Souvent, un sous-groupe dépend entièrement d’un seul élément du groupe ; c’est-à-dire que connaître cet élément particulier nous permet de calculer tout autre élément du sous-groupe.
Supposons que nous considérions \(3 \in {\mathbb Z}\) et regardions tous les multiples (positifs et négatifs) de \(3\text{.}\) En tant qu’ensemble, cela donne
Il est facile de voir que \(3 {\mathbb Z}\) est un sous-groupe des entiers. Ce sous-groupe est entièrement déterminé par l’élément \(3\) puisque nous pouvons obtenir tous les autres éléments du groupe en prenant des multiples de \(3\text{.}\) Tout élément du sous-groupe est « engendré » par \(3\text{.}\)
Si \(H = \{ 2^n : n \in {\mathbb Z} \}\text{,}\) alors \(H\) est un sous-groupe du groupe multiplicatif des rationnels non nuls, \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Si \(a = 2^m\) et \(b = 2^n\) sont dans \(H\text{,}\) alors \(ab^{-1} = 2^m 2^{-n} = 2^{m-n}\) est également dans \(H\text{.}\) D’après la Proposition 3.3.8, \(H\) est un sous-groupe de \({\mathbb Q}^*\) déterminé par l’élément \(2\text{.}\)
L’identité est dans \(\langle a \rangle \) puisque \(a^0 = e\text{.}\) Si \(g\) et \(h\) sont deux éléments quelconques de \(\langle a \rangle \text{,}\) alors par définition de \(\langle a \rangle\) nous pouvons écrire \(g = a^m\) et \(h = a^n\) pour certains entiers \(m\) et \(n\text{.}\) Donc \(gh = a^m a^n = a^{m+n}\) est encore dans \(\langle a \rangle \text{.}\) Enfin, si \(g = a^n\) dans \(\langle a \rangle \text{,}\) alors l’inverse \(g^{-1} = a^{-n}\) est également dans \(\langle a \rangle \text{.}\) Il est clair que tout sous-groupe \(H\) de \(G\) contenant \(a\) doit contenir toutes les puissances de \(a\) par fermeture ; donc \(H\) contient \(\langle a \rangle \text{.}\) Par conséquent, \(\langle a \rangle \) est le plus petit sous-groupe de \(G\) contenant \(a\text{.}\)
Si nous utilisons la notation « + », comme dans le cas des entiers sous l’addition, nous écrivons \(\langle a \rangle = \{ na : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)
Pour \(a \in G\text{,}\) nous appelons \(\langle a \rangle \) le sous-groupe cyclique engendré par \(a\text{.}\) Si \(G\) contient un élément \(a\) tel que \(G = \langle a \rangle \text{,}\) alors \(G\) est un groupe cyclique. Dans ce cas, \(a\) est un générateur de \(G\text{.}\) Si \(a\) est un élément d’un groupe \(G\text{,}\) nous définissons l’ordre de \(a\) comme le plus petit entier positif \(n\) tel que \(a^n= e\text{,}\) et nous écrivons \(|a| = n\text{.}\) S’il n’existe pas un tel entier \(n\text{,}\) nous disons que l’ordre de \(a\) est infini et écrivons \(|a| = \infty\) pour désigner l’ordre de \(a\text{.}\)
Remarquons qu’un groupe cyclique peut avoir plus d’un seul générateur. \(1\) et \(5\) engendrent tous deux \({\mathbb Z}_6\) ; donc \({\mathbb Z}_6\) est un groupe cyclique. Tout élément d’un groupe cyclique n’est pas nécessairement un générateur du groupe. L’ordre de \(2 \in {\mathbb Z}_6\) est \(3\text{.}\) Le sous-groupe cyclique engendré par \(2\) est \(\langle 2 \rangle = \{ 0, 2, 4 \}\text{.}\)
Les groupes \({\mathbb Z}\) et \({\mathbb Z}_n\) sont des groupes cycliques. Les éléments \(1\) et \(-1\) sont des générateurs de \({\mathbb Z}\text{.}\) Nous pouvons certainement engendrer \({\mathbb Z}_n\) avec 1, bien qu’il puisse y avoir d’autres générateurs de \({\mathbb Z}_n\text{,}\) comme dans le cas de \({\mathbb Z}_6\text{.}\)
Le groupe des unités, \(U(9)\text{,}\) dans \({\mathbb Z}_9\) est un groupe cyclique. En tant qu’ensemble, \(U(9)\) est \(\{ 1, 2, 4, 5, 7, 8 \}\text{.}\) L’élément 2 est un générateur de \(U(9)\) puisque
Tout groupe n’est pas un groupe cyclique. Considérons le groupe de symétrie d’un triangle équilatéral \(S_3\text{.}\) La table de multiplication de ce groupe est la Figure 3.1.7. Les sous-groupes de \(S_3\) sont représentés dans la Figure 4.1.8. Remarquons que tout sous-groupe est cyclique ; cependant, aucun élément unique n’engendre le groupe entier.
