Les entiers mod \(n\) et les symétries d’un triangle ou d’un rectangle sont des exemples de groupes. Une opération binaire ou loi de composition sur un ensemble \(G\) est une fonction \(G \times G \rightarrow G\) qui associe à chaque paire \((a,b) \in G \times G\) un élément unique \(a \circ b\text{,}\) ou \(ab\) dans \(G\text{,}\) appelé la composée de \(a\) et \(b\text{.}\) Un groupe \((G, \circ )\) est un ensemble \(G\) muni d’une loi de composition \((a,b) \mapsto a \circ b\) qui satisfait les axiomes suivants.
La loi de composition est associative. C’est-à-dire,
\begin{equation*}
(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
\end{equation*}
Un groupe \(G\) ayant la propriété que \(a \circ b = b \circ a\) pour tous \(a, b \in G\) est dit abélien ou commutatif. Les groupes ne satisfaisant pas cette propriété sont dits non abéliens ou non commutatifs.
Les entiers \({\mathbb Z } = \{ \ldots , -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) forment un groupe pour l’opération d’addition. L’opération binaire sur deux entiers \(m,
n \in {\mathbb Z}\) est simplement leur somme. Puisque les entiers munis de l’addition ont déjà une notation bien établie, nous utiliserons l’opérateur \(+\) au lieu de \(\circ\) ; c’est-à-dire que nous écrirons \(m + n\) au lieu de \(m \circ n\text{.}\) L’élément neutre est \(0\text{,}\) et l’inverse de \(n \in {\mathbb Z}\) est noté \(-n\) au lieu de \(n^{-1}\text{.}\) Remarquez que l’ensemble des entiers munis de l’addition possède la propriété supplémentaire que \(m + n = n + m\) et forme donc un groupe abélien.
La plupart du temps, nous écrirons \(ab\) au lieu de \(a \circ b\) ; cependant, si le groupe possède déjà une opération naturelle telle que l’addition dans les entiers, nous utiliserons cette opération. C’est-à-dire que si nous additionnons deux entiers, nous écrivons toujours \(m + n\text{,}\)\(-n\) pour l’inverse et 0 pour l’élément neutre comme d’habitude. Nous écrivons aussi \(m - n\) au lieu de \(m + (-n)\text{.}\)
Les entiers mod \(n\) forment un groupe pour l’addition modulo \(n\text{.}\) Considérons \({\mathbb Z}_5\text{,}\) constitué des classes d’équivalence des entiers \(0\text{,}\)\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\) et \(4\text{.}\) Nous définissons l’opération de groupe sur \({\mathbb Z}_5\) par l’addition modulaire. Nous écrivons l’opération binaire sur le groupe de façon additive ; c’est-à-dire que nous écrivons \(m + n\text{.}\) L’élément 0 est l’élément neutre du groupe et chaque élément de \({\mathbb Z}_5\) a un inverse. Par exemple, \(2 + 3 = 3 + 2 = 0\text{.}\) La Figure 3.2.3 est une table de Cayley pour \({\mathbb Z}_5\text{.}\) D’après la Proposition 3.1.4, \({\mathbb Z}_n = \{0, 1, \ldots,
n-1 \}\) est un groupe pour l’opération binaire d’addition mod \(n\text{.}\)
Tout ensemble muni d’une opération binaire n’est pas un groupe. Par exemple, si l’on prend la multiplication modulaire comme opération binaire sur \({\mathbb Z}_n\text{,}\) alors \({\mathbb Z}_n\) n’est pas un groupe. L’élément 1 joue le rôle d’élément neutre puisque \(1 \cdot k = k \cdot 1 = k\) pour tout \(k \in {\mathbb Z}_n\) ; cependant, un inverse multiplicatif pour \(0\) n’existe pas puisque \(0 \cdot k = k \cdot 0 = 0\) pour tout \(k\) dans \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Même si l’on considère l’ensemble \({\mathbb Z}_n \setminus \{0 \}\text{,}\) on n’obtient pas nécessairement un groupe. Par exemple, soit \(2 \in {\mathbb Z}_6\text{.}\) Alors 2 n’a pas d’inverse multiplicatif puisque
D’après la Proposition 3.1.4, tout \(k\) non nul possède un inverse dans \({\mathbb Z}_n\) si \(k\) est premier avec \(n\text{.}\) Notons l’ensemble de tous ces éléments non nuls de \({\mathbb Z}_n\) par \(U(n)\text{.}\) Alors \(U(n)\) est un groupe appelé le groupe des unités de \({\mathbb Z}_n\text{.}\) La Figure 3.2.5 est une table de Cayley pour le groupe \(U(8)\text{.}\)
Les symétries d’un triangle équilatéral décrites dans la Section 3.1 forment un groupe non abélien. Comme nous l’avons observé, il n’est pas nécessairement vrai que \(\alpha \beta = \beta \alpha\) pour deux symétries \(\alpha\) et \(\beta\text{.}\) En utilisant la Figure 3.1.7, qui est une table de Cayley pour ce groupe, on peut facilement vérifier que les symétries d’un triangle équilatéral forment bien un groupe. Nous noterons ce groupe \(S_3\) ou \(D_3\text{,}\) pour des raisons qui seront expliquées plus tard.
