Proposition 9.2.1.
Soient \(G\) et \(H\) des groupes. L’ensemble \(G \times H\) est un groupe pour l’opération \((g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\) où \(g_1, g_2 \in G\) et \(h_1, h_2 \in H\text{.}\)
Section 9.2 Produits directs
Étant donné deux groupes \(G\) et \(H\text{,}\) il est possible de construire un nouveau groupe à partir du produit cartésien de \(G\) et \(H\text{,}\) \(G \times H\text{.}\) Réciproquement, étant donné un grand groupe, il est parfois possible de le décomposer ; c’est-à-dire qu’un groupe est parfois isomorphe au produit direct de deux groupes plus petits. Plutôt que d’étudier un grand groupe \(G\text{,}\) il est souvent plus facile d’étudier les groupes composants de \(G\text{.}\)
Sous-section 9.2.1 Produits directs externes
Si \((G,\cdot)\) et \((H, \circ)\) sont des groupes, alors nous pouvons faire du produit cartésien de \(G\) et \(H\) un nouveau groupe. En tant qu’ensemble, notre groupe est simplement l’ensemble des paires ordonnées \((g, h) \in G \times H\) où \(g \in G\) et \(h \in H\text{.}\) Nous pouvons définir une opération binaire sur \(G \times H\) par
\begin{equation*}
(g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \circ h_2);
\end{equation*}
c’est-à-dire que nous multiplions simplement les éléments dans la première coordonnée comme dans \(G\) et les éléments dans la deuxième coordonnée comme dans \(H\text{.}\) Nous avons précisé les opérations particulières \(\cdot\) et \(\circ\) dans chaque groupe ici par souci de clarté ; nous écrivons habituellement simplement \((g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\text{.}\)
Démonstration.
Il est clair que l’opération binaire définie ci-dessus est stable. Si \(e_G\) et \(e_H\) sont les éléments neutres des groupes \(G\) et \(H\) respectivement, alors \((e_G, e_H)\) est l’élément neutre de \(G \times H\text{.}\) L’inverse de \((g, h) \in G \times H\) est \((g^{-1}, h^{-1})\text{.}\) Le fait que l’opération soit associative découle directement de l’associativité de \(G\) et \(H\text{.}\)
Exemple 9.2.2.
Soit \({\mathbb R}\) le groupe des réels pour l’addition. Le produit cartésien de \({\mathbb R}\) avec lui-même, \({\mathbb R} \times {\mathbb R} = {\mathbb R}^2\text{,}\) est aussi un groupe, dans lequel l’opération de groupe est simplement l’addition coordonnée par coordonnée ; c’est-à-dire \((a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\text{.}\) L’élément neutre est \((0,0)\) et l’inverse de \((a, b)\) est \((-a, -b)\text{.}\)
Exemple 9.2.3.
Considérons
\begin{equation*}
{\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 = \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0),(1, 1) \}\text{.}
\end{equation*}
Bien que \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) et \({\mathbb Z}_4\) contiennent tous deux quatre éléments, ils ne sont pas isomorphes. Tout élément \((a,b)\) de \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) autre que le neutre est d’ordre \(2\text{,}\) puisque \((a,b) + (a,b) = (0,0)\) ; en revanche, \({\mathbb Z}_4\) est cyclique.
Le groupe \(G \times H\) est appelé le produit direct externe de \(G\) et \(H\text{.}\) Remarquons qu’il n’y a rien de particulier dans le fait que nous n’avons utilisé que deux groupes pour construire un nouveau groupe. Le produit direct
\begin{equation*}
\prod_{i = 1}^n G_i = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n
\end{equation*}
des groupes \(G_1, G_2, \ldots, G_n\) est défini exactement de la même manière. Si \(G = G_1 = G_2 = \cdots = G_n\text{,}\) on écrit souvent \(G^n\) au lieu de \(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\text{.}\)
Exemple 9.2.4.
Le groupe \({\mathbb Z}_2^n\text{,}\) considéré comme ensemble, est simplement l’ensemble de tous les \(n\)-uplets binaires. L’opération de groupe est le « ou exclusif » de deux \(n\)-uplets binaires. Par exemple,
\begin{equation*}
(01011101) + (01001011) = (00010110)\text{.}
\end{equation*}
Ce groupe est important en théorie des codes, en cryptographie et dans de nombreux domaines de l’informatique.
Théorème 9.2.5.
Soit \((g, h) \in G \times H\text{.}\) Si \(g\) et \(h\) ont des ordres finis \(r\) et \(s\) respectivement, alors l’ordre de \((g, h)\) dans \(G \times H\) est le plus petit commun multiple de \(r\) et \(s\text{.}\)
Démonstration.
