Deux groupes \((G, \cdot)\) et \((H, \circ)\) sont isomorphes s’il existe une application bijective \(\phi : G \rightarrow H\) qui préserve l’opération de groupe ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
\phi( a \cdot b) = \phi( a) \circ \phi( b)
\end{equation*}
pour tous \(a\) et \(b\) dans \(G\text{.}\) Si \(G\) est isomorphe à \(H\text{,}\) on écrit \(G \cong H\text{.}\) L’application \(\phi\) est appelée un isomorphisme.
Pour montrer que \({\mathbb Z}_4 \cong \langle i \rangle\text{,}\) définissons une application \(\phi: {\mathbb Z}_4 \rightarrow \langle i \rangle\) par \(\phi(n) = i^n\text{.}\) Nous devons montrer que \(\phi\) est bijective et préserve l’opération de groupe. L’application \(\phi\) est injective et surjective car
Nous pouvons définir un isomorphisme \(\phi\) du groupe additif des réels \(( {\mathbb R}, + )\) vers le groupe multiplicatif des réels strictement positifs \(( {\mathbb R^+}, \cdot )\) par l’application exponentielle ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
\phi( x + y) = e^{x + y} = e^x e^y = \phi( x ) \phi( y)\text{.}
\end{equation*}
Bien sûr, il nous reste à montrer que \(\phi\) est bijective, ce qui peut se déterminer par le calcul infinitésimal.
Les entiers sont isomorphes au sous-groupe de \({\mathbb Q}^\ast\) constitué des éléments de la forme \(2^n\text{.}\) Définissons une application \(\phi: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Q}^\ast\) par \(\phi( n ) = 2^n\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
\phi( m + n ) = 2^{m + n} = 2^m 2^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.}
\end{equation*}
Par définition, l’application \(\phi\) est surjective sur le sous-ensemble \(\{2^n :n \in {\mathbb Z} \}\) de \({\mathbb Q}^\ast\text{.}\) Pour montrer que l’application est injective, supposons que \(m \neq n\text{.}\) S’il nous est possible de montrer que \(\phi(m) \neq \phi(n)\text{,}\) nous aurons terminé. Supposons que \(m \gt n\) et supposons par l’absurde que \(\phi(m) = \phi(n)\text{.}\) Alors \(2^m = 2^n\) soit \(2^{m - n} = 1\text{,}\) ce qui est impossible puisque \(m - n \gt 0\text{.}\)
Les groupes \({\mathbb Z}_8\) et \({\mathbb Z}_{12}\) ne peuvent pas être isomorphes car ils n’ont pas le même ordre ; cependant, il est vrai que \(U(8) \cong U(12)\text{.}\) Nous savons que
L’application \(\phi\) n’est pas le seul isomorphisme possible entre ces deux groupes. Nous pourrions définir un autre isomorphisme \(\psi\) par \(\psi(1) = 1\text{,}\)\(\psi(3) = 11\text{,}\)\(\psi(5) = 5\text{,}\)\(\psi(7) = 7\text{.}\) En fait, ces deux groupes sont isomorphes à \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) (voir l’Exemple 3.3.5 dans Chapitre 3).
Bien que \(S_3\) et \({\mathbb Z}_6\) aient le même nombre d’éléments, nous pouvons supposer qu’ils ne sont pas isomorphes, car \({\mathbb Z}_6\) est abélien et \(S_3\) ne l’est pas. Pour le démontrer, supposons que \(\phi : {\mathbb Z}_6 \rightarrow S_3\) soit un isomorphisme. Soient \(a , b \in S_3\) deux éléments tels que \(ab \neq ba\text{.}\) Puisque \(\phi\) est un isomorphisme, il existe des éléments \(m\) et \(n\) dans \({\mathbb Z}_6\) tels que
\begin{equation*}
\phi( m ) = a \quad \text{et} \quad \phi( n ) = b\text{.}
\end{equation*}
Les assertions (1) et (2) découlent du fait que \(\phi\) est une bijection. Nous allons démontrer (3) ici et laisser le reste du théorème comme exercice.
