AATA Grupos Cociente y Subgrupos Normales

Sección10.1Grupos Cociente y Subgrupos Normales

SubsecciónSubgrupos Normales

Un subgrupo $H$ de un grupo $G$ es normal en G se $gH = Hg$ para todo $g \in G\text{.}$ Es decir, un subgrupo normal de un grupo $G$ es un subgrupo para el que las clases laterales derechas e izquierdas coinciden.

Ejemplo10.1

Sea $G$ un grupo abeliano. Todo subgrupo $H$ de $G$ es un subgrupo normal. Como $gh = hg$ para todo $g \in G$ y $h \in H\text{,}$ siempre se cumple que $gH = Hg\text{.}$

Ejemplo10.2

Sea $H$ el subgrupo de $S_3$ que consiste de los elementos $(1)$ y $(12)\text{.}$ Como

$\begin{equation*} (123) H = \{ (123), (13) \} \quad \text{and} \quad H (123) = \{ (123), (23) \}, \end{equation*}$

$H$ no puede ser un subgrupo normal de $S_3\text{.}$ Sin embargo, el subgrupo $N\text{,}$ que consiste de las permutaciones $(1)\text{,}$ $(123)\text{,}$ y $(132)\text{,}$ es normal pues las clases laterales de $N$ son

$\begin{gather*} N = \{ (1), (123), (132) \}\\ (12) N = N (12) = \{ (12), (13), (23) \}. \end{gather*}$

El siguiente teorema es fundamental para nuestra comprensión de los subgrupo normales.

Teorema10.3

Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo de $G\text{.}$ Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.

El subgrupo $N$ es normal en $G\text{.}$
Para todo $g \in G\text{,}$ $gNg^{-1} \subset N\text{.}$
Para todo $g \in G\text{,}$ $gNg^{-1} = N\text{.}$

Demostración

(1) $\Rightarrow$ (2). Como $N$ es normal en $G\text{,}$ $gN = Ng$ para todo $g \in G\text{.}$ Luego, para un $g \in G$ dado y para $n \in N\text{,}$ existe $n'$ en $N$ tal que $g n = n' g\text{.}$ Por lo tanto, $gng^{-1} = n' \in N$ y $gNg^{-1} \subset N\text{.}$

(2) $\Rightarrow$ (3). Sea $g \in G\text{.}$ Como $gNg^{-1} \subset N\text{,}$ solo debemos demostrar que $N \subset gNg^{-1}\text{.}$ Para $n \in N\text{,}$ $g^{-1}ng=g^{-1}n(g^{-1})^{-1} \in N\text{.}$ Luego, $g^{-1}ng = n'$ para algún $n' \in N\text{.}$ Por lo tanto, $n = g n' g^{-1}$ está en $g N g^{-1}\text{.}$

(3) $\Rightarrow$ (1). Supongamos que $gNg^{-1} = N$ para todo $g \in G\text{.}$ Entonces para cualquier $n \in N$ existe $n' \in N$ tal que $gng^{-1} = n'\text{.}$ Por lo tanto, $gn = n' g$ y $gN \subset Ng\text{.}$ Similarmente, $Ng \subset gN\text{.}$

SubsecciónGrupos cociente

Si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G\text{,}$ entonces las clases laterales de $N$ en $G$ forman un grupo $G/N$ con la operación $(aN) (bN) = abN\text{.}$ Este grupo se llama cociente de $G$ por $N\text{.}$ Nuestra primera tarea es demostrar que $G/N$ es realmente un grupo.

