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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 14.1 Groupes agissant sur des ensembles

Soit \(X\) un ensemble et \(G\) un groupe. Une action (à gauche) de \(G\) sur \(X\) est une application \(G \times X \rightarrow X\) donnée par \((g,x) \mapsto gx\text{,}\) où
  1. \(ex = x\) pour tout \(x \in X\) ;
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  2. \((g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)\) pour tout \(x \in X\) et tout \(g_1, g_2 \in G\text{.}\)
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Dans ces conditions, \(X\) est appelé un \(G\)-ensemble. Remarquons que nous n’exigeons pas que \(X\) soit lié à \(G\) de quelque façon que ce soit. Il est vrai que tout groupe \(G\) agit sur tout ensemble \(X\) par l’action triviale \((g,x) \mapsto x\) ; cependant, les actions de groupes sont plus intéressantes si l’ensemble \(X\) est d’une certaine façon lié au groupe \(G\text{.}\)
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Exemple 14.1.1.

Soit \(G = GL_2( {\mathbb R} )\) et \(X = {\mathbb R}^2\text{.}\) Alors \(G\) agit sur \(X\) par multiplication à gauche. Si \(v \in {\mathbb R}^2\) et \(I\) est la matrice identité, alors \(Iv = v\text{.}\) Si \(A\) et \(B\) sont des matrices inversibles \(2 \times 2\text{,}\) alors \((AB)v = A(Bv)\) puisque la multiplication matricielle est associative.
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Exemple 14.1.2.

Soit \(G = D_4\) le groupe de symétrie d’un carré. Si \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\) est l’ensemble des sommets du carré, alors nous pouvons considérer que \(D_4\) est constitué des permutations suivantes :
\begin{equation*} \{ (1), (1 \, 3), (2 \, 4), (1 \, 4 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 4) \}\text{.} \end{equation*}
Les éléments de \(D_4\) agissent sur \(X\) comme des fonctions. La permutation \((1 \, 3)(2 \, 4)\) agit sur le sommet \(1\) en l’envoyant vers le sommet \(3\text{,}\) sur le sommet \(2\) en l’envoyant vers le sommet \(4\text{,}\) et ainsi de suite. Il est facile de vérifier que les axiomes d’une action de groupe sont satisfaits.
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En général, si \(X\) est un ensemble quelconque et \(G\) est un sous-groupe de \(S_X\text{,}\) le groupe de toutes les permutations agissant sur \(X\text{,}\) alors \(X\) est un \(G\)-ensemble sous l’action de groupe
\begin{equation*} (\sigma, x) \mapsto \sigma(x) \end{equation*}
pour \(\sigma \in G\) et \(x \in X\text{.}\)
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Exemple 14.1.3.

Si nous posons \(X = G\text{,}\) alors tout groupe \(G\) agit sur lui-même par la représentation régulière gauche ; c’est-à-dire que \((g,x) \mapsto \lambda_g(x) = gx\text{,}\) où \(\lambda_g\) est la multiplication à gauche :
\begin{gather*} e \cdot x = \lambda_e x = ex = x\\ (gh) \cdot x = \lambda_{gh}x = \lambda_g \lambda_h x = \lambda_g(hx) = g \cdot ( h \cdot x)\text{.} \end{gather*}
Si \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{,}\) alors \(G\) est un \(H\)-ensemble sous la multiplication à gauche par les éléments de \(H\text{.}\)
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Exemple 14.1.4.

Soit \(G\) un groupe et supposons que \(X=G\text{.}\) Si \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{,}\) alors \(G\) est un \(H\)-ensemble sous la conjugaison ; c’est-à-dire que nous pouvons définir une action de \(H\) sur \(G\text{,}\)
\begin{equation*} H \times G \rightarrow G\text{,} \end{equation*}
via
\begin{equation*} (h,g) \mapsto hgh^{-1} \end{equation*}
pour \(h \in H\) et \(g \in G\text{.}\) Il est clair que le premier axiome d’une action de groupe est satisfait. En observant que
\begin{align*} (h_1 h_2, g) & = h_1 h_2 g (h_1 h_2 )^{-1}\\ & = h_1( h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}\\ & = (h_1, (h_2, g) )\text{,} \end{align*}
nous constatons que la deuxième condition est également satisfaite.
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Exemple 14.1.5.

Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\) et \({\mathcal L}_H\) l’ensemble des classes latérales gauches de \(H\text{.}\) L’ensemble \({\mathcal L}_H\) est un \(G\)-ensemble sous l’action
\begin{equation*} (g, xH) \mapsto gxH\text{.} \end{equation*}
Là encore, il est facile de voir que le premier axiome est vrai. Puisque \((g g')xH = g( g'x H)\text{,}\) le second axiome est également vrai.
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Si \(G\) agit sur un ensemble \(X\) et que \(x, y \in X\text{,}\) alors on dit que \(x\) est \(G\)-équivalent à \(y\) s’il existe un \(g \in G\) tel que \(gx =y\text{.}\) Nous écrivons \(x \sim_G y\) ou \(x \sim y\) si deux éléments sont \(G\)-équivalents.
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Démonstration.

La relation \(\sim\) est réflexive puisque \(ex = x\text{.}\) Supposons que \(x \sim y\) pour \(x, y \in X\text{.}\) Il existe alors un \(g\) tel que \(gx = y\text{.}\) Dans ce cas \(g^{-1}y=x\) ; donc \(y \sim x\text{.}\) Pour montrer que la relation est transitive, supposons que \(x \sim y\) et \(y \sim z\text{.}\) Il doit alors exister des éléments du groupe \(g\) et \(h\) tels que \(gx = y\) et \(hy= z\text{.}\) Donc \(z = hy = (hg)x\text{,}\) et \(x\) est équivalent à \(z\text{.}\)
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Si \(X\) est un \(G\)-ensemble, alors chaque partition de \(X\) associée à la \(G\)-équivalence est appelée une orbite de \(X\) sous \(G\text{.}\) Nous noterons l’orbite contenant un élément \(x\) de \(X\) par \({\mathcal O}_x\text{.}\)
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Exemple 14.1.7.

