Capítulo21Cuerpos

Es natural preguntarse si cierto cuerpo $F$ está contenido en un cuerpo mayor. Pensemos en los números racionales, que están contenidos dentro de los números reales, que a su vez están contenidos dentro de los números complejos. También podemos estudiar los cuerpos que se encuentran entre ${\mathbb Q}$ y ${\mathbb R}$ y preguntarnos sobre la naturaleza de estos cuerpos.

Más específicamente, si nos dan un cuerpo $F$ y un polinomio $p(x) \in F[x]\text{,}$ podemos preguntar si es posible, o no, encontrar un cuerpo $E$ que contenga $F$ tal que $p(x)$ se factorice en factores lineales sobre $E[x]\text{.}$ Por ejemplo, si consideramos el polinomio

$\begin{equation*} p(x) = x^4 -5 x^2 + 6 \end{equation*}$

en ${\mathbb Q}[x]\text{,}$ entonces $p(x)$ se factoriza como $(x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}$ Sin embargo, ambos factores son irreducibles en ${\mathbb Q}[x]\text{.}$ Si queremos encontrar un cero de $p(x)\text{,}$ debemos ir a un cuerpo más grande. Ciertamente sirve el cuerpo de los números reales, pues

$\begin{equation*} p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}). \end{equation*}$

Es posible encontrar un cuerpo menor en el que $p(x)$ tiene un cero, por ejemplo

$\begin{equation*} {\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}. \end{equation*}$

Queremos ser capaces de calcular y estudiar tales cuerpos para polinomios arbitrarios sobre un cuerpo $F\text{.}$