Algèbre abstraite Théorie et applications

Supposons que \(p(x)\) est un polynôme de degré \(n\) à coefficients dans un corps quelconque. Combien de racines \(p(x)\) peut-il avoir ? En quoi cela généralise-t-il votre expérience de l’algèbre au lycée ?

Quelle est la définition d’un polynôme irréductible ?

Trouvez le reste de la division de \(8 \, x^{5} - 18 \, x^{4} + 20 \, x^{3} - 25 \, x^{2} + 20\) par \(4 \, x^{2} - x - 2\text{.}\)

Un seul théorème de ce chapitre relie de nombreuses idées de ce chapitre à de nombreuses idées du chapitre précédent. Énoncez une version paraphrasée de ce théorème.

Au début de ce chapitre, nous disons : « Nous pouvons démontrer de nombreux résultats pour les anneaux de polynômes qui sont analogues aux théorèmes que nous avons prouvés pour les entiers. » Rédigez un court essai (ou un très long paragraphe) justifiant cette affirmation.