AATA Ejercicios Adicionales: Corrección de Errores para Códigos <abbr class="acronym">BCH</abbr>

Sección22.4Ejercicios Adicionales: Corrección de Errores para Códigos BCH

Los códigos BCH tienen algoritmos de corrección de errores muy atractivos. Sea $C$ un código BCH en $R_n\text{,}$ y supongamos que se transmite un polinomio $c(t) = c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1} t^{n-1}$ del código. Sea $w(t) = w_0 + w_1 t + \cdots w_{n-1} t^{n-1}$ el polinomio en $R_n$ que es recibido. Si han ocurrido errores en los bits $a_1, \ldots, a_k\text{,}$ entonces $w(t) = c(t) + e(t)\text{,}$ donde $e(t) = t^{a_1} + t^{a_2} + \cdots + t^{a_k}$ es el polinomio de error. El decodificador debe determinar los enteros $a_i$ y luego recuperar $c(t)$ a partir de $w(t)$ cambiando el valor de los bit $a_i\text{.}$ A partir de $w(t)$ podemos calcular $w( \omega^i ) = s_i$ para $i = 1, \ldots, 2r\text{,}$ donde $\omega$ es una raíz $n$ -ésima primitiva de la unidad sobre ${\mathbb Z}_2\text{.}$ Decimos que el síndrome de $w(t)$ es $s_1, \ldots, s_{2r}\text{.}$

1

Muestre que $w(t)$ es un código polinomial si y solo si $s_i = 0$ para todo $i\text{.}$

2

Muestre que

$\begin{equation*} s_i = w( \omega^i) = e( \omega^i) = \omega^{i a_1} + \omega^{i a_2} + \cdots + \omega^{i a_k} \end{equation*}$

para $i = 1, \ldots, 2r\text{.}$ El polinomio localizador de errores se define como

$\begin{equation*} s(x) = (x + \omega^{a_1})(x + \omega^{a_2}) \cdots (x + \omega^{a_k}). \end{equation*}$

3

Recuerde el código de bloque BCH $(15,7)$ en el Ejemplo 22.19. Por el Teorema 8.13, este código es capaz de corregir dos errores. Supongamos que estos errores ocurren en los bits $a_1$ y $a_2\text{.}$ El polinomio localizador de errores es $s(x) = (x + \omega^{a_1})(x + \omega^{a_2})\text{.}$ Muestre que

$\begin{equation*} s(x) = x^2 + s_1 x + \left( s_1^2 + \frac{s_3}{s_1} \right). \end{equation*}$

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Sea $w(t) = 1 + t^2 +t^4 + t^5 + t^7 + t^{12} + t^{13}\text{.}$ Determine el polinomio originalmente transmitido.