Soit \(G\) un groupe cyclique et \(a \in G\) un générateur de \(G\text{.}\) Si \(g\) et \(h\) sont dans \(G\text{,}\) alors ils peuvent être écrits comme des puissances de \(a\text{,}\) disons \(g = a^r\) et \(h = a^s\text{.}\) Puisque
\begin{equation*}
g h = a^r a^s = a^{r+s} = a^{s+r} = a^s a^r = h g\text{,}
\end{equation*}
Sous-section4.1.1Sous-groupes des groupes cycliques
Nous pouvons nous poser des questions intéressantes sur les sous-groupes cycliques d’un groupe et les sous-groupes d’un groupe cyclique. Si \(G\) est un groupe, quels sous-groupes de \(G\) sont cycliques ? Si \(G\) est un groupe cyclique, quels types de sous-groupes \(G\) possède-t-il ?
Les principaux outils utilisés dans cette preuve sont l’algorithme de division et le principe du bon ordre. Soit \(G\) un groupe cyclique engendré par \(a\) et supposons que \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Si \(H = \{ e \}\text{,}\) alors trivialement \(H\) est cyclique. Supposons que \(H\) contient un autre élément \(g\) distinct de l’identité. Alors \(g\) peut s’écrire \(a^n\) pour un certain entier \(n\text{.}\) Puisque \(H\) est un sous-groupe, \(g^{-1} = a^{-n}\) doit également être dans \(H\text{.}\) Puisque soit \(n\) soit \(-n\) est positif, nous pouvons supposer que \(H\) contient des puissances positives de \(a\) et que \(n \gt 0\text{.}\) Soit \(m\) le plus petit entier naturel tel que \(a^m \in H\text{.}\) Un tel \(m\) existe d’après le principe du bon ordre.
Nous affirmons que \(h = a^m\) est un générateur de \(H\text{.}\) Nous devons montrer que tout \(h' \in H\) peut s’écrire comme une puissance de \(h\text{.}\) Puisque \(h' \in H\) et \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{,}\)\(h' = a^k\) pour un certain entier \(k\text{.}\) En utilisant l’algorithme de division, nous pouvons trouver des nombres \(q\) et \(r\) tels que \(k = mq +r\) avec \(0 \leq r \lt m\) ; donc,
Donc \(a^r = a^k h^{-q}\text{.}\) Puisque \(a^k\) et \(h^{-q}\) sont dans \(H\text{,}\)\(a^r\) doit également être dans \(H\text{.}\) Cependant, \(m\) était le plus petit entier positif tel que \(a^m\) était dans \(H\) ; par conséquent, \(r=0\) et donc \(k=mq\text{.}\) Ainsi,
Soit \(G\) un groupe cyclique d’ordre \(n\) et supposons que \(a\) est un générateur de \(G\text{.}\) Alors \(a^k=e\) si et seulement si \(n\) divise \(k\text{.}\)
Soit \(G\) un groupe cyclique d’ordre \(n\) et supposons que \(a \in G\) est un générateur du groupe. Si \(b = a^k\text{,}\) alors l’ordre de \(b\) est \(n/d\text{,}\) où \(d = \gcd(k,n)\text{.}\)
Nous cherchons le plus petit entier \(m\) tel que \(e = b^m = a^{km}\text{.}\) D’après la Proposition 4.1.12, c’est le plus petit entier \(m\) tel que \(n\) divise \(km\text{,}\) ou, de manière équivalente, tel que \(n/d\) divise \(m(k/d)\text{.}\) Puisque \(d\) est le plus grand commun diviseur de \(n\) et \(k\text{,}\)\(n/d\) et \(k/d\) sont premiers entre eux. Donc, pour que \(n/d\) divise \(m(k/d)\text{,}\) il doit diviser \(m\text{.}\) Le plus petit tel \(m\) est \(n/d\text{.}\)
Examinons le groupe \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Les nombres \(1\text{,}\)\(3\text{,}\)\(5\text{,}\)\(7\text{,}\)\(9\text{,}\)\(11\text{,}\)\(13\) et \(15\) sont les éléments de \({\mathbb Z}_{16}\) premiers avec \(16\text{.}\) Chacun de ces éléments engendre \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Par exemple,
