Dans l’étude des groupes, un homomorphisme est une application qui préserve l’opération du groupe. De même, un homomorphisme entre anneaux préserve les opérations d’addition et de multiplication dans l’anneau. Plus précisément, si \(R\) et \(S\) sont des anneaux, alors un homomorphisme d’anneaux est une application \(\phi : R \rightarrow S\) satisfaisant
\begin{align*}
\phi( a + b ) & = \phi( a ) + \phi(b)\\
\phi( a b ) & = \phi( a ) \phi(b)
\end{align*}
pour tous \(a, b \in R\text{.}\) Si \(\phi : R \rightarrow S\) est un homomorphisme bijectif, alors \(\phi\) est appelé un isomorphisme d’anneaux.
L’ensemble des éléments qu’un homomorphisme d’anneaux envoie sur \(0\) joue un rôle fondamental dans la théorie des anneaux. Pour tout homomorphisme d’anneaux \(\phi : R \rightarrow S\text{,}\) on définit le noyau d’un homomorphisme d’anneaux comme l’ensemble
\begin{equation*}
\ker \phi = \{ r \in R : \phi( r ) = 0 \}\text{.}
\end{equation*}
Pour tout entier \(n\text{,}\) on peut définir un homomorphisme d’anneaux \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}_n\) par \(a \mapsto a \pmod{n}\text{.}\) C’est bien un homomorphisme d’anneaux, car
\begin{align*}
\phi( a + b ) & = (a + b) \pmod{n}\\
& = a \pmod{n} + b \pmod{n}\\
& = \phi( a ) + \phi(b)
\end{align*}
et
\begin{align*}
\phi( a b ) & = ab \pmod{n}\\
& = a \pmod{n}\cdot b \pmod{n}\\
& = \phi( a ) \phi(b)\text{.}
\end{align*}
Le noyau de l’homomorphisme \(\phi\) est \(n {\mathbb Z}\text{.}\)
Soit \(C[a, b]\) l’anneau des fonctions continues à valeurs réelles sur un intervalle \([a,b]\) comme dans le Exemple 16.1.5. Pour un \(\alpha \in [a, b]\) fixé, on peut définir un homomorphisme d’anneaux \(\phi_{\alpha} : C[a, b] \rightarrow {\mathbb R}\) par \(\phi_{\alpha} (f ) = f( \alpha)\text{.}\) C’est un homomorphisme d’anneaux car
\begin{gather*}
\phi_{\alpha}( f + g ) = (f + g)( \alpha) = f(\alpha) + g(\alpha) = \phi_{\alpha}( f ) + \phi_{\alpha}(g )\\
\phi_{\alpha}( f g ) = (f g)( \alpha) = f(\alpha) g(\alpha) = \phi_{\alpha}( f ) \phi_{\alpha}(g )\text{.}
\end{gather*}
Les homomorphismes d’anneaux du type \(\phi_{\alpha}\) sont appelés homomorphismes d’évaluation.
Dans la proposition suivante, nous examinerons quelques propriétés fondamentales des homomorphismes d’anneaux. La démonstration de la proposition est laissée en exercice.
En théorie des groupes, nous avons constaté que les sous-groupes normaux jouent un rôle particulier. Ces sous-groupes possèdent de belles propriétés qui les rendent plus intéressants à étudier que les sous-groupes arbitraires. En théorie des anneaux, les objets correspondant aux sous-groupes normaux sont une classe particulière de sous-anneaux appelés idéaux. Un idéal dans un anneau \(R\) est un sous-anneau \(I\) de \(R\) tel que si \(a\) est dans \(I\) et \(r\) est dans \(R\text{,}\) alors \(ar\) et \(ra\) sont tous deux dans \(I\) ; c’est-à-dire \(rI \subset I\) et \(Ir \subset I\) pour tout \(r \in R\text{.}\)
Soit \(R\) un anneau avec identité et supposons que \(I\) est un idéal de \(R\) tel que \(1\) appartient à \(I\text{.}\) Puisque pour tout \(r \in R\text{,}\)\(r1 = r \in I\) par définition d’un idéal, on a \(I = R\text{.}\)
Si \(a\) est un élément quelconque d’un anneau commutatif \(R\) avec identité, alors l’ensemble
\begin{equation*}
\langle a \rangle = \{ ar : r \in R \}
\end{equation*}
est un idéal de \(R\text{.}\) Certes, \(\langle a \rangle\) est non vide car \(0 = a0\) et \(a = a1\) appartiennent tous deux à \(\langle a \rangle\text{.}\) La somme de deux éléments de \(\langle a \rangle\) appartient à nouveau à \(\langle a \rangle\) puisque \(ar + ar' = a(r + r')\text{.}\) L’inverse de \(ar\) est \(-ar = a (-r) \in \langle a \rangle\text{.}\) Enfin, si l’on multiplie un élément \(ar \in \langle a \rangle\) par un élément arbitraire \(s \in R\text{,}\) on obtient \(s(ar) = a(sr)\text{.}\) Donc \(\langle a \rangle\) satisfait la définition d’un idéal.