Supposons que \(m\) soit le plus petit commun multiple de \(r\) et \(s\) et posons \(n = |(g,h)|\text{.}\) Alors
\begin{gather*}
(g,h)^m = (g^m, h^m) = (e_G,e_H)\\
(g^n, h^n) = (g, h)^n = (e_G,e_H)\text{.}
\end{gather*}
Donc \(n\) divise \(m\text{,}\) et \(n \leq m\text{.}\) Cependant, d’après la deuxième équation, \(r\) et \(s\) doivent tous deux diviser \(n\) ; donc \(n\) est un multiple commun de \(r\) et \(s\text{.}\) Puisque \(m\) est le plus petit commun multiple de \(r\) et \(s\text{,}\) \(m \leq n\text{.}\) Par conséquent, \(m\) est égal à \(n\text{.}\)
Corollaire 9.2.6.
Soit \((g_1, \ldots, g_n) \in \prod G_i\text{.}\) Si \(g_i\) est d’ordre fini \(r_i\) dans \(G_i\text{,}\) alors l’ordre de \((g_1, \ldots,
g_n)\) dans \(\prod G_i\) est le plus petit commun multiple de \(r_1, \ldots, r_n\text{.}\)
Exemple 9.2.7.
Soit \((8, 56) \in {\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\) Puisque \(\gcd(8,12) = 4\text{,}\) l’ordre de \(8\) est \(12/4 = 3\) dans \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) De même, l’ordre de \(56\) dans \({\mathbb Z}_{60}\) est \(15\text{.}\) Le plus petit commun multiple de \(3\) et \(15\) est \(15\) ; donc \((8, 56)\) est d’ordre \(15\) dans \({\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\)
Exemple 9.2.8.
Le groupe \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) est constitué des paires
\begin{align*}
& (0,0), & & (0, 1), & & (0, 2), & & (1,0), & & (1, 1), & & (1, 2)\text{.}
\end{align*}
Dans ce cas, contrairement au cas de \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) et \({\mathbb Z}_4\text{,}\) il est vrai que \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \cong {\mathbb Z}_6\text{.}\) Il suffit de montrer que \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) est cyclique. Il est facile de voir que \((1,1)\) est un générateur de \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\text{.}\)
Le théorème suivant nous indique exactement quand le produit direct de deux groupes cycliques est cyclique.
Théorème 9.2.9.
Le groupe \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) est isomorphe à \({\mathbb Z}_{mn}\) si et seulement si \(\gcd(m,n)=1\text{.}\)
Démonstration.
Montrons d’abord que si \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n \cong {\mathbb Z}_{mn}\text{,}\) alors \(\gcd(m, n) = 1\text{.}\) Nous allons démontrer la contraposée ; c’est-à-dire que nous allons montrer que si \(\gcd(m, n) = d \gt 1\text{,}\) alors \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) ne peut pas être cyclique. Remarquons que \(mn/d\) est divisible à la fois par \(m\) et par \(n\) ; donc, pour tout élément \((a,b) \in {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{,}\)
\begin{equation*}
\underbrace{(a,b) + (a,b)+ \cdots + (a,b)}_{mn/d \; \text{fois}} = (0, 0)\text{.}
\end{equation*}
Par conséquent, aucun \((a, b)\) ne peut engendrer tout \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{.}\)
La réciproque découle directement du Théorème 9.2.5 puisque \(\lcm(m,n) = mn\) si et seulement si \(\gcd(m,n)=1\text{.}\)
Corollaire 9.2.10.
Soient \(n_1, \ldots, n_k\) des entiers positifs. Alors
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k}
\end{equation*}
si et seulement si \(\gcd( n_i, n_j) =1\) pour \(i \neq j\text{.}\)
Corollaire 9.2.11.
Si
\begin{equation*}
m = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}\text{,}
\end{equation*}
où les \(p_i\) sont des nombres premiers distincts, alors
\begin{equation*}
{\mathbb Z}_m \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}\text{.}
\end{equation*}
Démonstration.
Puisque le plus grand commun diviseur de \(p_i^{e_i}\) et \(p_j^{e_j}\) est 1 pour \(i \neq j\text{,}\) la démonstration découle du Corollaire 9.2.10.
Dans Chapitre 13, nous démontrerons que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de la forme
\begin{equation*}
{\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}
\end{equation*}
où \(p_1, \ldots, p_k\) sont des nombres premiers (pas nécessairement distincts).
Sous-section 9.2.2 Produits directs internes
Le produit direct externe de deux groupes construit un grand groupe à partir de deux groupes plus petits. Nous souhaitons pouvoir inverser ce processus et décomposer commodément un groupe en ses composants de produit direct ; c’est-à-dire que nous souhaitons pouvoir déterminer quand un groupe est isomorphe au produit direct de deux de ses sous-groupes.
