Exemple 17.3.1.
Le polynôme \(x^2 - 2 \in {\mathbb Q}[x]\) est irréductible car il ne peut pas être factorisé davantage sur les rationnels. De même, \(x^2 + 1\) est irréductible sur les réels.
Section 17.3 Polynômes irréductibles
Un polynôme non constant \(f(x) \in F[x]\) est irréductible sur un corps \(F\) si \(f(x)\) ne peut pas s’exprimer comme le produit de deux polynômes \(g(x)\) et \(h(x)\) dans \(F[x]\text{,}\) où les degrés de \(g(x)\) et \(h(x)\) sont tous deux inférieurs au degré de \(f(x)\text{.}\) Les polynômes irréductibles jouent le rôle des « nombres premiers » dans les anneaux de polynômes.
Exemple 17.3.2.
Le polynôme \(p(x) = x^3 + x^2 + 2\) est irréductible sur \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Supposons que ce polynôme soit réductible sur \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) D’après l’algorithme de division, il devrait exister un facteur de la forme \(x - a\text{,}\) où \(a\) est un élément de \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Il faudrait donc que \(p(a) = 0\text{.}\) Cependant,
\begin{align*}
p(0) & = 2\\
p(1) & = 1\\
p(2) & = 2\text{.}
\end{align*}
Par conséquent, \(p(x)\) n’a aucun zéro dans \({\mathbb Z}_3\) et doit être irréductible.
Lemme 17.3.3.
Soit \(p(x) \in {\mathbb Q}[x]\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
p(x) = \frac{r}{s}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n)\text{,}
\end{equation*}
où \(r, s, a_0, \ldots, a_n\) sont des entiers, les \(a_i\) sont premiers entre eux, et \(r\) et \(s\) sont premiers entre eux.
Démonstration.
Supposons que
\begin{equation*}
p(x) = \frac{b_0}{c_0} + \frac{b_1}{c_1} x + \cdots + \frac{b_n}{c_n} x^n\text{,}
\end{equation*}
où les \(b_i\) et les \(c_i\) sont des entiers. On peut réécrire \(p(x)\) comme
\begin{equation*}
p(x) = \frac{1}{c_0 \cdots c_n} (d_0 + d_1 x + \cdots + d_n x^n)\text{,}
\end{equation*}
où \(d_0, \ldots, d_n\) sont des entiers. Soit \(d\) le plus grand commun diviseur de \(d_0, \ldots, d_n\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
p(x) = \frac{d}{c_0 \cdots c_n} (a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n)\text{,}
\end{equation*}
où \(d_i = d a_i\) et les \(a_i\) sont premiers entre eux. En réduisant \(d /(c_0 \cdots c_n)\) à sa forme irréductible, on peut écrire
\begin{equation*}
p(x) = \frac{r}{s}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n)\text{,}
\end{equation*}
où \(\gcd(r,s) = 1\text{.}\)
Théorème 17.3.4. Lemme de Gauss.
Soit \(p(x) \in {\mathbb Z}[x]\) un polynôme unitaire tel que \(p(x)\) se factorise en un produit de deux polynômes \(\alpha(x)\) et \(\beta(x)\) dans \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) où les degrés de \(\alpha(x)\) et de \(\beta(x)\) sont tous deux inférieurs au degré de \(p(x)\text{.}\) Alors \(p(x) = a(x) b(x)\text{,}\) où \(a(x)\) et \(b(x)\) sont des polynômes unitaires dans \({\mathbb Z}[x]\) avec \(\deg \alpha(x) = \deg a(x)\) et \(\deg \beta(x) = \deg b(x)\text{.}\)
Démonstration.
