AATA Homomofismos de Grupos

Sección11.1Homomofismos de Grupos

Un homomorfismo entre los grupos $(G, \cdot)$ y $(H, \circ)$ es una función $\phi :G \rightarrow H$ tal que

$\begin{equation*} \phi( g_1 \cdot g_2 ) = \phi( g_1 ) \circ \phi( g_2 )\qquad \forall g_1, g_2 \in G \end{equation*}$

La imagen de $\phi$ en $H$ se llama imagen homomorfa de $\phi\text{.}$

Dos grupos están relacionados de la forma más fuerte posible si son isomorfos; sin embargo nua relación más débil puede también existir entre dos grupos. Por ejemplo, el grupo simétrico $S_n$ y el grupo ${\mathbb Z}_2$ están relacionados por el hecho de que $S_n$ puede ser dividido en permutaciones pares e impares que exhiben una estructura de grupos similar a la de ${\mathbb Z}_2\text{,}$ como se muestra en la siguiente tabla de multiplicación.

$\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \text{even} & \text{even} & \text{odd} \\ \text{odd} & \text{odd} & \text{even} \end{array} \end{equation*}$

Podemos usar homomorfismos para estudiar relaciones como la que acabamos de describir.

Ejemplo11.1

Sea $G$ un grupo y $g \in G\text{.}$ Defina una función $\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G$ como $\phi( n ) = g^n\text{.}$ Entonces $\phi$ es un homomorfismo de grupos, pues

$\begin{equation*} \phi( m + n ) = g^{ m + n} = g^m g^n = \phi( m ) \phi( n ). \end{equation*}$

Este homomorfismo envía a ${\mathbb Z}$ en el subgrupo cíclico de $G$ generado por $g\text{.}$

Ejemplo11.2

Sea $G = GL_2( {\mathbb R })\text{.}$ Si

$\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{equation*}$

está en $G\text{,}$ entonces el determinante es distinto de cero; es decir, $\det(A) = ad - bc \neq 0\text{.}$ Además, para dos elementos $A$ y $B$ en $G\text{,}$ $\det(AB) = \det(A) \det(B)\text{.}$ Usando el determinante, podemos definir un homomorfismo $\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast$ como $A \mapsto \det(A)\text{.}$

Ejemplo11.3

Recuerde que el grupo de la circunferencia ${ \mathbb T}$ consiste de todos los números complejos $z$ tales que $|z|=1\text{.}$ Podemos definir un homomorfismo $\phi$ del grupo aditivo de los números reales ${\mathbb R}$ a ${\mathbb T}$ por $\phi : \theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta\text{.}$ De hecho,

$\begin{align*} \phi( \alpha + \beta ) & = \cos( \alpha + \beta ) + i \sin( \alpha + \beta )\\ & = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta )\\ & = (\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \beta + i \sin \beta)\\ & = \phi( \alpha ) \phi( \beta ). \end{align*}$

Geométricamente, simplemente estamos enrollando la recta real sobre la circunferencia.

La siguiente proposición lista algunas propiedades básicas de los homomorfismos de grupos.

Proposición11.4

Sea $\phi : G_1 \rightarrow G_2$ un homomorfismo de grupos. Entonces

Si $e$ es la identidad de $G_1\text{,}$ entonces $\phi( e)$ es la identidad de $G_2\text{;}$
Para cualquier elemento $g \in G_1\text{,}$ $\phi( g^{-1}) = [\phi( g )]^{- 1}\text{;}$
Si $H_1$ es un subgrupo de $G_1\text{,}$ entonces $\phi( H_1 )$ es un subgrupo de $G_2\text{;}$
Si $H_2$ es un subgrupo de $G_2\text{,}$ entonces $\phi^{-1}(H_2) = \{ g \in G _1: \phi(g) \in H_2 \}$ es un subgrupo de $G_1\text{.}$ Más aún, si $H_2$ es normal en $G_2\text{,}$ entonces $\phi^{-1}(H_2)$ es normal en $G_1\text{.}$

Demostración

(1) Supongamos que $e$ y $e'$ son las identidades de $G_1$ y $G_2\text{,}$ respectivamente; entonces

\begin{equation*} e' \phi(e) = \phi(e) = \phi(e e) = \phi(e) \phi(e). \end{equation*}

Por cancelación, $\phi(e) = e'\text{.}$

(2) Es consecuencia del hecho que

\begin{equation*} \phi( g^{-1}) \phi(g) = \phi(g^{-1} g) = \phi(e) = e'. \end{equation*}

(3) El conjunto $\phi(H_1)$ es no vacío pues la identidad de $G_2$ está en $\phi(H_1)\text{.}$ Si $x$ e $y$ en $\phi(H_1)\text{,}$ entonces existen elementos $a, b \in H_1$ tales que $\phi(a) = x$ y $\phi(b)=y\text{.}$ Como

\begin{equation*} xy^{-1} = \phi(a)[ \phi(b)]^{-1} = \phi(a b^{-1} ) \in \phi(H_1), \end{equation*}

$\phi(H_1)$ es un subgrupo de $G_2$ por la Proposición 3.31.

