Algèbre abstraite Théorie et applications

Ce texte est destiné à un cours d’algèbre abstraite de un ou deux semestres au niveau licence. Traditionnellement, ces cours ont couvert les aspects théoriques des groupes, des anneaux et des corps. Cependant, avec le développement de l’informatique au cours des dernières décennies, les applications faisant intervenir l’algèbre abstraite et les mathématiques discrètes sont devenues de plus en plus importantes, et de nombreux étudiants en sciences, en ingénierie et en informatique choisissent désormais une mineure en mathématiques. Bien que la théorie occupe toujours un rôle central dans l’algèbre abstraite et qu’aucun étudiant ne devrait suivre un tel cours sans avoir une bonne notion de ce qu’est une preuve, l’importance des applications telles que la théorie des codes et la cryptographie a considérablement augmenté.

Jusqu’à récemment, la plupart des manuels d’algèbre abstraite incluaient peu d’applications, voire aucune. Cependant, l’un des principaux problèmes de l’enseignement d’un cours d’algèbre abstraite est que pour de nombreux étudiants, c’est leur première confrontation avec un environnement qui leur demande de rédiger des preuves rigoureuses. Ces étudiants ont souvent du mal à voir l’utilité d’apprendre à démontrer des théorèmes et des propositions ; les exemples appliqués aident l’enseignant à fournir une motivation.

Ce texte contient plus de matière qu’il n’est possible d’en couvrir en un seul semestre. Il y a certainement suffisamment de matière pour un cours de deux semestres, et peut-être davantage ; cependant, pour un cours d’un semestre, il serait assez facile d’omettre certains chapitres et d’avoir quand même un texte utile. L’ordre de présentation des sujets est standard : les groupes, puis les anneaux, et enfin les corps. L’accent peut être mis soit sur la théorie, soit sur les applications. Un cours type d’un semestre pourrait couvrir les groupes et les anneaux en abordant brièvement la théorie des corps, en utilisant les chapitres 1 à 6, 9, 10, 11, 13 (la première partie), 16, 17, 18 (la première partie), 20 et 21. Des parties de ces chapitres pourraient être supprimées et des applications substituées selon les intérêts des étudiants et de l’enseignant. Un cours de deux semestres mettant l’accent sur la théorie pourrait couvrir les chapitres 1 à 6, 9, 10, 11, 13 à 18, 20, 21, 22 (la première partie), et 23. En revanche, si les applications doivent être privilégiées, le cours pourrait couvrir les chapitres 1 à 14 et 16 à 22. Dans un cours appliqué, certains des résultats plus théoriques pourraient être admis ou omis. Un graphe des dépendances entre chapitres apparaît ci-dessous. (Une ligne pointillée indique une dépendance partielle.)

Bien qu’il n’y ait pas de prérequis spécifiques pour un cours d’algèbre abstraite, les étudiants qui ont suivi d’autres cours de mathématiques de niveau supérieur seront généralement mieux préparés que ceux qui ne l’ont pas fait, car ils posséderont un peu plus de maturité mathématique. Nous supposerons parfois quelques notions de base d’algèbre linéaire ; c’est-à-dire que nous considèrerons comme acquises des connaissances élémentaires sur les matrices et les déterminants. Cela ne devrait pas poser de grande difficulté, puisque la plupart des étudiants qui suivent un cours d’algèbre abstraite ont été initiés aux matrices et aux déterminants ailleurs dans leur cursus, même s’ils n’ont pas déjà suivi un cours d’algèbre linéaire de deuxième ou troisième année.

Les sections d’exercices sont le cœur de tout manuel de mathématiques. Une série d’exercices apparaît à la fin de chaque chapitre. La nature des exercices couvre plusieurs catégories ; des problèmes de calcul, conceptuels et théoriques sont inclus. Une section présentant des indications et des solutions à de nombreux exercices apparaît à la fin du texte. Souvent dans les solutions, une preuve n’est qu’esquissée, et c’est à l’étudiant de fournir les détails. Les exercices varient en difficulté, du plus facile au plus difficile. Beaucoup des problèmes les plus substantiels nécessitent une réflexion approfondie, donc l’étudiant ne devrait pas se décourager si la solution ne vient pas après quelques minutes de travail.

Idéalement, les étudiants devraient lire le matériel pertinent avant d’assister au cours. Des questions de lecture ont été ajoutées à chaque chapitre avant les exercices. Pour se préparer au cours, les étudiants devraient lire le chapitre avant le cours puis répondre aux questions de lecture de la section pour se préparer au cours.

Il y a des exercices supplémentaires ou des projets informatiques à la fin de nombreux chapitres. Les projets informatiques nécessitent généralement des connaissances en programmation. Tous ces exercices et projets sont de nature plus substantielle et permettent d’explorer de nouveaux résultats et théories.

Sage (sagemath.org) est un système logiciel libre et à source ouverte pour les mathématiques avancées, idéal pour accompagner l’étude de l’algèbre abstraite. Sage peut être utilisé sur votre propre ordinateur, un serveur local, ou sur CoCalc (cocalc.com). Robert Beezer a rédigé une introduction complète à Sage et une sélection d’exercices pertinents qui apparaissent à la fin de chaque chapitre, y compris des cellules Sage interactives dans la version web du livre. Tout le code Sage a été soumis à des tests automatisés d’exactitude, en utilisant la version la plus récente disponible à ce jour : SageMath Version 10.6 (publiée le 2025-03-31).