D’après le Lemme 17.3.3, on peut supposer que
\begin{align*}
\alpha(x) & = \frac{c_1}{d_1} (a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m ) = \frac{c_1}{d_1} \alpha_1(x)\\
\beta(x) & = \frac{c_2}{d_2} (b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n) = \frac{c_2}{d_2} \beta_1(x)\text{,}
\end{align*}
où les \(a_i\) sont premiers entre eux et les \(b_i\) sont premiers entre eux. Par conséquent,
\begin{equation*}
p(x) = \alpha(x) \beta(x) = \frac{c_1 c_2}{d_1 d_2} \alpha_1(x) \beta_1(x) = \frac{c}{d} \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{,}
\end{equation*}
où \(c/d\) est le produit de \(c_1/d_1\) et \(c_2/d_2\) exprimé en termes irréductibles. Ainsi, \(d p(x) = c \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{.}\)
Si \(d = 1\text{,}\) alors \(c a_m b_n = 1\) puisque \(p(x)\) est un polynôme unitaire. Donc, soit \(c=1\text{,}\) soit \(c = -1\text{.}\) Si \(c = 1\text{,}\) alors soit \(a_m = b_n = 1\text{,}\) soit \(a_m = b_n = -1\text{.}\) Dans le premier cas \(p(x) = \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{,}\) où \(\alpha_1(x)\) et \(\beta_1(x)\) sont des polynômes unitaires avec \(\deg \alpha(x) = \deg \alpha_1(x)\) et \(\deg \beta(x) = \deg \beta_1(x)\text{.}\) Dans le second cas \(a(x) = -\alpha_1(x)\) et \(b(x) = -\beta_1(x)\) sont les bons polynômes unitaires puisque \(p(x) = (-\alpha_1(x))(- \beta_1(x)) = a(x) b(x)\text{.}\) Le cas où \(c = -1\) se traite de façon similaire.
Supposons maintenant que \(d \neq 1\text{.}\) Puisque \(\gcd(c, d) = 1\text{,}\) il existe un nombre premier \(p\) tel que \(p \mid d\) et \(p \notdivide c\text{.}\) De plus, puisque les coefficients de \(\alpha_1(x)\) sont premiers entre eux, il existe un coefficient \(a_i\) tel que \(p \notdivide a_i\text{.}\) De même, il existe un coefficient \(b_j\) de \(\beta_1(x)\) tel que \(p \notdivide b_j\text{.}\) Soient \(\alpha_1'(x)\) et \(\beta_1'(x)\) les polynômes dans \({\mathbb Z}_p[x]\) obtenus en réduisant les coefficients de \(\alpha_1(x)\) et \(\beta_1(x)\) modulo \(p\text{.}\) Puisque \(p \mid d\text{,}\) \(\alpha_1'(x) \beta_1'(x) = 0\) dans \({\mathbb Z}_p[x]\text{.}\) Cependant, cela est impossible puisque ni \(\alpha_1'(x)\) ni \(\beta_1'(x)\) n’est le polynôme nul et que \({\mathbb Z}_p[x]\) est un anneau intègre. Par conséquent, \(d=1\) et le théorème est démontré.
Corollaire 17.3.5.
Soit \(p(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0\) un polynôme à coefficients dans \({\mathbb Z}\) et \(a_0 \neq 0\text{.}\) Si \(p(x)\) a un zéro dans \({\mathbb Q}\text{,}\) alors \(p(x)\) a également un zéro \(\alpha\) dans \({\mathbb Z}\text{.}\) De plus, \(\alpha\) divise \(a_0\text{.}\)
Démonstration.
Soit \(a \in {\mathbb Q}\) un zéro de \(p(x)\text{.}\) Alors \(p(x)\) doit avoir un facteur linéaire \(x - a\text{.}\) D’après le lemme de Gauss, \(p(x)\) admet une factorisation avec un facteur linéaire dans \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Ainsi, pour un certain \(\alpha \in {\mathbb Z}\)
\begin{equation*}
p(x) = (x - \alpha)( x^{n - 1} + \cdots - a_0 / \alpha )\text{.}
\end{equation*}
Donc \(a_0 /\alpha \in {\mathbb Z}\) et ainsi \(\alpha \mid a_0\text{.}\)
Exemple 17.3.6.
Soit \(p(x) = x^4 - 2 x^3 + x + 1\text{.}\) Nous allons montrer que \(p(x)\) est irréductible sur \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Supposons que \(p(x)\) soit réductible. Alors soit \(p(x)\) a un facteur linéaire, disons \(p(x) = (x - \alpha) q(x)\text{,}\) où \(q(x)\) est un polynôme de degré trois, soit \(p(x)\) a deux facteurs quadratiques.