(3) Supposons que \(h_1\) et \(h_2\) soient des éléments de \(H\text{.}\) Puisque \(\phi\) est surjective, il existe des éléments \(g_1, g_2 \in G\) tels que \(\phi(g_1) = h_1\) et \(\phi(g_2) = h_2\text{.}\) Par conséquent,
Soit \(G\) un groupe cyclique d’ordre infini et supposons que \(a\) est un générateur de \(G\text{.}\) Définissons une application \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) par \(\phi : n \mapsto a^n\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
\phi( m+n ) = a^{m+n} = a^m a^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.}
\end{equation*}
Pour montrer que \(\phi\) est injective, supposons que \(m\) et \(n\) soient deux éléments de \({\mathbb Z}\) avec \(m \neq n\text{.}\) Nous pouvons supposer que \(m \gt n\text{.}\) Nous devons montrer que \(a^m \neq a^n\text{.}\) Supposons le contraire ; c’est-à-dire que \(a^m = a^n\text{.}\) Dans ce cas \(a^{m - n} = e\text{,}\) avec \(m - n \gt 0\text{,}\) ce qui contredit le fait que \(a\) est d’ordre infini. Notre application est surjective puisque tout élément de \(G\) peut s’écrire \(a^n\) pour un certain entier \(n\) et \(\phi(n) = a^n\text{.}\)
Soit \(G\) un groupe cyclique d’ordre \(n\) engendré par \(a\) et définissons une application \(\phi : {\mathbb Z}_n \rightarrow G\) par \(\phi : k \mapsto a^k\text{,}\) où \(0 \leq k \lt n\text{.}\) La démonstration que \(\phi\) est un isomorphisme est l’un des exercices de fin de chapitre.
L’objectif principal de la théorie des groupes est de classifier tous les groupes ; cependant, il est naturel de considérer deux groupes comme identiques s’ils sont isomorphes. Nous énonçons ce résultat dans le théorème suivant, dont la démonstration est laissée comme exercice.
Ainsi, nous pouvons reformuler notre objectif de classifier tous les groupes en classifier tous les groupes à isomorphisme près ; c’est-à-dire que nous considérerons deux groupes comme identiques s’ils sont isomorphes.
Cayley a démontré que si \(G\) est un groupe, il est isomorphe à un groupe de permutations sur un certain ensemble ; ainsi, tout groupe est un groupe de permutations. Le théorème de Cayley est ce qu’on appelle un théorème de représentation. Le but de la théorie des représentations est de trouver un isomorphisme d’un groupe \(G\) que l’on souhaite étudier vers un groupe que l’on connaît bien, tel qu’un groupe de permutations ou de matrices.
La table d’addition de \({\mathbb Z}_3\) suggère qu’il est identique au groupe de permutations \(G = \{ (0), (0 1 2), (0 2 1) \}\text{.}\) L’isomorphisme est ici
Soit \(G\) un groupe. Nous devons trouver un groupe de permutations \(\overline{G}\) isomorphe à \(G\text{.}\) Pour tout \(g \in G\text{,}\) définissons une fonction \(\lambda_g : G \rightarrow G\) par \(\lambda_g(a) = ga\text{.}\) Nous affirmons que \(\lambda_g\) est une permutation de \(G\text{.}\) Pour montrer que \(\lambda_g\) est injective, supposons que \(\lambda_g(a) = \lambda_g(b)\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
ga =\lambda_g(a) = \lambda_g(b) = gb\text{.}
\end{equation*}
Donc \(a = b\text{.}\) Pour montrer que \(\lambda_g\) est surjective, nous devons prouver que pour chaque \(a \in G\text{,}\) il existe un \(b\) tel que \(\lambda_g (b) = a\text{.}\) Posons \(b = g^{-1} a\text{.}\)
Nous sommes maintenant prêts à définir notre groupe \(\overline{G}\text{.}\) Posons
\begin{equation*}
\overline{G} = \{ \lambda_g : g \in G \}\text{.}
\end{equation*}
Nous devons montrer que \(\overline{G}\) est un groupe pour la composition de fonctions et trouver un isomorphisme entre \(G\) et \(\overline{G}\text{.}\) Nous avons la stabilité par composition de fonctions puisque
Nous pouvons définir un isomorphisme de \(G\) vers \(\overline{G}\) par \(\phi : g \mapsto \lambda_g\text{.}\) L’opération de groupe est préservée puisque
Arthur Cayley est né en Angleterre en 1821, bien qu’il ait passé une grande partie de sa jeunesse en Russie, où son père était commerçant. Cayley fit ses études à Cambridge, où il remporta le premier prix Smith en mathématiques. Juriste pendant une grande partie de sa vie d’adulte, il rédigea plusieurs articles dans la vingtaine avant d’embrasser la profession juridique à l’âge de 25 ans. Tout en exerçant le droit, il poursuivit ses recherches mathématiques et rédigea plus de 300 articles au cours de cette période de sa vie. Ceux-ci comprennent certains de ses meilleurs travaux. En 1863, il abandonna le droit pour devenir professeur à Cambridge. Cayley rédigea plus de 900 articles dans des domaines tels que la théorie des groupes, la géométrie et l’algèbre linéaire. Sa connaissance du droit fut très précieuse pour Cambridge ; il participa à la rédaction de nombreux statuts de l’université. Cayley fut également l’une des personnes à l’origine de l’admission des femmes à Cambridge.