Nous utilisons \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) pour désigner l’ensemble de toutes les matrices \(2 \times 2\text{.}\) Soit \(GL_2({\mathbb R})\) le sous-ensemble de \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) constitué des matrices inversibles ; c’est-à-dire qu’une matrice
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
est dans \(GL_2( {\mathbb R})\) s’il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) où \(I\) est la matrice identité \(2 \times 2\text{.}\) Pour que \(A\) soit inversible, il faut et il suffit que le déterminant de \(A\) soit non nul ; c’est-à-dire \(\det A = ad - bc \neq 0\text{.}\) L’ensemble des matrices inversibles forme un groupe appelé le groupe linéaire général. L’élément neutre du groupe est la matrice identité
\begin{equation*}
A^{-1} =
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Le produit de deux matrices inversibles est encore inversible. La multiplication matricielle est associative, satisfaisant ainsi l’autre axiome de groupe. Pour les matrices, il n’est pas vrai en général que \(AB = BA\) ; donc \(GL_2({\mathbb R})\) est un autre exemple de groupe non abélien.
où \(i^2 = -1\text{.}\) Alors les relations \(I^2 = J^2 = K^2 = -1\text{,}\)\(IJ=K\text{,}\)\(JK = I\text{,}\)\(KI = J\text{,}\)\(JI = -K\text{,}\)\(KJ = -I\) et \(IK = -J\) sont satisfaites. L’ensemble \(Q_8 = \{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K \}\) est un groupe appelé le groupe des quaternions. Remarquez que \(Q_8\) est non commutatif.
Soit \({\mathbb C}^\ast\) l’ensemble des nombres complexes non nuls. Pour l’opération de multiplication, \({\mathbb C}^\ast\) forme un groupe. L’élément neutre est \(1\text{.}\) Si \(z = a+bi\) est un nombre complexe non nul, alors
Un groupe est fini, ou est d’ordre fini, s’il contient un nombre fini d’éléments ; sinon, le groupe est dit infini ou d’ordre infini. L’ordre d’un groupe fini est le nombre d’éléments qu’il contient. Si \(G\) est un groupe contenant \(n\) éléments, on écrit \(|G| = n\text{.}\) Le groupe \({\mathbb Z}_5\) est un groupe fini d’ordre \(5\) ; les entiers \({\mathbb Z}\) forment un groupe infini pour l’addition, et on écrit parfois \(|{\mathbb Z}| = \infty\text{.}\)
Sous-section3.2.1Propriétés fondamentales des groupes
Proposition3.2.10.
L’élément neutre d’un groupe \(G\) est unique ; c’est-à-dire qu’il existe un seul élément \(e \in G\) tel que \(eg = ge = g\) pour tout \(g \in G\text{.}\)
Supposons que \(e\) et \(e'\) soient tous les deux des éléments neutres de \(G\text{.}\) Alors \(eg = ge = g\) et \(e'g = ge' = g\) pour tout \(g \in G\text{.}\) Nous devons montrer que \(e = e'\text{.}\) Si nous pensons à \(e\) comme à l’élément neutre, alors \(ee' = e'\) ; mais si \(e'\) est l’élément neutre, alors \(ee' = e\text{.}\) En combinant ces deux équations, nous obtenons \(e = ee' = e'\text{.}\)
Les inverses dans un groupe sont aussi uniques. Si \(g'\) et \(g''\) sont tous les deux des inverses d’un élément \(g\) dans un groupe \(G\text{,}\) alors \(gg' = g'g = e\) et \(gg'' = g''g = e\text{.}\) Nous voulons montrer que \(g' = g''\text{,}\) or \(g' = g'e = g'(gg'') = (g'g)g'' = eg'' = g''\text{.}\) Nous réssumons ce fait dans la proposition suivante.
