AATA Anillos de Polinomios

Sección17.1Anillos de Polinomios

En todo este capítulo supondremos que $R$ es un anillo conmutativo con uno. Una expresión de la forma

$\begin{equation*} f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n, \end{equation*}$

donde $a_i \in R$ y $a_n \neq 0\text{,}$ se llama polinomio sobre $R$ con indeterminada $x\text{.}$ Los elementos $a_0, a_1, \ldots, a_n$ se llaman coeficientes de $f\text{.}$ El coeficiente $a_n$ se llama coeficiente líder. Un polinomio se llama mónico si su coeficiente líder es 1. Si $n$ es el mayor entero no negativo para el que $a_n \neq 0\text{,}$ decimos que el grado de $f$ es $n$ y escribimos $\deg f(x) = n\text{.}$ Si no existe tal $n$ —es decir, si $f=0$ es el polinomio cero—entonces el grado de $f$ se define como $-\infty\text{.}$ Denotaremos por $R[x]$ al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en un anillo $R\text{.}$ Dos polinomios son iguales exactamente cuando sus coeficientes correspondientes son iguales; es decir, si

$\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m, \end{align*}$

entonces $p(x) = q(x)$ si y solo si $a_i = b_i$ para todo $i \geq 0\text{.}$

Para mostrar que el conjunto de todos los polinomios forma un anillo, debemos primero definir adición y multiplicación. Definimos la suma de dos polinomios como sigue. Sean

$\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m. \end{align*}$

Entonces la suma de $p(x)$ y $q(x)$ es

$\begin{equation*} p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k, \end{equation*}$

donde $c_i = a_i + b_i$ for each $i\text{.}$ Definimos el producto de $p(x)$ y $q(x)$ como

$\begin{equation*} p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}, \end{equation*}$

donde

$\begin{equation*} c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0 \end{equation*}$

para cada $i\text{.}$ Notemos que en cada caso algunos de los coeficientes pueden ser cero.

Ejemplo17.1

Supongamos que

$\begin{equation*} p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4 \end{equation*}$

$\begin{equation*} q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4 \end{equation*}$

son polinomios en ${\mathbb Z}[x]\text{.}$ Si el coeficiente de algún término en un polinomio es cero, entonces simplemente omitiremos ese término. En este caso escribiremos $p(x) = 3 + 2 x^3$ y $q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}$ La suma de estos dos polinomios es

$\begin{equation*} p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4. \end{equation*}$

El producto,

$\begin{equation*} p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7, \end{equation*}$

puede ser calculado ya sea determinando los $c_i$ en la definición o simplemente multiplicando los polinomios de la misma forma en que lo hemos hecho siempre.

Ejemplo17.2

Sean

$\begin{equation*} p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{and} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4 \end{equation*}$

polinomios en ${\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}$ La suma de $p(x)$ y $q(x)$ es $7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}$ El producto de los dos polinomios es el polinomio cero. Este ejemplo nos muestra que no podemos esperar que $R[x]$ sea un dominio integral si $R$ no es un dominio integral.

Teorema17.3

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad. Entonces $R[x]$ es un anillo conmutativo con identidad.

Demostración

Nuestra primera tarea es mostrar que $R[x]$ es un grupo abeliano con la operación de suma de polinomios. El polinomio cero, $f(x) = 0\text{,}$ es el neutro aditivo. Dado un polinomio $p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}$ el inverso aditivo de $p(x)$ es $-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}$ La conmutatividad y la asociatividad son consecuencia inmediata de la definición de la suma de polinomios y del hecho que la adición en $R$ es tanto conmutativa como asociativa.

Para mostrar que la multiplicación de polinomios es asociativa, sean

\begin{align*} p(x) & = \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i,\\ q(x) & = \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i,\\ r(x) & = \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i. \end{align*}

Entonces

\begin{align*} [p(x) q(x)] r(x) & = \left[ \left( \sum_{i=0}^{m} a_i x^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n} b_i x^i \right) \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \left[ \sum_{i = 0}^{m+n} \left( \sum_{j = 0}^{i} a_j b_{i - j} \right) x^i \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} \left( \sum_{k=0}^j a_k b_{j-k} \right) c_{i-j} \right] x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left(\sum_{j + k + l = i} a_j b_k c_l \right) x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m+n+p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} a_j \left( \sum_{k = 0}^{i - j} b_k c_{i - j - k} \right) \right] x^i\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \sum_{i = 0}^{n + p} \left( \sum_{j = 0}^{i} b_j c_{i - j} \right) x^i \right]\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \left( \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i \right) \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right) \right]\\ & = p(x) [ q(x) r(x) ] \end{align*}

La conmutatividad y la distributividad se demuestran de forma similar. Dejaremos estas demostraciones como ejercicios.

Proposición17.4

Sean $p(x)$ y $q(x)$ polinomios en $R[x]\text{,}$ donde $R$ es un dominio integral. Entonces $\deg p(x) + \deg q(x) = \deg( p(x) q(x) )\text{.}$ Además, $R[x]$ es un dominio integral.

Demostración

Supongamos que tenemos dos polinomios distintos de cero

\begin{equation*} p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0 \end{equation*}

\begin{equation*} q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0 \end{equation*}

con $a_m \neq 0$ y $b_n \neq 0\text{.}$ Los grados de $p(x)$ y $q(x)$ son $m$ y $n\text{,}$ respectivamente. El término líder de $p(x) q(x)$ es $a_m b_n x^{m + n}\text{,}$ que no puede ser cero pues $R$ es un dominio integral; Vemos que el grado de $p(x) q(x)$ es $m + n\text{,}$ y $p(x)q(x) \neq 0\text{.}$ Como $p(x) \neq 0$ y $q(x) \neq 0$ implica que $p(x)q(x) \neq 0\text{,}$ concluimos que $R[x]$ también es un dominio integral.

También queremos considerar polynomios en dos o más variables, tales cómo $x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}$ Sea $R$ un anillo y supongamos que tenemos dos variables $x$ e $y\text{.}$ Ciertamente podemos formar el anillo $(R[x])[y]\text{.}$ Es directo, aunque quizás tedioso, demostrar que $(R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}$ Identificaremos estos dos anillos por medio de este isomorfismo y simplemente escribiremos $R[x,y]\text{.}$ El anillo $R[x, y]$ se llama anillo de polinomios en dos variables $x$ e $y$ con coeficientes en $R\text{.}$ Podemos definir similarmente el anillo de polinomios en $n$ variables con coeficientes en $R\text{.}$ Denotaremos este anillo por $R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}$

Teorema17.5

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad y sea $\alpha \in R\text{.}$ Entonces tenemos un homomorfismo de anillos $\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R$ definido por

$\begin{equation*} \phi_{\alpha} (p(x) ) = p( \alpha ) = a_n \alpha^n + \cdots + a_1 \alpha + a_0, \end{equation*}$

donde $p( x ) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\text{.}$

Demostración

Sean $p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i$ y $q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}$ Es fácil mostrar que $\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}$ Para mostrar que la multiplicación es preservada por la función $\phi_{\alpha}\text{,}$ observemos que

\begin{align*} \phi_{\alpha} (p(x) ) \phi_{\alpha} (q(x)) & = p( \alpha ) q(\alpha)\\ & = \left( \sum_{i = 0}^n a_i \alpha^i \right) \left( \sum_{i = 0}^m b_i \alpha^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n} \left( \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} \right) \alpha^i\\ & = \phi_{\alpha} (p(x) q(x)). \end{align*}

La función $\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R$ se llama homomorfismo de evaluación en $\alpha\text{.}$