Bien que cela ne soit pas évident au premier abord, les groupes quotients correspondent exactement aux images homomorphiques, et nous pouvons utiliser les groupes quotients pour étudier les homomorphismes. Nous savons déjà qu’à tout homomorphisme de groupes \(\phi: G \rightarrow H\) nous pouvons associer un sous-groupe normal de \(G\text{,}\)\(\ker \phi\text{.}\) La réciproque est également vraie ; c’est-à-dire que tout sous-groupe normal d’un groupe \(G\) donne naissance à un homomorphisme de groupes.
\begin{equation*}
\phi( g_1 g_2 ) = g_1 g_2 H = g_1 H g_2 H = \phi( g_1) \phi( g_2 )\text{.}
\end{equation*}
Le noyau de cet homomorphisme est \(H\text{.}\) Les théorèmes suivants décrivent les relations entre homomorphismes de groupes, sous-groupes normaux et groupes quotients.
Si \(\psi : G \rightarrow H\) est un homomorphisme de groupes avec \(K =\ker \psi\text{,}\) alors \(K\) est normal dans \(G\text{.}\) Soit \(\phi: G \rightarrow G/K\) l’homomorphisme canonique. Alors il existe un isomorphisme unique \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) tel que \(\psi = \eta \phi\text{.}\)
Nous savons déjà que \(K\) est normal dans \(G\text{.}\) Définissons \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) par \(\eta(gK) = \psi(g)\text{.}\) Montrons d’abord que \(\eta\) est une application bien définie. Si \(g_1 K =g_2 K\text{,}\) alors pour un certain \(k \in K\text{,}\)\(g_1 k=g_2\) ; par conséquent,
Ainsi, \(\eta\) ne dépend pas du choix des représentants de classes et l’application \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) est uniquement définie puisque \(\psi = \eta \phi\text{.}\) Nous devons aussi montrer que \(\eta\) est un homomorphisme. En effet,
Il est clair que \(\eta\) est surjective sur \(\psi( G)\text{.}\) Pour montrer que \(\eta\) est injective, supposons que \(\eta(g_1 K) = \eta(g_2 K)\text{.}\) Alors \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\text{.}\) Cela implique que \(\psi( g_1^{-1} g_2 ) = e\text{,}\) soit que \(g_1^{-1} g_2\) appartient au noyau de \(\psi\) ; donc \(g_1^{-1} g_2K = K\) ; c’est-à-dire \(g_1K =g_2K\text{.}\)
Les mathématiciens utilisent souvent des diagrammes appelés diagrammes commutatifs pour décrire de tels théorèmes. Le diagramme suivant est « commutatif » puisque \(\psi = \eta \phi\text{.}\)
Un diagramme avec \(G\) relié par une flèche à \(H\) par \(\psi\) sur la ligne du haut. \(G\) est relié par une flèche vers le bas et la droite vers \(G/K\) par \(\phi\text{.}\)\(G/K\) est relié par une flèche vers le haut et la droite vers \(H\) par \(\eta\text{.}\)
Exemple11.2.2.
