Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Demuestre que $\mathbb Z \cong n \mathbb Z$ para $n \neq 0\text{.}$

2

Demuestre que ${\mathbb C}^\ast$ es isomorfo al subgrupo de $GL_2( {\mathbb R} )$ que consiste de las matrices de la forma

3

Demuestre o refute: $U(8) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}$

4

Demuestre que $U(8)$ es isomorfo al grupo de matrices

5

Muestre que $U(5)$ es isomorfo a $U(10)\text{,}$ pero $U(12)$ no lo es.

6

Muestre que las raíces $n$-ésimas de la unidad forman un grupo isomorfo a ${\mathbb Z}_n\text{.}$

7

Muestre que cualquier grupo cíclico de orden $n$ es isomorfo a ${\mathbb Z}_n\text{.}$

8

Demuestre que ${\mathbb Q}$ no es isomorfo a ${\mathbb Z}\text{.}$

9

Sea $G = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}$ y defina una operación binaria en $G$ como

Demuestre que $G$ es un grupo con esta operación. Muestre que $(G, *)$ es isomorfo al grupo multiplicativo de los números reales distintos de cero.

10

Muestre que las matrices

forman un grupo. Encuentre un isomorfismo de $G$ con un grupo conocido de orden 6.

11

Encuentre cinco grupos no isomorfos de orden 8.

12

Demuestre que $S_4$ no es isomorfo a $D_{12}\text{.}$

13

Sea $\omega = \cis(2 \pi /n)$ una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad. Demuestre que las matrices

generan un grupo multiplicativo isomorfo a $D_n\text{.}$

14

Muestre que el conjunto de todas las matrices de la forma

es un grupo isomorfo a $D_n\text{,}$ donde las entradas de la matriz están en ${\mathbb Z}_n\text{.}$

15

Liste todos los elementos de ${\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$

16

Encuentre el orden de cada uno de los siguientes elementos.

1. $(3, 4)$ en ${\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_6$

2. $(6, 15, 4)$ en ${\mathbb Z}_{30} \times {\mathbb Z}_{45} \times {\mathbb Z}_{24}$

3. $(5, 10, 15)$ en ${\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25}$

4. $(8, 8, 8)$ en ${\mathbb Z}_{10} \times {\mathbb Z}_{24} \times {\mathbb Z}_{80}$

17

Demuestre que $D_4$ no puede ser el producto directo interno de dos de sus subgrupos propios.

18

Demuestre que el subgrupo de ${\mathbb Q}^\ast$ que consiste de elementos de la forma $2^m 3^n$ para $m,n \in {\mathbb Z}$ es un producto directo interno isomorfo a ${\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}$

19

Demuestre que $S_3 \times {\mathbb Z}_2$ es isomorfo a $D_6\text{.}$ ¿Puede hacer una conjetura sobre $D_{2n}\text{?}$ Demuestre su conjetura.

20

Demuestre o refute: Todo grupo abeliano de orden divisible por 3 contiene un subgrupo de orden 3.

21

Demuestre o refute: Todo grupo no abeliano de orden divisible por 6 contiene un subgrupo de orden 6.

22

Sea $G$ un grupo de orden 20. Si $G$ tiene subgrupos $H$ y $K$ de órdenes 4 y 5 respectivamente tales que $hk = kh$ para todo $h \in H$ y $k \in K\text{,}$ demuestre que $G$ es el producto directo interno de $H$ y $K\text{.}$

23

Demuestre o refute la siguiente aseveración. Sean $G\text{,}$ $H\text{,}$ y $K$ grupos. Si $G \times K \cong H \times K\text{,}$ entonces $G \cong H\text{.}$

24

Demuestre o refute: Existe un grupo abeliano no cíclico de orden 51.

25

Demuestre o refute: Existe un grupo abeliano no cíclico de orden 52.