Soit \(G\) un groupe avec des sous-groupes \(H\) et \(K\) satisfaisant les conditions suivantes.
-
\(G = HK = \{ hk : h \in H, k \in K \}\) ;
-
\(H \cap K = \{ e \}\) ;
Alors \(G\) est le produit direct interne de \(H\) et \(K\text{.}\)
Exemple 9.2.12.
Le groupe \(U(8)\) est le produit direct interne de
\begin{equation*}
H = \{1, 3 \} \quad \text{et} \quad K = \{1, 5 \}\text{.}
\end{equation*}
Exemple 9.2.13.
Le groupe diédral \(D_6\) est un produit direct interne de ses deux sous-groupes
\begin{equation*}
H = \{\identity, r^3 \} \quad \text{et} \quad K = \{\identity, r^2, r^4, s, r^2s, r^4 s \}\text{.}
\end{equation*}
On peut facilement montrer que \(K \cong S_3\) ; par conséquent, \(D_6 \cong {\mathbb Z}_2 \times S_3\text{.}\)
Exemple 9.2.14.
Tout groupe ne peut pas s’écrire comme produit direct interne de deux de ses sous-groupes propres. Si le groupe \(S_3\) était un produit direct interne de ses sous-groupes propres \(H\) et \(K\text{,}\) alors l’un des sous-groupes, disons \(H\text{,}\) devrait être d’ordre \(3\text{.}\) Dans ce cas, \(H\) est le sous-groupe \(\{ (1), (123), (132) \}\text{.}\) Le sous-groupe \(K\) doit être d’ordre \(2\text{,}\) mais quel que soit le sous-groupe choisi pour \(K\text{,}\) la condition \(hk = kh\) ne sera jamais satisfaite pour \(h \in H\) et \(k \in K\text{.}\)
Théorème 9.2.15.
Soit \(G\) le produit direct interne des sous-groupes \(H\) et \(K\text{.}\) Alors \(G\) est isomorphe à \(H \times K\text{.}\)
Démonstration.
Puisque \(G\) est un produit direct interne, nous pouvons écrire tout élément \(g \in G\) sous la forme \(g =hk\) pour un certain \(h \in H\) et un certain \(k \in K\text{.}\) Définissons une application \(\phi : G \rightarrow H \times K\) par \(\phi(g) = (h,k)\text{.}\)
Le premier problème auquel nous devons faire face est de montrer que \(\phi\) est une application bien définie ; c’est-à-dire que nous devons montrer que \(h\) et \(k\) sont uniquement déterminés par \(g\text{.}\) Supposons que \(g = hk=h'k'\text{.}\) Alors \(h^{-1} h'= k (k')^{-1}\) appartient à la fois à \(H\) et à \(K\text{,}\) donc ce doit être le neutre. Par conséquent, \(h = h'\) et \(k = k'\text{,}\) ce qui prouve que \(\phi\) est bien définie.
Pour montrer que \(\phi\) préserve l’opération de groupe, posons \(g_1 = h_1 k_1\) et \(g_2 = h_2 k_2\) et observons que
\begin{align*}
\phi( g_1 g_2 ) & = \phi( h_1 k_1 h_2 k_2 )\\
& = \phi(h_1 h_2 k_1 k_2)\\
& = (h_1 h_2, k_1 k_2)\\
& = (h_1, k_1)( h_2, k_2)\\
& = \phi( g_1 ) \phi( g_2 )\text{.}
\end{align*}
Nous laisserons la démonstration que \(\phi\) est bijective comme exercice.
Exemple 9.2.16.
Le groupe \({\mathbb Z}_6\) est un produit direct interne isomorphe à \(\{ 0, 2, 4\} \times \{ 0, 3 \}\text{.}\)
Nous pouvons étendre la définition du produit direct interne de \(G\) à une collection de sous-groupes \(H_1, H_2, \ldots, H_n\) de \(G\text{,}\) en exigeant que
-
\(G = H_1 H_2 \cdots H_n = \{ h_1 h_2 \cdots h_n : h_i \in H_i \}\) ;
-
\(H_i \cap \langle \cup_{j \neq i} H_j \rangle = \{ e \}\) ;
Nous laisserons la démonstration du théorème suivant comme exercice.
Théorème 9.2.17.
Soit \(G\) le produit direct interne des sous-groupes \(H_i\text{,}\) où \(i = 1, 2, \ldots, n\text{.}\) Alors \(G\) est isomorphe à \(\prod_i H_i\text{.}\)
