AATA Los Teoremas de Isomorfía

Sección11.2Los Teoremas de Isomorfía

Si bien no es evidente al comienzo, los grupos cociente corresponden exactamente con las imágenes homomorfas, y podemos usar grupos cociente para estudiar homomorfismos. Ya sabemos que con cada homomorfismo de grupos $\phi: G \rightarrow H$ podemos asociar un subgrupo normal de $G\text{,}$ $\ker \phi\text{.}$ El recíproco también es cierto; es decir, todo subgrupo normal de un grupo $G$ da lugar a un homomorfismo de grupos.

Sea $H$ un subgrupo normal de $G\text{.}$ Defina el homorfismo natural o homomorfismo canónico

$\begin{equation*} \phi : G \rightarrow G/H \end{equation*}$

por

$\begin{equation*} \phi(g) = gH. \end{equation*}$

Este de hecho es un homomorfismo, pues

$\begin{equation*} \phi( g_1 g_2 ) = g_1 g_2 H = g_1 H g_2 H = \phi( g_1) \phi( g_2 ). \end{equation*}$

El núcleo de este homomorfismo es $H\text{.}$ Los siguientes teoremas describen la relación entre homomorfismos de grupos, subgrupos normales, y grupos cociente.

Teorema11.10Primer Teorema de Isomorfía

Si $\psi : G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos con $K =\ker \psi\text{,}$ entonces $K$ es normal en $G\text{.}$ Sea $\phi: G \rightarrow G/K$ el homomorfismo canónico. Entonce eciste un único isomorfismo $\eta: G/K \rightarrow \psi(G)$ tal que $\psi = \eta \phi\text{.}$

Demostración

Ya vimos que $K$ es normal en $G\text{.}$ Defina $\eta: G/K \rightarrow \psi(G)$ por $\eta(gK) = \psi(g)\text{.}$ Primero demostraremos que $\eta$ es una función bien definida. Si $g_1 K =g_2 K\text{,}$ entonces existe $k \in K\text{,}$ tal que $g_1 k=g_2\text{;}$ por lo tanto,

\begin{equation*} \eta(g_1 K) = \psi(g_1) = \psi(g_1) \psi(k) = \psi(g_1k) = \psi(g_2) = \eta(g_2 K). \end{equation*}

Luego, $\eta$ no depende de la elección de representante de la clase lateral y la función $\eta: G/K \rightarrow \psi(G)$ está únicamente definida pues $\psi = \eta \phi\text{.}$ Debemos mostrar además que $\eta$ es un homomorfismo, pero

\begin{align*} \eta( g_1K g_2K ) & = \eta(g_1 g_2K)\\ & = \psi(g_1 g_2)\\ & = \psi(g_1) \psi(g_2)\\ & = \eta( g_1K) \eta( g_2K ). \end{align*}

Claramente, $\eta$ es sobre $\psi( G)\text{.}$ Para mostrar que $\eta$ es 1-1, supongamos que $\eta(g_1 K) = \eta(g_2 K)\text{.}$ Entonces $\psi(g_1) = \psi(g_2)\text{.}$ Esto implica que $\psi( g_1^{-1} g_2 ) = e\text{,}$ y $g_1^{-1} g_2$ está en el núcleo de $\psi\text{;}$ luego, $g_1^{-1} g_2K = K\text{;}$ es decir, $g_1K =g_2K\text{.}$

Los matemáticos a menudo usamos diagramas llamados diagramas conmutativos par describir teoremas como este. El siguiente diagrama “conmuta” pues $\psi = \eta \phi\text{.}$

Ejemplo11.11

Sea $G$ un grupo cíclico con generador $g\text{.}$ Definamos una función $\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G$ por $n \mapsto g^n\text{.}$ Esta función es un homomorfismo epiyectivo pues

$\begin{equation*} \phi( m + n) = g^{m+n} = g^m g^n = \phi(m) \phi(n). \end{equation*}$

Claramente $\phi$ es sobre. Si $|g| = m\text{,}$ entonces $g^m = e\text{.}$ Luego, $\ker \phi = m {\mathbb Z}$ y ${\mathbb Z} / \ker \phi = {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong G\text{.}$ Por otra parte, si el orden de $g$ es infinito, entonces $\ker \phi = 0$ y $\phi$ es un isomorfismo de $G$ en ${\mathbb Z}\text{.}$ Luego, dos grupos cíclicos son isomorfos exactamente cuando tienen el mismo orden. Salvo isomorfismo, los únicos grupos cíclicos son ${\mathbb Z}$ y ${\mathbb Z}_n\text{.}$

Teorema11.12Segundo Teorema de Isomorfía

Sea $H$ un subgrupo de $G$ (no necesariamente normal) y sea $N$ un subgrupo normal de $G\text{.}$ Entonces $HN$ es un subgrupo de $G\text{,}$ $H \cap N$ es un subgrupo normal de $H\text{,}$ y