Si \(p(x)\) a un facteur linéaire dans \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) alors il a un zéro dans \({\mathbb Z}\text{.}\) D’après le Corollaire 17.3.5, tout zéro doit diviser 1 et être donc \(\pm 1\) ; cependant, \(p(1) = 1\) et \(p(-1)= 3\text{.}\) Par conséquent, nous avons éliminé la possibilité que \(p(x)\) ait des facteurs linéaires.
Donc, si \(p(x)\) est réductible, il doit se factoriser en deux polynômes quadratiques, disons
\begin{align*}
p(x) & = (x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d )\\
& = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd\text{,}
\end{align*}
où chaque facteur est dans \({\mathbb Z}[x]\) d’après le lemme de Gauss. Donc,
\begin{align*}
a + c & = - 2\\
ac + b + d & = 0\\
ad + bc & = 1\\
bd & = 1\text{.}
\end{align*}
Puisque \(bd = 1\text{,}\) soit \(b = d = 1\text{,}\) soit \(b = d = -1\text{.}\) Dans les deux cas \(b = d\text{,}\) et donc
\begin{equation*}
ad + bc = b( a + c ) = 1\text{.}
\end{equation*}
Puisque \(a + c = -2\text{,}\) on sait que \(-2b = 1\text{.}\) Cela est impossible puisque \(b\) est un entier. Par conséquent, \(p(x)\) est irréductible sur \({\mathbb Q}\text{.}\)
Théorème 17.3.7. Critère d’Eisenstein.
Soit \(p\) un nombre premier et supposons que
\begin{equation*}
f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in {\mathbb Z}[x]\text{.}
\end{equation*}
Si \(p \mid a_i\) pour \(i = 0, 1, \ldots,
n-1\text{,}\) mais \(p \notdivide a_n\) et \(p^2 \notdivide a_0\text{,}\) alors \(f(x)\) est irréductible sur \({\mathbb Q}\text{.}\)
Démonstration.
D’après le lemme de Gauss (voir le Théorème 17.3.7 et le Lemme 18.2.19), il suffit de montrer que \(f(x)\) ne se factorise pas en polynômes de degré inférieur dans \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Supposons que
\begin{equation*}
f(x) = (b_rx^r + \cdots + b_0)(c_s x^s + \cdots + c_0 )
\end{equation*}
soit une factorisation dans \({\mathbb Z}[x]\text{,}\) avec \(b_r\) et \(c_s\) non nuls et \(r,
s \lt n\text{.}\) Puisque \(p^2\) ne divise pas \(a_0 = b_0 c_0\text{,}\) soit \(b_0\text{,}\) soit \(c_0\) n’est pas divisible par \(p\text{.}\) Supposons que \(p \notdivide b_0\) et \(p \mid c_0\text{.}\) Puisque \(p \notdivide a_n\) et \(a_n = b_r c_s\text{,}\) ni \(b_r\) ni \(c_s\) n’est divisible par \(p\text{.}\) Soit \(m\) la plus petite valeur de \(k\) telle que \(p \notdivide c_k\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
a_m = b_0 c_m + b_1 c_{m - 1} + \cdots + b_m c_0
\end{equation*}
n’est pas divisible par \(p\text{,}\) puisque chaque terme du membre droit de l’équation est divisible par \(p\text{,}\) sauf \(b_0 c_m\text{.}\) Par conséquent, \(m = n\) puisque \(a_i\) est divisible par \(p\) pour \(m \lt n\text{.}\) Ainsi, \(f(x)\) ne peut pas se factoriser en polynômes de degré inférieur et est donc irréductible.
Exemple 17.3.8.
On voit facilement que le polynôme
\begin{equation*}
f(x) = 16 x^5 - 9 x^4 + 3x^2 + 6 x - 21
\end{equation*}
est irréductible sur \({\mathbb Q}\) d’après le critère d’Eisenstein en prenant \(p = 3\text{.}\)
Le critère d’Eisenstein est plus utile pour construire des polynômes irréductibles d’un certain degré sur \({\mathbb Q}\) que pour déterminer l’irréductibilité d’un polynôme arbitraire dans \({\mathbb Q}[x]\) : pour un polynôme arbitraire donné, il est peu probable qu’on puisse appliquer le critère d’Eisenstein. L’intérêt réel du Théorème 17.3.7 est que nous disposons désormais d’une méthode simple pour générer des polynômes irréductibles de n’importe quel degré.
