Lesquelles des tables de multiplication suivantes définies sur l’ensemble \(G = \{ a, b, c, d \}\) forment un groupe ? Justifiez votre réponse dans chaque cas.
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & c & d & a \\
b & b & b & c & d \\
c & c & d & a & b \\
d & d & a & b & c
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & b & c & d \\
b & b & a & d & c \\
c & c & d & a & b \\
d & d & c & b & a
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & b & c & d \\
b & b & c & d & a \\
c & c & d & a & b \\
d & d & a & b & c
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & b & c & d \\
b & b & a & c & d \\
c & c & b & a & d \\
d & d & d & b & c
\end{array}
\end{equation*}
Écrivez les tables de Cayley pour les groupes formés par les symétries d’un rectangle et pour \(({\mathbb Z}_4, +)\text{.}\) Combien d’éléments y a-t-il dans chaque groupe ? Les groupes sont-ils les mêmes ? Pourquoi ou pourquoi pas ?
Décrivez les symétries d’un losange et montrez que l’ensemble des symétries forme un groupe. Donnez les tables de Cayley pour les symétries d’un rectangle et pour les symétries d’un losange. Les symétries d’un rectangle et celles d’un losange sont-elles les mêmes ?
Décrivez les symétries d’un carré et montrez que l’ensemble des symétries est un groupe. Donnez une table de Cayley pour les symétries. De combien de façons peut-on permuter les sommets d’un carré ? Chaque permutation est-elle nécessairement une symétrie du carré ? Le groupe de symétrie du carré est noté \(D_4\text{.}\)
Soit \(S = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}\) et définissons une opération binaire sur \(S\) par \(a \ast b = a + b + ab\text{.}\) Montrez que \((S, \ast)\) est un groupe abélien.
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & x & y \\
0 & 1 & z \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
est un groupe pour la multiplication matricielle. Ce groupe, connu sous le nom de groupe de Heisenberg, est important en physique quantique. La multiplication matricielle dans le groupe de Heisenberg est définie par
Montrez que \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) dans \(GL_2({\mathbb R})\text{.}\) Utilisez ce résultat pour montrer que l’opération binaire dans le groupe \(GL_2({\mathbb R})\) est stable ; c’est-à-dire que si \(A\) et \(B\) sont dans \(GL_2({\mathbb R})\text{,}\) alors \(AB \in GL_2({\mathbb R})\text{.}\)
Étant donnés les groupes \({\mathbb R}^{\ast}\) et \({\mathbb Z}\text{,}\) posons \(G = {\mathbb R}^{\ast} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Définissons une opération binaire \(\circ\) sur \(G\) par \((a,m) \circ (b,n) = (ab,
m + n)\text{.}\) Montrez que \(G\) est un groupe pour cette opération.
un élément de \(S_n\text{.}\) Tous les \(a_i\) doivent être distincts. Il y a \(n\) façons de choisir \(a_1\text{,}\)\(n - 1\) façons de choisir \(a_2, \ldots\text{,}\) 2 façons de choisir \(a_{n - 1}\text{,}\) et une seule façon de choisir \(a_n\text{.}\) Donc nous pouvons former \(\sigma\) de \(n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1 = n!\) façons.
Montrez que l’addition et la multiplication mod \(n\) sont des opérations bien définies. C’est-à-dire, montrez que les opérations ne dépendent pas du choix du représentant dans les classes d’équivalence mod \(n\text{.}\)
Soit \(U(n)\) le groupe des unités de \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Si \(n \gt 2\text{,}\) montrez qu’il existe un élément \(k \in U(n)\) tel que \(k^2 = 1\) et \(k \neq 1\text{.}\)
Prouvez le reste de la Proposition 3.2.14 : si \(G\) est un groupe et \(a, b \in G\text{,}\) alors l’équation \(xa = b\) a une solution unique dans \(G\text{.}\)
Prouvez les lois de simplification à droite et à gauche pour un groupe \(G\) ; c’est-à-dire, montrez que dans le groupe \(G\text{,}\)\(ba = ca\) implique \(b = c\) et \(ab = ac\) implique \(b = c\) pour des éléments \(a,
b, c \in G\text{.}\)
Trouvez tous les sous-groupes de \({\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3\text{.}\) Utilisez cette information pour montrer que \({\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3\) n’est pas le même groupe que \({\mathbb Z}_9\text{.}\) (Voir l’Exemple 3.3.5 pour une courte description du produit de groupes.)
Soient \(n = 0, 1, 2, \ldots\) et \(n {\mathbb Z} = \{ nk : k \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Montrez que \(n {\mathbb Z}\) est un sous-groupe de \({\mathbb Z}\text{.}\) Montrez que ces sous-groupes sont les seuls sous-groupes de \(\mathbb{Z}\text{.}\)
Prouvez ou réfutez : \(SL_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) l’ensemble des matrices \(2 \times 2\) à coefficients entiers et de déterminant un, est un sous-groupe de \(SL_2( {\mathbb R} )\text{.}\)
Prouvez ou réfutez : Si \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes d’un groupe \(G\text{,}\) alors \(H K = \{hk : h \in H \text{ et } k \in K \}\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Qu’en est-il si \(G\) est abélien ?
Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\text{.}\) Si \(g \in G\text{,}\) montrez que \(gHg^{-1} = \{ghg^{-1} : h\in H\}\) est aussi un sous-groupe de \(G\text{.}\)