26

Sea $\phi : G \rightarrow H$ un isomorfismo de grupos. Muestre que $\phi( x) = e_H$ si y solo si $x=e_G\text{,}$ donde $e_G$ y $e_H$ son las identidades de $G$ y $H\text{,}$ respectivamente.

27

Sea $G \cong H\text{.}$ Muestre que si $G$ es cíclico, entonces también lo es $H\text{.}$

28

Demuestre que cualquier grupo $G$ de orden $p\text{,}$ $p$ primo, debe ser isomorfo a ${\mathbb Z}_p\text{.}$

29

Muestre que $S_n$ es isomorfo a un subgrupo de $A_{n+2}\text{.}$

30

Demuestre que $D_n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n\text{.}$

31

Sean $\phi : G_1 \rightarrow G_2$ y $\psi : G_2 \rightarrow G_3$ isomorfismos. Muestre que $\phi^{-1}$ y $\psi \circ \phi$ son ambos isomorfismos. Usando estos resultados, muestre que el isomorfismo de grupos define una relación de equivalencia en la clase de todos los grupos.

32

Demuestre que $U(5) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}$ ¿Puede generalizar este resultado para $U(p)\text{,}$ donde $p$ es primo?

33

Escriba las permutaciones asociadas con cada elemento de $S_3$ en la demostración del Teorema de Cayley.

34

Un automorfismo de un grupo $G$ es un isomorfismo consigo mismo. Demuestre que la conjugación compleja es un automorfismo del grupo aditivo de los números complejos; es decir, muestre que la función $\phi( a + bi ) = a - bi$ es un isomorfismo de ${\mathbb C}$ a ${\mathbb C}\text{.}$

35

Demuestre que $a + ib \mapsto a - ib$ es un automorfismo de ${\mathbb C}^*\text{.}$

36

Demuestre que $A \mapsto B^{-1}AB$ es un automorfismo de $SL_2({\mathbb R})$ para todo $B$ en $GL_2({\mathbb R})\text{.}$

37

Denotaremos el conjunto de todos los automorfismo de $G$ como $\aut(G)\text{.}$ Demuestre que $\aut(G)$ es un subgrupo de $S_G\text{,}$ el grupo de permutaciones de $G\text{.}$

38

Encuentre $\aut( {\mathbb Z}_6)\text{.}$

39

Encuentre $\aut( {\mathbb Z})\text{.}$

40

Encuentre dos grupos $G$ y $H$ no isomorfos tales que $\aut(G) \cong \aut(H)\text{.}$

41

Sea $G$ un grupo y $g \in G\text{.}$ Definamos una función $i_g : G \rightarrow G$ como $i_g(x) = g x g^{-1}\text{.}$ Demuestre que $i_g$ define un automorfismo de $G\text{.}$ Un automorfismo de este tipo se llama automorfismo interno. El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por $\inn(G)\text{.}$

42

Demuestre que $\inn(G)$ es un subgrupo de $\aut(G)\text{.}$

43

¿Cuáles son los automorfismos internos del grupo de los cuaterniones $Q_8\text{?}$ ¿Es $\inn(G) = \aut(G)$ en este caso?

44

Sea $G$ un grupo y $g \in G\text{.}$ Definamos las funciones $\lambda_g :G \rightarrow G$ y $\rho_g :G \rightarrow G$ como $\lambda_g(x) = gx$ y $\rho_g(x) = xg^{-1}\text{.}$ Muestre que $i_g = \rho_g \circ \lambda_g$ es un automorfismo de $G\text{.}$ El isomorfismo $g \mapsto \rho_g$ se llama representación regular derecha de $G\text{.}$

45

Sea $G$ el producto directo interno de los subgrupos $H$ y $K\text{.}$ Muestre que la función $\phi : G \rightarrow H \times K$ definida por $\phi(g) = (h,k)$ para $g =hk\text{,}$ donde $h \in H$ y $k \in K\text{,}$ es biyectiva.