(4) Sea $H_2$ un subgrupo de $G_2$ y defina $H_1$ como $\phi^{-1}(H_2)\text{;}$ es decir, $H_1$ es el conjunto de todos los $g \in G_1$ tales que $\phi(g) \in H_2\text{.}$ La identidad está en $H_1$ pues $\phi(e) = e'\text{.}$ Si $a$ y $b$ están en $H_1\text{,}$ entonces $\phi(ab^{-1}) = \phi(a)[ \phi(b) ]^{-1}$ está en $H_2$ pues $H_2$ es un subgrupo de $G_2\text{.}$ Por lo tanto, $ab^{-1} \in H_1$ y $H_1$ es un subgrupo de $G_1\text{.}$ Si $H_2$ es normal en $G_2\text{,}$ debemos probar que $g^{-1} h g \in H_1$ para $h \in H_1$ y $g \in G_1\text{.}$ Pero

\begin{equation*} \phi( g^{-1} h g) = [ \phi(g) ]^{-1} \phi( h ) \phi( g ) \in H_2, \end{equation*}

pues $H_2$ es un subgrupo normal de $G_2\text{.}$ Por lo tanto, $g^{-1}hg \in H_1\text{.}$

Sea $\phi : G \rightarrow H$ un homomorfismo de grupos y supongamos que $e$ es la identidad de $H\text{.}$ Por la Proposición 11.4, $\phi^{-1} ( \{ e \} )$ es un subgrupo de $G\text{.}$ Este subgrupo se llama núcleo de $\phi$ y se denotará por $\ker \phi\text{.}$ De hecho, este subgrupo es un subgrupo normal de $G$ pues el subgrupo trivial es normal en $H\text{.}$ Enunciamos este resultado en el siguiente teorema, que dice que a cada homomorfismo de grupos podemos asociar de forma natural un subgrupo normal.

Teorema11.5

Sea $\phi : G \rightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de $\phi$ es un subgrupo normal de $G\text{.}$

Ejemplo11.6

Examinemos el homorfismo $\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast$ definido por $A \mapsto \det( A )\text{.}$ Como 1 es la identidad de ${\mathbb R}^\ast\text{,}$ el núcleo de este homomorfismo consiste de toda las matrices de $2 \times 2$ que tienen determinante uno. Es decir, $\ker \phi = SL_2( {\mathbb R })\text{.}$

Ejemplo11.7

El núcleo del homomorfismo de grupos $\phi : {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb C}^\ast$ definido por $\phi( \theta ) = \cos \theta + i \sin \theta$ es $\{ 2 \pi n : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}$ Notemos que $\ker \phi \cong {\mathbb Z}\text{.}$

Ejemplo11.8

Supongamos que queremos determiar todos los posibles homomorfismos $\phi$ de ${\mathbb Z}_7$ a ${\mathbb Z}_{12}\text{.}$ Como el núcleo de $\phi$ debe ser un subgrupo de ${\mathbb Z}_7\text{,}$ solo hay dos núcleos posibles, $\{ 0 \}$ y todo ${\mathbb Z}_7\text{.}$ La imagen de un subgrupo de ${\mathbb Z}_7$ debe ser un subgrupo de ${\mathbb Z}_{12}\text{.}$ Luego, no hay homomorfismos inyectivos; de lo contrario, ${\mathbb Z}_{12}$ tendría un subgrupo de orden 7, lo que es imposible. Por lo tanto, el único homomorfismo posible de ${\mathbb Z}_7$ a ${\mathbb Z}_{12}$ es el que envía todos los elementos cero.

Ejemplo11.9

Sea $G$ un grupo. Supongamos que $g \in G$ y $\phi$ es el homomorfismo de ${\mathbb Z}$ a $G$ dado por $\phi( n ) = g^n\text{.}$ Si el orden de $g$ es infinito, entonces el núcleo de este homomorfismo es $\{ 0 \}$ pues $\phi$ envía ${\mathbb Z}$ en el subgrupo cíclico de $G$ generado por $g\text{.}$ Si en cambio, el orden de $g$ es finito, digamos $n\text{,}$ entonces el núcleo de $\phi$ es $n {\mathbb Z}\text{.}$