AATA Ejercicios Adicionales: Resolviendo las Ecuaciones Cúbica y Cuártica

Sección17.5Ejercicios Adicionales: Resolviendo las Ecuaciones Cúbica y Cuártica

1

Resuelva la ecuación cuadrática general

$\begin{equation*} ax^2 + bx + c = 0 \end{equation*}$

obteniendo

$\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{equation*}$

El discriminante de la ecuación cuadrática $\Delta = b^2 - 4ac$ determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Si $\Delta \gt 0\text{,}$ la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Si $\Delta = 0\text{,}$ la ecuación tiene una única solución real repetida. Si $\Delta \lt 0\text{,}$ existen dos soluciones imaginarias diferentes.

2

Muestre que cualquier ecuación cúbica de la forma

$\begin{equation*} x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \end{equation*}$

puede ser reducida a la forma $y^3 + py + q = 0$ haciendo la sustitución $x = y - b/3\text{.}$

3

Demuestre que las raíces cúbicas de 1 están dadas por

$\begin{align*} \omega & = \frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}\\ \omega^2 & = \frac{-1- i \sqrt{3}}{2}\\ \omega^3 & = 1. \end{align*}$

4

Haga la sustitución

$\begin{equation*} y = z - \frac{p}{3 z} \end{equation*}$

para $y$ en la ecuación $y^3 + py + q = 0$ ay obtenga dos soluciones $A$ y $B$ para $z^3\text{.}$

5

Muestre que el producto de las soluciones obtenidas en (4) es $-p^3/27\text{,}$ deduciendo que $\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}$

6

Demuestre que las posibles soluciones para $z$ en (4) están dadas por

$\begin{equation*} \sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B} \end{equation*}$

y use este resultado para mostrar que las tres posibles soluciones para $y$ son

$\begin{equation*} \omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }, \end{equation*}$

donde $i = 0, 1, 2\text{.}$

7

El discriminante de la ecuación cúbica es

$\begin{equation*} \Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}. \end{equation*}$

Muestre que $y^3 + py + q=0$

tiene tres raíces reales, de las que al menos dos son iguales, si $\Delta = 0\text{.}$
tiene una raíz real y dos raíces complejas no reales conjugadas si $\Delta \gt 0\text{.}$
tiene tres raíces reales distintas si $\Delta \lt 0\text{.}$

8

Resueva las siguientes ecuaciones cúbicas.

$x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0$
$x^3 - 3x +5 = 0$
$x^3 - 3x +2 = 0$
$x^3 + x + 3 = 0$

9

Muestre que la ecuación cuártica general

$\begin{equation*} x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \end{equation*}$

se reduce a

$\begin{equation*} y^4 + py^2 + qy + r = 0 \end{equation*}$

busando la sustitución $x = y - a/4\text{.}$

10

Muestre que

$\begin{equation*} \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right). \end{equation*}$

11

Muestre que el lado derecho del Ejercicio 17.5.10 puede ser puesto en la forma $(my + k)^2$ si y solo si

$\begin{equation*} q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0. \end{equation*}$

12

Del Ejercicio 17.5.11 obtenga la ecuación cúbica resolvente

$\begin{equation*} z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0. \end{equation*}$

Resolviendo la resolvente cúbica, ponga la ecuación encontrada en el Ejercicio 17.5.10 en la forma

$\begin{equation*} \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2 \end{equation*}$

para obtener la solución de la ecuación cuártica.

13

Use este método para resolver las siguientes ecuaciones cuárticas.

$x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0$
$x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0$
$x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0$
$x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0$