46

Sean $G$ y $H$ grupos isomorfos. Si $G$ tiene un subgrupo de orden $n\text{,}$ demuestre que $H$ también tiene un subgrupo de orden $n\text{.}$

47

Si $G \cong \overline{G}$ y $H \cong \overline{H}\text{,}$ muestre que $G \times H \cong \overline{G} \times \overline{H}\text{.}$

48

Demuestre que $G \times H$ es isomorfo a $H \times G\text{.}$

49

Sean $n_1, \ldots, n_k$ enteros positivos. Muestre que

si y solo si $\gcd( n_i, n_j) =1$ para $i \neq j\text{.}$

50

Demuestre que $A \times B$ es abeliano si y solo si $A$ y $B$ son abelianos.

51

Si $G$ es el producto directo interno de $H_1, H_2, \ldots, H_n\text{,}$ demuestre que $G$ es isomorfo a $\prod_i H_i\text{.}$

52

Sean $H_1$ y $H_2$ subgrupos de $G_1$ y $G_2\text{,}$ respectivamente. Demuestre que $H_1 \times H_2$ es un subgrupo de $G_1 \times G_2\text{.}$

53

Sean $m, n \in {\mathbb Z}\text{.}$ Demuestre que $\langle m,n \rangle = \langle d \rangle$ si y solo si $d = \gcd(m,n)\text{.}$

54

Sean $m, n \in {\mathbb Z}\text{.}$ Demuestre que $\langle m \rangle \cap \langle n \rangle = \langle l \rangle$ si y solo si $l = \lcm(m,n)\text{.}$

55Grupos de orden $2p$

En esta serie de ejercios clasificaremos todos los grupos de orden $2p\text{,}$ donde $p$ es un primo impar.

1. Supongamos que $G$ es un grupo de orden $2p\text{,}$ sonde $p$ es un primo impar. Si $a \in G\text{,}$ muestre que $a$ tiene orden 1, 2, $p\text{,}$ o $2p\text{.}$

2. Supongamos que $G$ tiene un elemento de orden $2p\text{.}$ Demuestre que $G$ es isomorfo a ${\mathbb Z}_{2p}\text{.}$ Luego, $G$ es cíclico.

3. Supongamos que $G$ no contiene un elemento de orden $2p\text{.}$ Muestre que $G$ contiene un elemento de orden $p\text{.}$ {\em Ayuda}: Suponga que $G$ no contiene un elemento de orden $p\text{.}$

4. Supongamos que $G$ no contiene un elemento de orden $2p\text{.}$ Muestre que $G$ contiene un elemento de orden 2.

5. Sea $P$ un subgrupo de $G$ de orden $p$ e $y \in G$ de orden 2. Muestre que $yP = Py\text{.}$

6. Supongamos que $G$ no contiene un elemento de orden $2p$ y que $P = \langle z \rangle$ es un subgrupo de orden $p$ generado por $z\text{.}$ Si $y$ es un elemento de orden 2, entonces $yz = z^ky$ para algún $2 \leq k \lt p\text{.}$

7. Supongamos que $G$ no contiene un elemento de orden $2p\text{.}$ Demuestre que $G$ no es abeliano.

8. Supongamos que $G$ no contiene un elemento de orden $2p$ y $P = \langle z \rangle$ es un subgrupo de orden $p$ generado por $z$ e $y$ es n elemento de orden 2. Muestre que podemos listar los elementos de $G$ como $\{z^iy^j\mid 0\leq i \lt p, 0\leq j \lt 2\}\text{.}$

9. Supongamos que $G$ no contiene un elemento de orden $2p$ y $P = \langle z \rangle$ es un subgrupo de orden $p$ generado por $z$ e $y$ es un elemento de orden 2. Demuestre que el producto $(z^iy^j)(z^ry^s)$ puede ser expresado como $z^m y^n$ para ciertos enteros no negativos $m, n\text{.}$ Luego, concluya que solo hay una posibilidad para un grupo no-abeliano de orden $2p\text{,}$ debe ser por lo tanto el grupo que ya conocemos, el grupo dihedral.