Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

Ejemplo3.24

Considere el conjunto de los números reales no nulos, ${\mathbb R}^*\text{,}$ con la operación de multiplicación para formar un grupo. La identidad de este grupo es 1 y el inverso de cualquier elemento $a \in {\mathbb R}^*$ es simplemente $1/a\text{.}$ Mostraremos que

es un subgrupo de ${\mathbb R}^*\text{.}$ La identidad de ${\mathbb R}^*$ es 1; sin embargo, $1 = 1/1$ es el cociente de dos enteros no nulos. Por lo tanto, la identidad de ${\mathbb R}^*$ está en ${\mathbb Q}^*\text{.}$ Dados dos elementos en ${\mathbb Q}^*\text{,}$ digamos $p/q$ y $r/s\text{,}$ su producto $pr/qs$ también está en ${\mathbb Q}^*\text{.}$ El inverso de cualquier elemento $p/q \in {\mathbb Q}^*$ está nuevamente en ${\mathbb Q}^*$ pues $(p/q)^{-1} = q/p\text{.}$ Como la multiplicación en ${\mathbb R}^*$ es asociativa, multiplicación en ${\mathbb Q}^*$ es asociativa.

Ejemplo3.25

Recuerde que ${\mathbb C}^{\ast}$ es el grupo multiplicativo de los números complejo no nulos. Sea $H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}$ Entonces $H$ es un subgrupo de ${\mathbb C}^{\ast}\text{.}$ Es fácil verificar que $H$ es un grupo con la operación de multiplicación y que $H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}$

Ejemplo3.26

Sea $SL_2( {\mathbb R})$ el subconjunto de $GL_2( {\mathbb R })$ que contiene las matrices de determinante uno; es decir, una matriz

está en $SL_2( {\mathbb R})$ precisamente cuando $ad - bc = 1\text{.}$ Para mostrar que $SL_2( {\mathbb R})$ es un subgrupo del grupo lineal general, debemos demostrar que también es un grupo con la operación de multiplicación de matrices. La matriz identidad de $2 \times 2$ está en $SL_2( {\mathbb R})\text{,}$ así como la inversa de la matriz $A\text{:}$

Falta mostrar que la multiplicación es cerrada; es decir, que el producto de dos matrices de determinante uno también tiene determinante uno. Dejaremos esta tarea como ejercicio. El grupo $SL_2({\mathbb R})$ se llama grupo lineal especial.

Ejemplo3.27

Es importante notar que un subconjunto $H$ de un grupo $G$ puede ser un grupo sin ser un subgrupo de $G\text{.}$ Para que $H$ sea un subgrupo de $G$ debe heredar la operación binaria de $G\text{.}$ El conjunto de todas las matrices de $2 \times 2\text{,}$ ${\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}$ forma un grupo con la operación de adición. El grupo lineal general $GL_2( {\mathbb R})$ es un subconjunto de ${\mathbb M}_2(\mathbb R)$ y es un grupo con la operación de multiplicación de matrices, pero no es un subgrupo de ${\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}$ Si sumamos dos matrices invertibles no necesariamente obtendremos otra matriz invertible. Observe que

pero la matriz cero no está en $GL_2( {\mathbb R })\text{.}$

Ejemplo3.28

Una manera de saber si dos grupos son el mismo grupo, es examinando sus subgrupos. Aparte del subgrupo trivial y del grupo mismo, el grupo ${\mathbb Z}_4$ tiene exactamente un subgrupo adicional que consiste de los elementos 0 y 2. A partir del grupo ${\mathbb Z}_2\text{,}$ podemos formar otro grupo de cuatro elementos como sigue. Como conjunto, este grupo es ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$ Realizamos las operacioens coordenada a coordenada; es decir, $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}$ El Cuadro 3.29 es una tabla de sumas para ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$ Como hay tres subgrupos propios no triviales de ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}$ $H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}$ $H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}$ y $H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}$ ${\mathbb Z}_4$ y ${\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2$ deben ser grupos diferentes.