Soit \(G\) un groupe cyclique de générateur \(g\text{.}\) Définissons une application \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) par \(n \mapsto g^n\text{.}\) Cette application est un homomorphisme surjectif puisque
Il est clair que \(\phi\) est surjective. Si \(|g| = m\text{,}\) alors \(g^m = e\text{.}\) Donc \(\ker \phi = m {\mathbb Z}\) et \({\mathbb Z} / \ker \phi = {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong G\text{.}\) D’autre part, si l’ordre de \(g\) est infini, alors \(\ker \phi = 0\) et \(\phi\) est un isomorphisme de \(G\) et \({\mathbb Z}\text{.}\) Ainsi, deux groupes cycliques sont isomorphes si et seulement s’ils ont le même ordre. À isomorphisme près, les seuls groupes cycliques sont \({\mathbb Z}\) et \({\mathbb Z}_n\text{.}\)
Soit \(H\) un sous-groupe d’un groupe \(G\) (pas nécessairement normal dans \(G\)) et \(N\) un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) Alors \(HN\) est un sous-groupe de \(G\text{,}\)\(H \cap N\) est un sous-groupe normal de \(H\text{,}\) et
\begin{equation*}
H / H \cap N \cong HN /N\text{.}
\end{equation*}
Montrons d’abord que \(HN = \{ hn : h \in H, n \in N \}\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Supposons que \(h_1 n_1, h_2 n_2 \in HN\text{.}\) Puisque \(N\) est normal, \((h_2)^{-1} n_1 h_2 \in N\text{.}\) Donc
Montrons ensuite que \(H \cap N\) est normal dans \(H\text{.}\) Soient \(h \in H\) et \(n \in H \cap N\text{.}\) Alors \(h^{-1} n h \in H\) car chaque élément appartient à \(H\text{.}\) De plus, \(h^{-1} n h \in N\) car \(N\) est normal dans \(G\) ; par conséquent, \(h^{-1} n h \in H \cap N\text{.}\)
Définissons maintenant une application \(\phi\) de \(H\) vers \(HN / N\) par \(h \mapsto h N\text{.}\) L’application \(\phi\) est surjective, puisque toute classe \(h n N = h N\) est l’image de \(h\) dans \(H\text{.}\) Nous savons aussi que \(\phi\) est un homomorphisme car
\begin{equation*}
\phi( h h') = h h' N = h N h' N = \phi( h ) \phi( h')\text{.}
\end{equation*}
D’après le premier théorème d’isomorphisme, l’image de \(\phi\) est isomorphe à \(H / \ker \phi\) ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
HN/N = \phi(H) \cong H / \ker \phi\text{.}
\end{equation*}
Puisque
\begin{equation*}
\ker \phi = \{ h \in H : h \in N \} = H \cap N\text{,}
\end{equation*}
Soit \(N\) un sous-groupe normal d’un groupe \(G\text{.}\) Alors \(H \mapsto H/N\) est une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-groupes \(H\) de \(G\) contenant \(N\) et l’ensemble des sous-groupes de \(G/N\text{.}\) De plus, les sous-groupes normaux de \(G\) contenant \(N\) correspondent aux sous-groupes normaux de \(G/N\text{.}\)
Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\) contenant \(N\text{.}\) Puisque \(N\) est normal dans \(H\text{,}\)\(H/N\) est un groupe quotient. Soient \(aN\) et \(bN\) des éléments de \(H/N\text{.}\) Alors \((aN)( b^{-1} N )= ab^{-1}N \in H/N\) ; donc \(H/N\) est un sous-groupe de \(G/N\text{.}\)
Soit \(S\) un sous-groupe de \(G/N\text{.}\) Ce sous-groupe est un ensemble de classes de \(N\text{.}\) Si \(H= \{ g \in G : gN \in S \}\text{,}\) alors pour \(h_1, h_2 \in H\text{,}\) on a \((h_1 N)( h_2 N )= h_1 h_2 N \in S\) et \(h_1^{-1} N \in S\text{.}\) Par conséquent, \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Il est clair que \(H\) contient \(N\text{.}\) Donc \(S = H / N\text{.}\) Par suite, l’application \(H \mapsto H/N\) est surjective.
Supposons que \(H_1\) et \(H_2\) soient des sous-groupes de \(G\) contenant \(N\) tels que \(H_1/N = H_2/N\text{.}\) Si \(h_1 \in H_1\text{,}\) alors \(h_1 N \in H_1/N\text{.}\) Donc \(h_1 N = h_2 N \subset H_2\) pour un certain \(h_2\) dans \(H_2\text{.}\) Cependant, puisque \(N\) est contenu dans \(H_2\text{,}\) nous savons que \(h_1 \in H_2\) soit \(H_1 \subset H_2\text{.}\) De même, \(H_2 \subset H_1\text{.}\) Puisque \(H_1 = H_2\text{,}\) l’application \(H \mapsto H/N\) est injective.
Supposons que \(H\) soit normal dans \(G\) et que \(N\) soit un sous-groupe de \(H\text{.}\) Il est alors facile de vérifier que l’application \(G/N \rightarrow G/H\) définie par \(gN \mapsto gH\) est un homomorphisme. Le noyau de cet homomorphisme est \(H/N\text{,}\) ce qui prouve que \(H/N\) est normal dans \(G/N\text{.}\)
