Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Sea $\aut(G)$ el conjunto de todos los automorfismos de $G\text{;}$ es decir, isomorfismos de $G$ en sí mismo. Demuestre que este conjunto forma un grupo y que es un subgrupo del grupo de permutaciones de $G\text{;}$ es decir, $\aut(G) \leq S_G\text{.}$

2

Un automorfismo interno de $G\text{,}$

está definido por la función

para $g \in G\text{.}$ Demuestre que $i_g \in \aut(G)\text{.}$

3

El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por $\inn(G)\text{.}$ Muestre que $\inn(G)$ es un subgrupo de $\aut(G)\text{.}$

4

Encuentre un automorfismo de un grupo $G$ que no sea un automorfismo interno.

5

Sea $G$ un grupo y sea $i_g$ un automorfismo interno de $G\text{.}$ Defina la función

por

Demuestre que esta función es un homomorfismo con imagen $\inn(G)$ y núcleo $Z(G)\text{.}$ Use este resultado para concluir que

6

Calcule $\aut(S_3)$ y $\inn(S_3)\text{.}$ Haga lo mismo para $D_4\text{.}$

7

Encuentre todos los homomorfismos $\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}$ ¿Qué es $\aut({\mathbb Z})\text{?}$

8

Encuentre todos los automorfismos de ${\mathbb Z}_8\text{.}$ Demuestre que $\aut({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}$

9

Para $k \in {\mathbb Z}_n\text{,}$ defina una función $\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n$ por $a \mapsto ka\text{.}$ Demuestre que $\phi_k$ es un homomorfismo.

10

Demuestre que $\phi_k$ es un isomorfismo si y solo si $k$ es un generador de ${\mathbb Z}_n\text{.}$

11

Muestre que todo automorfismo de ${\mathbb Z}_n$ es de la forma $\phi_k\text{,}$ con $k$ un generador de ${\mathbb Z}_n\text{.}$

12

Demuestre que $\psi : U(n) \rightarrow \aut({\mathbb Z}_n)$ es un isomorfismo, donde $\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}$