L’idéal nul \(\{ 0 \}\) est un idéal principal puisque \(\langle 0 \rangle = \{ 0 \}\text{.}\) Si \(I\) est un idéal non nul quelconque de \({\mathbb Z}\text{,}\) alors \(I\) doit contenir un entier positif \(m\text{.}\) D’après le principe du bon ordre, il existe un plus petit entier positif \(n\) dans \(I\text{.}\) Soit maintenant \(a\) un élément quelconque de \(I\text{.}\) D’après l’algorithme de division, il existe des entiers \(q\) et \(r\) tels que
\begin{equation*}
a = nq + r
\end{equation*}
où \(0 \leq r \lt n\text{.}\) Cette équation nous dit que \(r = a - nq \in I\text{,}\) mais \(r\) doit être \(0\) puisque \(n\) est le plus petit élément positif de \(I\text{.}\) Donc \(a = nq\) et \(I = \langle n \rangle\text{.}\)
L’ensemble \(n {\mathbb Z}\) est un idéal de l’anneau des entiers. Si \(na\) est dans \(n{\mathbb Z}\) et \(b\) est dans \({\mathbb Z}\text{,}\) alors \(nab\) est dans \(n {\mathbb Z}\) comme requis. En fait, d’après le Théorème 16.3.6, ce sont les seuls idéaux de \({\mathbb Z}\text{.}\)
Nous savons d’après la théorie des groupes que \(\ker \phi\) est un sous-groupe additif de \(R\text{.}\) Supposons que \(r \in R\) et \(a \in \ker \phi\text{.}\) Il faut alors montrer que \(ar\) et \(ra\) sont dans \(\ker \phi\text{.}\) Or,
Dans notre définition d’un idéal, nous avons exigé que \(rI \subset I\) et \(Ir \subset I\) pour tout \(r \in R\text{.}\) De tels idéaux sont parfois appelés idéaux bilatères. On peut également considérer des idéaux unilatères ; c’est-à-dire que l’on peut exiger seulement que soit \(rI \subset I\text{,}\) soit \(Ir \subset I\) pour \(r \in R\text{,}\) mais pas les deux. De tels idéaux sont appelés idéaux à gauche et idéaux à droite, respectivement. Bien entendu, dans un anneau commutatif, tout idéal est bilatère. Dans ce texte, nous nous concentrerons sur les idéaux bilatères.
Nous savons déjà que \(R/I\) est un groupe abélien pour l’addition. Soient \(r+I\) et \(s +I\) dans \(R/I\text{.}\) Il faut montrer que le produit \((r + I)(s + I) = rs + I\) est indépendant du choix du représentant du coset ; c’est-à-dire que si \(r' \in r+I\) et \(s' \in s+I\text{,}\) alors \(r's'\) doit être dans \(rs+I\text{.}\) Puisque \(r' \in r+I\text{,}\) il existe un élément \(a\) dans \(I\) tel que \(r' = r + a\text{.}\) De même, il existe \(b \in I\) tel que \(s' = s + b\text{.}\) Remarquons que
\begin{equation*}
r' s' = (r+a)(s+b) = rs + as + rb + ab
\end{equation*}
et \(as + rb + ab \in I\) puisque \(I\) est un idéal ; par conséquent, \(r' s' \in rs + I\text{.}\) Nous laisserons en exercice la vérification de la loi associative pour la multiplication et des lois distributives.
L’anneau \(R/I\) du Théorème 16.3.10 est appelé l’anneau facteur ou anneau quotient. Tout comme pour les homomorphismes de groupes et les sous-groupes normaux, il existe une relation entre les homomorphismes d’anneaux et les idéaux.
Soit \(I\) un idéal de \(R\text{.}\) L’application \(\phi : R \rightarrow R/I\) définie par \(\phi( r ) = r + I\) est un homomorphisme d’anneaux surjectif de \(R\) sur \(R/I\) de noyau \(I\text{.}\)
Il est clair que \(\phi : R \rightarrow R/I\) est un homomorphisme surjectif de groupes abéliens. Il reste à montrer que \(\phi\) se comporte correctement vis-à-vis de la multiplication des anneaux. Soient \(r\) et \(s\) dans \(R\text{.}\) Alors
L’application \(\phi : R \rightarrow R/I\) est souvent appelée l’homomorphisme naturel ou canonique. En théorie des anneaux, on dispose de théorèmes d’isomorphisme reliant les idéaux et les homomorphismes d’anneaux, analogues aux théorèmes d’isomorphisme pour les groupes qui relient les sous-groupes normaux et les homomorphismes dans le Chapitre 11. Dans ce chapitre, nous ne démontrerons que le Premier théorème d’isomorphisme pour les anneaux et laisserons les démonstrations des deux autres théorèmes en exercice. Toutes les démonstrations sont analogues à celles des théorèmes d’isomorphisme pour les groupes.
Soit \(\psi : R \rightarrow S\) un homomorphisme d’anneaux. Alors \(\ker \psi\) est un idéal de \(R\text{.}\) Si \(\phi : R \rightarrow R/\ker \psi\) est l’homomorphisme canonique, alors il existe un unique isomorphisme \(\eta: R/\ker \psi \rightarrow \psi(R)\) tel que \(\psi = \eta \phi\text{.}\)
Posons \(K = \ker \psi\text{.}\) D’après le Premier théorème d’isomorphisme pour les groupes, il existe un homomorphisme de groupes bien défini \(\eta: R/K \rightarrow \psi(R)\) défini par \(\eta(r + K) = \psi(r)\) pour les groupes abéliens additifs \(R\) et \(R/K\text{.}\) Pour montrer que c’est un homomorphisme d’anneaux, il suffit de montrer que \(\eta( (r + K)(s + K) ) = \eta(r + K) \eta( s + K)\) ; or
\begin{align*}
\eta( (r + K)( s +K )) & = \eta(r s +K )\\
& = \psi(r s)\\
& = \psi(r) \psi(s)\\
& = \eta( r + K ) \eta( s + K )\text{.}
\end{align*}
Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(R\text{.}\) Alors \(S \mapsto S/I\) est une bijection entre l’ensemble des sous-anneaux \(S\) contenant \(I\) et l’ensemble des sous-anneaux de \(R/I\text{.}\) De plus, les idéaux de \(R\) contenant \(I\) correspondent aux idéaux de \(R/I\text{.}\)