Sous-section 17.3.1 Idéaux dans \(F\lbrack x \rbrack\)
Soit \(F\) un corps. Rappelons qu’un idéal principal dans \(F[x]\) est un idéal \(\langle p(x) \rangle\) engendré par un polynôme \(p(x)\) ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
\langle p(x) \rangle = \{ p(x) q(x) : q(x) \in F[x] \}\text{.}
\end{equation*}
Exemple 17.3.9.
Le polynôme \(x^2\) dans \(F[x]\) engendre l’idéal \(\langle x^2 \rangle\) constitué de tous les polynômes sans terme constant ni terme de degré \(1\text{.}\)
Théorème 17.3.10.
Démonstration.
Soit \(I\) un idéal de \(F[x]\text{.}\) Si \(I\) est l’idéal nul, le théorème est clairement vrai. Supposons que \(I\) est un idéal non trivial dans \(F[x]\text{,}\) et soit \(p(x) \in I\) un élément non nul de degré minimal. Si \(\deg p(x)= 0\text{,}\) alors \(p(x)\) est une constante non nulle et \(1\) doit appartenir à \(I\text{.}\) Puisque \(1\) engendre tout \(F[x]\text{,}\) \(\langle 1 \rangle = I = F[x]\) et \(I\) est de nouveau un idéal principal.
Supposons maintenant que \(\deg p(x) \geq 1\) et soit \(f(x)\) un élément quelconque de \(I\text{.}\) D’après l’algorithme de division, il existe \(q(x)\) et \(r(x)\) dans \(F[x]\) tels que \(f(x) = p(x) q(x) + r(x)\) et \(\deg r(x) \lt \deg p(x)\text{.}\) Puisque \(f(x), p(x) \in I\) et que \(I\) est un idéal, \(r(x) = f(x) - p(x) q(x)\) appartient également à \(I\text{.}\) Cependant, puisque nous avons choisi \(p(x)\) de degré minimal, \(r(x)\) doit être le polynôme nul. Puisque tout élément \(f(x)\) de \(I\) peut s’écrire \(p(x) q(x)\) pour un certain \(q(x) \in F[x]\text{,}\) il doit être le cas que \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\)
Exemple 17.3.11.
Il n’est pas vrai que tout idéal de l’anneau \(F[x,y]\) soit un idéal principal. Considérons l’idéal de \(F[x, y]\) engendré par les polynômes \(x\) et \(y\text{.}\) C’est l’idéal de \(F[x, y]\) constitué de tous les polynômes sans terme constant. Puisque \(x\) et \(y\) appartiennent tous deux à l’idéal, aucun polynôme unique ne peut engendrer tout l’idéal.
Théorème 17.3.12.
Soit \(F\) un corps et supposons que \(p(x) \in F[x]\text{.}\) Alors l’idéal engendré par \(p(x)\) est maximal si et seulement si \(p(x)\) est irréductible.
Démonstration.
Supposons que \(p(x)\) engendre un idéal maximal de \(F[x]\text{.}\) Alors \(\langle p(x) \rangle\) est également un idéal premier de \(F[x]\text{.}\) Puisqu’un idéal maximal doit être strictement contenu dans \(F[x]\text{,}\) \(p(x)\) ne peut pas être un polynôme constant. Supposons que \(p(x)\) se factorise en deux polynômes de degré inférieur, disons \(p(x) = f(x) g(x)\text{.}\) Puisque \(\langle p(x) \rangle\) est un idéal premier, l’un de ces facteurs, disons \(f(x)\text{,}\) appartient à \(\langle p(x) \rangle\) et est donc un multiple de \(p(x)\text{.}\) Mais cela impliquerait que \(\langle p(x) \rangle \subset \langle f(x) \rangle\text{,}\) ce qui est impossible puisque \(\langle p(x) \rangle\) est maximal.