Soit \(G\) le groupe de permutations défini par
\begin{equation*} G =\{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (4 \, 5), (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5), (1 \, 3 \, 2)(4 \, 5) \} \end{equation*}
et \(X = \{ 1, 2, 3, 4, 5\}\text{.}\) Alors \(X\) est un \(G\)-ensemble. Les orbites sont \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 =\{1, 2, 3\}\) et \({\mathcal O}_4 = {\mathcal O}_5 = \{4, 5\}\text{.}\)
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Supposons maintenant que \(G\) est un groupe agissant sur un ensemble \(X\) et soit \(g\) un élément de \(G\text{.}\) L’ensemble des points fixes de \(g\) dans \(X\text{,}\) noté \(X_g\text{,}\) est l’ensemble de tous les \(x \in X\) tels que \(gx = x\text{.}\) Nous pouvons également étudier les éléments du groupe \(g\) qui fixent un \(x \in X\) donné. Cet ensemble est plus qu’un sous-ensemble de \(G\text{,}\) c’est un sous-groupe. Ce sous-groupe est appelé le sous-groupe stabilisateur ou sous-groupe d’isotropie de \(x\text{.}\) Nous noterons le sous-groupe stabilisateur de \(x\) par \(G_x\text{.}\)
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Remarque 14.1.8.

Il est important de rappeler que \(X_g \subset X\) et \(G_x \subset G\text{.}\)
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Exemple 14.1.9.

Soit \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et supposons que \(G\) est le groupe de permutations donné par les permutations
\begin{equation*} \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5 \, 6), (3 \, 5)(4 \, 6), (1 \, 2)( 3 \, 6 \, 5 \, 4) \}\text{.} \end{equation*}
Alors les ensembles de points fixes de \(X\) sous l’action de \(G\) sont
\begin{gather*} X_{(1)} = X,\\ X_{(3 \, 5)(4 \, 6)} = \{1,2\},\\ X_{(1 \, 2)(3 \, 4 \, 5 \, 6)} = X_{(1 \, 2)(3 \, 6 \,5 \, 4)} = \emptyset\text{,} \end{gather*}
et les sous-groupes stabilisateurs sont
\begin{gather*} G_1 = G_2 = \{(1), (3 \, 5)(4 \, 6) \},\\ G_3 = G_4 = G_5 = G_6 = \{(1)\}\text{.} \end{gather*}
Il est facile de vérifier que \(G_x\) est un sous-groupe de \(G\) pour chaque \(x \in X\text{.}\)
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Démonstration.

Il est clair que \(e \in G_x\) puisque l’élément neutre fixe tout élément de l’ensemble \(X\text{.}\) Soient \(g, h \in G_x\text{.}\) Alors \(gx = x\) et \(hx = x\text{.}\) Donc \((gh)x = g(hx) = gx = x\) ; ainsi, le produit de deux éléments de \(G_x\) est aussi dans \(G_x\text{.}\) Enfin, si \(g \in G_x\text{,}\) alors \(x = ex = (g^{-1}g)x = (g^{-1})gx = g^{-1} x\text{.}\) Donc \(g^{-1}\) est dans \(G_x\text{.}\)
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Nous noterons le nombre d’éléments dans l’ensemble des points fixes d’un élément \(g \in G\) par \(|X_g|\) et le nombre d’éléments dans l’orbite de \(x \in X\) par \(|{\mathcal O}_x|\text{.}\) Le théorème suivant montre la relation entre les orbites d’un élément \(x \in X\) et les classes latérales gauches de \(G_x\) dans \(G\text{.}\)
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Démonstration.

Nous savons que \(|G|/|G_x|\) est le nombre de classes latérales gauches de \(G_x\) dans \(G\) par le théorème de Lagrange (Théorème 6.2.2). Nous allons définir une application bijective \(\phi\) entre l’orbite \({\mathcal O}_x\) de \(X\) et l’ensemble des classes latérales gauches \({\mathcal L}_{G_x}\) de \(G_x\) dans \(G\text{.}\) Soit \(y \in {\mathcal O}_x\text{.}\) Il existe alors un \(g\) dans \(G\) tel que \(g x = y\text{.}\) Définissons \(\phi\) par \(\phi( y ) = g G_x\text{.}\) Pour montrer que \(\phi\) est injective, supposons que \(\phi(y_1) = \phi(y_2)\text{.}\) Alors
\begin{equation*} \phi(y_1) = g_1 G_x = g_2 G_x = \phi(y_2)\text{,} \end{equation*}
où \(g_1 x = y_1\) et \(g_2 x = y_2\text{.}\) Puisque \(g_1 G_x = g_2 G_x\text{,}\) il existe un \(g \in G_x\) tel que \(g_2 = g_1 g\text{,}\)
\begin{equation*} y_2 = g_2 x = g_1 g x = g_1 x = y_1 ; \end{equation*}
par conséquent, l’application \(\phi\) est injective. Enfin, nous devons montrer que l’application \(\phi\) est surjective. Soit \(g G_x\) une classe latérale gauche. Si \(g x = y\text{,}\) alors \(\phi(y) = g G_x\text{.}\)
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