Soient \(a, b \in G\text{.}\) Alors \(abb^{-1}a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e\text{.}\) De même, \(b^{-1}a^{-1}ab = e\text{.}\) Mais d’après la proposition précédente, les inverses sont uniques ; donc \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
Il est naturel d’écrire des équations avec des éléments et des opérations de groupe. Si \(a\) et \(b\) sont deux éléments d’un groupe \(G\text{,}\) existe-t-il un élément \(x \in G\) tel que \(ax = b\) ? Si un tel \(x\) existe, est-il unique ? La proposition suivante répond positivement à ces deux questions.
Soit \(G\) un groupe et \(a\) et \(b\) deux éléments quelconques de \(G\text{.}\) Alors les équations \(ax = b\) et \(xa = b\) ont des solutions uniques dans \(G\text{.}\)
Supposons que \(ax = b\text{.}\) Nous devons montrer qu’un tel \(x\) existe. Nous pouvons multiplier les deux membres de \(ax = b\) par \(a^{-1}\) pour trouver \(x = ex = a^{-1}ax = a^{-1}b\text{.}\)
Pour montrer l’unicité, supposons que \(x_1\) et \(x_2\) soient tous les deux des solutions de \(ax = b\) ; alors \(ax_1 = b = ax_2\text{.}\) Donc \(x_1 = a^{-1}ax_1 = a^{-1}ax_2 = x_2\text{.}\) La preuve de l’existence et de l’unicité de la solution de \(xa = b\) est similaire.
Nous pouvons utiliser la notation exponentielle pour les groupes comme en algèbre ordinaire. Si \(G\) est un groupe et \(g \in G\text{,}\) nous définissons \(g^0 = e\text{.}\) Pour \(n \in {\mathbb N}\text{,}\) nous définissons
Nous laissons la preuve de ce théorème en exercice. Remarquez que \((gh)^n \neq g^nh^n\) en général, puisque le groupe peut ne pas être abélien. Si le groupe est \({\mathbb Z}\) ou \({\mathbb Z}_n\text{,}\) nous écrivons l’opération de groupe de façon additive et l’opération exponentielle de façon multiplicative ; c’est-à-dire que nous écrivons \(ng\) au lieu de \(g^n\text{.}\) Les lois des exposants deviennent alors
\(mg + ng = (m+n)g\) pour tous \(m, n \in {\mathbb Z}\) ;
Bien que la première définition axiomatique claire d’un groupe n’ait été donnée qu’à la fin des années 1800, des méthodes relevant de la théorie des groupes avaient déjà été utilisées avant cette époque dans le développement de nombreux domaines des mathématiques, notamment la géométrie et la théorie des équations algébriques.
Joseph-Louis Lagrange utilisa des méthodes de la théorie des groupes dans un mémoire de 1770–1771 pour étudier les méthodes de résolution des équations polynomiales. Plus tard, Évariste Galois (1811–1832) réussit à développer les mathématiques nécessaires pour déterminer exactement quelles équations polynomiales pouvaient être résolues en termes des coefficients du polynôme. L’outil principal de Galois était la théorie des groupes.
L’étude de la géométrie fut révolutionnée en 1872 lorsque Felix Klein proposa que les espaces géométriques devaient être étudiés en examinant les propriétés invariantes sous une transformation de l’espace. Sophus Lie, contemporain de Klein, utilisa la théorie des groupes pour étudier les solutions des équations aux dérivées partielles. L’un des premiers traitements modernes de la théorie des groupes parut dans l’ouvrage de William Burnside The Theory of Groups of Finite Order [1], publié pour la première fois en 1897.