Réciproquement, supposons que \(p(x)\) est irréductible sur \(F[x]\text{.}\) Soit \(I\) un idéal de \(F[x]\) contenant \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) D’après le Théorème 17.3.10, \(I\) est un idéal principal ; donc, \(I = \langle f(x) \rangle\) pour un certain \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Puisque \(p(x) \in I\text{,}\) il doit être le cas que \(p(x) = f(x) g(x)\) pour un certain \(g(x) \in F[x]\text{.}\) Cependant, \(p(x)\) est irréductible ; donc, soit \(f(x)\text{,}\) soit \(g(x)\) est un polynôme constant. Si \(f(x)\) est constant, alors \(I = F[x]\) et c’est terminé. Si \(g(x)\) est constant, alors \(f(x)\) est un multiple constant de \(I\) et \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\) Ainsi, il n’existe pas d’idéal propre de \(F[x]\) qui contienne strictement \(\langle p(x)\rangle\text{.}\)
Sous-section 17.3.2 Note historique
Tout au long de l’histoire, la résolution des équations polynomiales a été un problème ardu. Les Babyloniens savaient résoudre l’équation \(ax^2 + bx + c = 0\text{.}\) Omar Khayyam (1048–1131) mit au point des méthodes de résolution des équations cubiques au moyen de constructions géométriques et de sections coniques. La résolution algébrique de l’équation cubique générale \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) ne fut découverte qu’au seizième siècle. Un mathématicien italien, Luca Pacioli (vers 1445–1509), écrivit dans la Summa de Arithmetica que la résolution de l’équation cubique était impossible. Cela fut pris comme un défi par le reste de la communauté mathématique.
Scipione del Ferro (1465–1526), de l’Université de Bologne, résolut le « cubique déprimé »,
\begin{equation*}
ax^3 + cx + d = 0\text{.}
\end{equation*}
Il garda sa solution absolument secrète. Cela peut sembler surprenant aujourd’hui, où les mathématiciens sont généralement très désireux de publier leurs résultats, mais à l’époque de la Renaissance italienne le secret était de mise. Les postes académiques n’étaient pas faciles à obtenir et dépendaient de la capacité à l’emporter dans des concours publics. De tels défis pouvaient être lancés à tout moment. Par conséquent, toute grande découverte était une arme précieuse dans un tel concours. Si un adversaire présentait une liste de problèmes à résoudre, del Ferro pouvait à son tour présenter une liste de cubiques déprimés. Il garda le secret de sa découverte tout au long de sa vie, ne le transmettant que sur son lit de mort à son étudiant Antonio Fior (vers 1506–?).
Bien que Fior ne fût pas l’égal de son maître, il lança immédiatement un défi à Niccolo Fontana (1499–1557). Fontana était connu sous le nom de Tartaglia (le Bègue). Dans sa jeunesse, il avait reçu un coup d’épée d’un soldat français lors d’une attaque contre son village. Il survécut à la cruelle blessure, mais son élocution en fut définitivement altérée. Tartaglia envoya à Fior une liste de 30 problèmes mathématiques variés ; Fior répondit en envoyant à Tartaglia une liste de 30 cubiques déprimés. Tartaglia devrait soit résoudre les 30 problèmes, soit échouer complètement. Après de grands efforts, Tartaglia réussit finalement à résoudre le cubique déprimé et battit Fior, qui sombra dans l’oubli.
À ce stade, un autre mathématicien, Gerolamo Cardano (1501–1576), entra en scène. Cardano écrivit à Tartaglia, le suppliant de lui communiquer la solution du cubique déprimé. Tartaglia refusa plusieurs de ses demandes, puis finit par révéler la solution à Cardano après que ce dernier eut juré de ne pas publier le secret ni de le transmettre à qui que ce soit. Grâce aux connaissances qu’il avait obtenues de Tartaglia, Cardano résolut finalement l’équation cubique générale
\begin{equation*}
a x^3 + bx^2 + cx + d = 0\text{.}
\end{equation*}
Cardano partagea le secret avec son étudiant, Ludovico Ferrari (1522–1565), qui résolut l’équation quartique générale,
\begin{equation*}
a x^4 + b x^3 + cx^2 + d x + e = 0\text{.}
\end{equation*}
En 1543, Cardano et Ferrari examinèrent les travaux de del Ferro et découvrirent que celui-ci avait également résolu le cubique déprimé. Cardano estima que cela le libérait de son obligation envers Tartaglia, et il publia les solutions dans l’Ars Magna (1545), où il attribua à del Ferro la résolution du cas particulier du cubique. Cela entraîna une dispute amère entre Cardano et Tartaglia, qui publia l’histoire du serment un an plus tard.