Teorema10.4

Sea $N$ un subgrupo normal de un grupo $G\text{.}$ Las clases laterales de $N$ en $G$ forman un grupo $G/N$ de orden $[G:N]\text{.}$

Demostración

La operación de grupo en $G/N$ es $(a N ) (b N)= a b N\text{.}$ Debemos verificar que esta operación está bien definida; es decir, el producto en el grupo debe ser independiente de la elección de representantes para las clases laterales. Sean $aN = bN$ y $cN = dN\text{.}$ Debemos mostrar que

\begin{equation*} (aN) (cN) = acN = bd N = (b N)(d N). \end{equation*}

Entonces $a = b n_1$ y $c = d n_2$ para algún $n_1$ y algún $n_2$ en $N\text{.}$ Luego,

\begin{align*} acN & = b n_1 d n_2 N\\ & = b n_1 d N\\ & = b n_1 N d\\ & = b N d\\ & = b d N. \end{align*}

El resto del teorema es fácil: $eN = N$ es la identidad y $g^{-1} N$ es el inverso de $gN\text{.}$ El orden de $G/N$ es, por supuesto, el número de clases laterales de $N$ en $G\text{.}$

Es muy importante recordar que los elementos de un grupo cociente son conjuntos de elementos en el grupo original.

Ejemplo10.5

Considere el subgrupo normal de $S_3\text{,}$ $N = \{ (1), (123), (132) \}\text{.}$ Las clases laterales de $N$ en $S_3$ son $N$ y $(12) N\text{.}$ El grupo cociente $S_3 / N$ tiene la siguiente tabla de multiplicación.

$\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & N & (12) N \\ \hline N & N & (12) N \\ (12) N & (12) N & N \end{array} \end{equation*}$

Este grupo es isomorfo a ${\mathbb Z}_2\text{.}$ Al inicio, multiplicar clases laterales puede parecer complicado y extraño; sin embargo, note que $S_3 / N$ es un grupo más pequeño. El grupo cociente entrega cierta información acerca de $S_3\text{.}$ En realidad, $N = A_3\text{,}$ es el conjunto de permutaciones pares, y $(12) N = \{ (12), (13), (23) \}$ es el conjunto de permutaciones impares. La información capturada en $G/N$ es la paridad; es decir, multiplicar dos elementos pares o dos elementos impares resulta en una permutación par, mientra que multiplicar un elemento par con un impar resulta en una permutación impar.

Ejemplo10.6

Considere el subgrupo normal $3 {\mathbb Z}$ de ${\mathbb Z}\text{.}$ Las clases laterales de $3 {\mathbb Z}$ en ${\mathbb Z}$ son

$\begin{align*} 0 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}\\ 1 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -2, 1, 4, 7, \ldots \}\\ 2 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -1, 2, 5, 8, \ldots \}. \end{align*}$

El grupo ${\mathbb Z}/ 3 {\mathbb Z}$ está dado por la tabla de multiplicación de más abajo.

$\begin{equation*} \begin{array}{c|ccc} + & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\\hline 0 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\ 1 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} \\ 2 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} \end{array} \end{equation*}$

En general, el subgrupo $n {\mathbb Z}$ de ${\mathbb Z}$ es normal. Las clases laterales de ${\mathbb Z } / n {\mathbb Z}$ son

$\begin{gather*} n {\mathbb Z}\\ 1 + n {\mathbb Z}\\ 2 + n {\mathbb Z}\\ \vdots\\ (n-1) + n {\mathbb Z}. \end{gather*}$

La suma de clases laterales $k + {\mathbb Z}$ y $l + {\mathbb Z}$ es $k+l + {\mathbb Z}\text{.}$ Note que hemos escrito las clases laterales de forma aditiva, pues la operación del grupo es la adición de enteros.

Ejemplo10.7

Considere el grupo dihedral $D_n\text{,}$ generado por dos elementos $r$ y $s\text{,}$ que satisfacen las relaciones

$\begin{align*} r^n & = \identity\\ s^2 & = \identity\\ srs & = r^{-1}. \end{align*}$

El elemento $r$ en realidad genera el subgrupo cíclico de las rotaciones, $R_n\text{,}$ en $D_n\text{.}$ Como $srs^{-1} = srs = r^{-1} \in R_n\text{,}$ el grupo de rotaciones es un subgrupo normal de $D_n\text{;}$ por lo tanto, $D_n / R_n$ es un grupo. Como hay exactamente dos elementos en este grupo, debe ser isomorfo a ${\mathbb Z}_2\text{.}$