $n/d$ divide a $m(k/d)\text{.}$ Como $d$ es el máximo común divisor de $n$ y $k\text{,}$ $n/d$ y $k/d$ son relativamente primos. Luego, para que $n/d$ divida a $m(k/d)$ debe dividir a $m\text{.}$ El menor tal $m$ es $n/d\text{.}$

Corolario4.14

Los generadores de ${\mathbb Z}_n$ son los enteros $r$ tales que $1 \leq r \lt n$ y $\gcd(r,n) = 1\text{.}$

Ejemplo4.15

Consideremos el grupo ${\mathbb Z}_{16}\text{.}$ Los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, y 15 son los elementos de ${\mathbb Z}_{16}$ que son relativamente primos con 16. Cada uno de estos elementos genera ${\mathbb Z}_{16}\text{.}$ Por ejemplo,

$\begin{align*} 1 \cdot 9 & = 9 & 2 \cdot 9 & = 2 & 3 \cdot 9 & = 11\\ 4 \cdot 9 & = 4 & 5 \cdot 9 & = 13 & 6 \cdot 9 & = 6 \\ 7 \cdot 9 & = 15 & 8 \cdot 9 & = 8 & 9 \cdot 9 & = 1 \\ 10 \cdot 9 & = 10 & 11 \cdot 9 & = 3 & 12 \cdot 9 & = 12\\ 13 \cdot 9 & = 5 & 14 \cdot 9 & = 14 & 15 \cdot 9 & = 7. \end{align*}$