Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Obtenga cada uno de los siguientes grupos de Galois. ¿Cuáles de las siguientes extension de cuerpos son extensiones normales? Si la extensión no es normal, encuentre una extensión normal ${\mathbb Q}$ en la que esté contenida.

1. $G({\mathbb Q}(\sqrt{30}\, ) / {\mathbb Q})$

2. $G({\mathbb Q}(\sqrt[4]{5}\, ) / {\mathbb Q})$

3. $G( {\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/ {\mathbb Q} )$

4. $G({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, i) / {\mathbb Q})$

5. $G({\mathbb Q}(\sqrt{6}, i) / {\mathbb Q})$

2

Determine la separabilidad de cada uno de los siguientes polinomios.

1. $x^3 + 2 x^2 - x - 2$ sobre ${\mathbb Q}$

2. $x^4 + 2 x^2 + 1$ sobre ${\mathbb Q}$

3. $x^4 + x^2 + 1$ sobre ${\mathbb Z}_3$

4. $x^3 +x^2 + 1$ sobre ${\mathbb Z}_2$

3

Indique el orden y describa un generador del grupo de Galois de $\gf(729)$ sobre $\gf(9)\text{.}$

4

Obtenga los grupos de Galois de cada uno de los siguientes polinomios en ${\mathbb Q}[x]\text{;}$ determine la solubilidad por radicales de cada uno de los polinomios.

1. $x^5 - 12 x^2 + 2$

2. $x^5 - 4 x^4 + 2 x + 2$

3. $x^3 - 5$

4. $x^4 - x^2 - 6$

5. $x^5 + 1$

6. $(x^2 - 2)(x^2 + 2)$

7. $x^8 - 1$

8. $x^8 + 1$

9. $x^4 - 3 x^2 -10$

5

Encuentre un elemento primitivo en el cuerpo de descomposición de cada uno de los siguientes polinomios en ${\mathbb Q}[x]\text{.}$

1. $x^4 - 1$

2. $x^4 - 8 x^2 + 15$

3. $x^4 - 2 x^2 - 15$

4. $x^3 - 2$

6

Demuestre que el grupo de Galois de un polinomio cuadrático irreducible es isomorfo a ${\mathbb Z}_2\text{.}$

7

Demuestre que el grupo de Galois de un polinomio cúbico irreducible es isomorfo a $S_3$ o a ${\mathbb Z}_3\text{.}$

8

Sean $F \subset K \subset E$ cuerpos. Si $E$ es una extensión normal de $F\text{,}$ muestre que $E$ también es una extensión normal de $K\text{.}$

9

Sea $G$ el grupo de Galois de un polinomio de grado $n\text{.}$ Demuestre que $|G|$ divide a $n!\text{.}$

10

Sea $F \subset E\text{.}$ Si $f(x)$ es soluble sobre $F\text{,}$ muestre que $f(x)$ también es soluble sobre $E\text{.}$

11

Construya un polinomio $f(x)$ en ${\mathbb Q}[x]$ de grado 7 que no sea soluble por radicales.

12

Sea $p$ un número primo. Demuestre que existe un polinomio $f(x) \in{\mathbb Q}[x]$ de grado $p$ con grupo de Galois isomorfo a $S_p\text{.}$ Concluya que para todo primo $p$ con $p \geq 5$ existe un polinomio de grado $p$ que no es soluble por radicales.

13

Sea $p$ un número primo y sea ${\mathbb Z}_p(t)$ el cuerpo de funciones racionales sobre ${\mathbb Z}_p\text{.}$ Demuestre que $f(x) = x^p - t$ es un polinomio irreducible en ${\mathbb Z}_p(t)[x]\text{.}$ Muestre que $f(x)$ no es separable.

14

Sea $E$ una extensión de cuerpos de $F\text{.}$ Supongamos que $K$ y $L$ son dos cuerpos intermedios. Si existe un elemento $\sigma \in G(E/F)$ tal que $\sigma(K) = L\text{,}$ entonces $K$ y $L$ se llaman cuerpos conjugados. Demuestre que $K$ y $L$ son conjugados si y solo si $G(E/K)$ y $G(E/L)$ son subgrupos conjugados de $G(E/F)\text{.}$

15

Sea $\sigma \in \aut( {\mathbb R} )\text{.}$ Si $a$ es un número real positivo, muestre que $\sigma( a) > 0\text{.}$

16

Sea $K$ el cuerpo de descomposición de $x^3 + x^2 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}$ Demuestre o refute que $K$ es una extensión por radicales.

17

Sea $F$ un cuerpo tal que ${\rm char}\, F \neq 2\text{.}$ Demuestre que el cuerpo de descomposición de $f(x) = a x^2 + b x + c$ es $F( \sqrt{\alpha}\, )\text{,}$ donde $\alpha = b^2 - 4ac\text{.}$

18

Demuestre o refute: Dos subgrupos diferentes de un grupo de Galois tienen cuerpos fijos diferentes.

19

Sea $K$ el cuerpo de descomposición de un polinomio sobre $F\text{.}$ Si $E$ es una extensión de cuerpos de $F$ contenida en $K$ y $[E:F] = 2\text{,}$ entonces $E$ es el cuerpo de descomposición de algún polinomio en $F[x]\text{.}$

20

Sabemos que el polinomio ciclotómico

es irreducible sobre ${\mathbb Q}$ para cada primo $p\text{.}$ Sea $\omega$ un cero de $\Phi_p(x)\text{,}$ y consideremos el cuerpo ${\mathbb Q}(\omega)\text{.}$

1. Muestre que $\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1}$ son raíces distintas de $\Phi_p(x)\text{,}$ y concluya que son todas las raíces de $\Phi_p(x)\text{.}$

2. Muestre que $G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )$ es abeliano de orden $p - 1\text{.}$

3. Muestre que el cuerpo fijo de $G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )$ es ${\mathbb Q}\text{.}$

21

Sea $F$ un cuerpo finito o un cuerpo de característica cero. Sea $E$ una extensión normal finita de $F$ con grupo de Galois $G(E/F)\text{.}$ Demuestre que $F \subset K \subset L \subset E$ si y solo si $\{ \identity \} \subset G(E/L) \subset G(E/K) \subset G(E/F)\text{.}$

22

Sea $F$ un cuerpo de característica cero y sea $f(x) \in F[x]$ un polinomio separable de grado $n\text{.}$ Si $E$ es el cuerpo de descomposición de $f(x)\text{,}$ sean $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ las raíces de $f(x)$ en $E\text{.}$ Sea $\Delta = \prod_{i \lt j} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}$ Definimos el discriminante de $f(x)$ como $\Delta^2\text{.}$

1. Si $f(x) = x^2 + b x + c\text{,}$ muestre que $\Delta^2 = b^2 - 4c\text{.}$

2. Si $f(x) = x^3 + p x + q\text{,}$ muestre que $\Delta^2 = - 4p^3 - 27q^2\text{.}$

3. Demuestre que $\Delta^2$ está en $F\text{.}$

4. Si $\sigma \in G(E/F)$ es una transposición de dos raíces de $f(x)\text{,}$ muestre que $\sigma( \Delta ) = -\Delta\text{.}$

5. Si $\sigma \in G(E/F)$ es una permutación par de las raíces de $f(x)\text{,}$ muestre que $\sigma( \Delta ) = \Delta\text{.}$

6. Demuestre que $G(E/F)$ es isomorfo a un subgrupo de $A_n$ si y solo si $\Delta \in F\text{.}$

7. Determine el grupo de Galois de $x^3 + 2 x - 4$ y $x^3 + x -3\text{.}$