$\begin{equation*} H / H \cap N \cong HN /N. \end{equation*}$

Demostración

Demostraremos primero que $HN = \{ hn : h \in H, n \in N \}$ es un subgrupo de $G\text{.}$ Supongamos que $h_1 n_1, h_2 n_2 \in HN\text{.}$ Como $N$ is normal, $(h_2)^{-1} n_1 h_2 \in N\text{.}$ Así

\begin{equation*} (h_1 n_1)(h_2 n_2) = h_1 h_2 ( (h_2)^{-1} n_1 h_2 )n_2 \end{equation*}

está en $HN\text{.}$ El inverso de $hn \in HN$ está en $HN$ pues

\begin{equation*} ( hn )^{-1} = n^{-1 } h^{-1} = h^{-1} (h n^{-1} h^{-1} ). \end{equation*}

A continuación, demostraremos que $H \cap N$ es normal en $H\text{.}$ Sea $h \in H$ y $n \in H \cap N\text{.}$ Entonces $h^{-1} n h \in H$ pues cada elemento está en $H\text{.}$ Además, $h^{-1} n h \in N$ pues $N$ es normal en $G\text{;}$ por lo tanto, $h^{-1} n h \in H \cap N\text{.}$

Ahora defina una función $\phi$ de $H$ a $HN / N$ por $h \mapsto h N\text{.}$ La función $\phi$ es sobreyectiva, pues cualquier clase lateral $h n N = h N$ es la imagen de $h$ en $H\text{.}$ También sabemos que $\phi$ es un homomorfismo pues

\begin{equation*} \phi( h h') = h h' N = h N h' N = \phi( h ) \phi( h'). \end{equation*}

Por el Primer Teorema de Isomorfía, la imagen de $\phi$ es isomorfa a $H / \ker \phi\text{;}$ es decir,

\begin{equation*} HN/N = \phi(H) \cong H / \ker \phi. \end{equation*}

Como

\begin{equation*} \ker \phi = \{ h \in H : h \in N \} = H \cap N, \end{equation*}

$HN/N = \phi(H) \cong H / H \cap N\text{.}$

Teorema11.13Teorema de Correspondencia

Sea $N$ un subgrupo normal de un grupo $G\text{.}$ Entonces $H \mapsto H/N$ es una correspondencia 1-1 entre el conjunto de subgrupos $H$ que contienen a $N$ y el conjunto de subgrupos de $G/N\text{.}$ Más aún, los subgrupos normales de $G$ que contienen a $N$ corresponden a los subgrupos normales de $G/N\text{.}$

Demostración

Sea $H$ un subgrupo de $G$ que contiene a $N\text{.}$ Como $N$ es normal en $H\text{,}$ $H/N$ tiene sentido. Sean $aN$ y $bN$ elementos de $H/N\text{.}$ Entonces $(aN)( b^{-1} N )= ab^{-1}N \in H/N\text{;}$ luego, $H/N$ es un subgrupo de $G/N\text{.}$

Sea $S$ un subgrupo debe $G/N\text{.}$ Este subgrupo es un conjunto de clases laterales de $N\text{.}$ Si $H= \{ g \in G : gN \in S \}\text{,}$ entonces para $h_1, h_2 \in H\text{,}$ tenemos que $(h_1 N)( h_2 N )= h_1 h_2 N \in S$ y $h_1^{-1} N \in S\text{.}$ Por lo tanto, $H$ debe ser un subgrupo de $G\text{.}$ Claramente, $H$ contiene a $N\text{.}$ Por lo tanto, $S = H / N\text{.}$ Concluimos que, la función $H \mapsto H/N$ es sobreyectiva.

Supongamos que $H_1$ y $H_2$ son subgrupos de $G$ que contienen a $N$ tales que $H_1/N = H_2/N\text{.}$ Si $h_1 \in H_1\text{,}$ entonces $h_1 N \in H_1/N\text{.}$ Luego, $h_1 N = h_2 N \subset H_2$ para algún $h_2$ en $H_2\text{.}$ Pero, como $N$ está contenido en $H_2\text{,}$ sabemos que $h_1 \in H_2$ o $H_1 \subset H_2\text{.}$ Similarmente, $H_2 \subset H_1\text{.}$ Como $H_1 = H_2\text{,}$ la función $H \mapsto H/N$ es 1-1.

Supongamos que $H$ es normal en $G$ y que $N$ es un subgrupo de $H\text{.}$ Entonces es fácil verificar que la función $G/N \rightarrow G/H$ definida por $gN \mapsto gH$ es un homomorfismo. El núncleo de este homomorfismo es $H/N\text{,}$ lo que demuestra que $H/N$ es normal en $G/N\text{.}$

Recíprocamente, supongamos que $H/N$ es normal en $G/N\text{.}$ El homomorfismo dado por

\begin{equation*} G \rightarrow G/N \rightarrow \frac{G/N}{H/N} \end{equation*}

tiene núcleo $H\text{.}$ Luego, $H$ es normal en $G\text{.}$

Notemos que en la demostración del Teorema 11.13, también hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema11.14Tercer Teorema de Isomorfía

Sea $G$ un grupo y sean $N$ y $H$ subgrupos normales de $G$ con $N \subset H\text{.}$ Entonces

$\begin{equation*} G/H \cong \frac{G/N}{H/N}. \end{equation*}$

Ejemplo11.15

Por el Tercer Teorema de Isomorfía,

$\begin{equation*} {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong ({\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z})/ (m {\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z}). \end{equation*}$

Como $| {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z} | = mn$ y $|{\mathbb Z} / m{\mathbb Z}| = m\text{,}$ tenemos $| m {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z}| = n\text{.}$