Soit \(F\) un corps et \(p(x)\) un polynôme non constant de \(F[x]\text{.}\) Nous savons déjà que nous pouvons trouver un corps d’extension de \(F\) contenant une racine de \(p(x)\text{.}\) Cependant, nous aimerions savoir s’il existe une extension \(E\) de \(F\) contenant toutes les racines de \(p(x)\text{.}\) Autrement dit, peut-on trouver un corps d’extension de \(F\) tel que \(p(x)\) se factorise en un produit de polynômes linéaires ? Quelle est la « plus petite » extension contenant toutes les racines de \(p(x)\) ?
Soit \(F\) un corps et \(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) un polynôme non constant de \(F[x]\text{.}\) Un corps d’extension \(E\) de \(F\) est un corps de décomposition de \(p(x)\) s’il existe des éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dans \(E\) tels que \(E = F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) et
Soit \(p(x) = x^4 + 2x^2 - 8\) dans \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Alors \(p(x)\) a pour facteurs irréductibles \(x^2 -2\) et \(x^2 + 4\text{.}\) Donc le corps \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i )\) est un corps de décomposition de \(p(x)\text{.}\)
Soit \(p(x) = x^3 - 3\) dans \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Alors \(p(x)\) a une racine dans le corps \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\) Cependant, ce corps n’est pas un corps de décomposition de \(p(x)\) car les racines cubiques complexes de 3,
\begin{equation*}
\frac{ -\sqrt[3]{3} \pm (\sqrt[6]{3}\, )^5 i }{2}\text{,}
\end{equation*}
ne sont pas dans \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\)
Nous utiliserons la récurrence sur le degré de \(p(x)\text{.}\) Si \(\deg p(x) = 1\text{,}\) alors \(p(x)\) est un polynôme linéaire et \(E = F\text{.}\) Supposons que le théorème est vrai pour tous les polynômes de degré \(k\) avec \(1 \leq k \lt n\) et soit \(\deg p(x) = n\text{.}\) On peut supposer que \(p(x)\) est irréductible ; sinon, par notre hypothèse de récurrence, nous avons terminé. Par le Théorème 21.1.5, il existe un corps \(K\) tel que \(p(x)\) ait un zéro \(\alpha_1\) dans \(K\text{.}\) Donc \(p(x) = (x - \alpha_1)q(x)\text{,}\) où \(q(x) \in K[x]\text{.}\) Puisque \(\deg q(x) = n -1\text{,}\) il existe un corps de décomposition \(E \supset K\) de \(q(x)\) contenant les zéros \(\alpha_2, \ldots, \alpha_n\) de \(p(x)\) par notre hypothèse de récurrence. Par conséquent,
La question de l’unicité se pose maintenant pour les corps de décomposition. La réponse est affirmative. Étant donné deux corps de décomposition \(K\) et \(L\) d’un polynôme \(p(x) \in F[x]\text{,}\) il existe un isomorphisme de corps \(\phi : K \rightarrow L\) qui préserve \(F\text{.}\) Pour prouver ce résultat, nous devons d’abord prouver un lemme.
Soit \(\phi : E \rightarrow F\) un isomorphisme de corps. Soit \(K\) un corps d’extension de \(E\) et \(\alpha \in K\) algébrique sur \(E\) avec polynôme minimal \(p(x)\text{.}\) Supposons que \(L\) est un corps d’extension de \(F\) tel que \(\beta\) est une racine du polynôme de \(F[x]\) obtenu à partir de \(p(x)\) par l’image de \(\phi\text{.}\) Alors \(\phi\) se prolonge en un unique isomorphisme \(\overline{\phi} : E( \alpha ) \rightarrow F( \beta )\) tel que \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) et \(\overline{\phi}\) coïncide avec \(\phi\) sur \(E\text{.}\)
Si \(p(x)\) est de degré \(n\text{,}\) alors par le Théorème 21.1.13 on peut écrire tout élément de \(E( \alpha )\) comme une combinaison linéaire de \(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}\text{.}\) Donc l’isomorphisme que nous cherchons doit être
est un élément de \(E(\alpha)\text{.}\) Le fait que \(\overline{\phi}\) soit un isomorphisme pourrait se vérifier par calcul direct ; cependant, il est plus simple d’observer que \(\overline{\phi}\) est une composition d’applications que nous savons déjà être des isomorphismes.
Cette extension coïncide avec l’isomorphisme initial \(\phi : E \rightarrow F\text{,}\) puisque les polynômes constants sont envoyés sur des polynômes constants. Par hypothèse, \(\phi(p(x)) = q(x)\) ; donc \(\phi\) envoie \(\langle p(x) \rangle\) sur \(\langle q(x) \rangle\text{.}\) Par conséquent, nous avons un isomorphisme \(\psi : E[x] / \langle p(x) \rangle \rightarrow F[x]/\langle q(x) \rangle\text{.}\) Par la Proposition 21.1.12, nous avons des isomorphismes \(\sigma: E[x]/\langle p(x) \rangle \rightarrow E(\alpha)\) et \(\tau : F[x]/\langle q(x) \rangle \rightarrow F( \beta )\text{,}\) définis par évaluation en \(\alpha\) et \(\beta\text{,}\) respectivement. Donc \(\overline{\phi} = \tau \psi \sigma^{-1}\) est l’isomorphisme cherché (voir la Figure 21.2.5).
Soit \(\phi : E \rightarrow F\) un isomorphisme de corps et soit \(p(x)\) un polynôme non constant de \(E[x]\) et \(q(x)\) le polynôme correspondant de \(F[x]\) par l’isomorphisme. Si \(K\) est un corps de décomposition de \(p(x)\) et \(L\) est un corps de décomposition de \(q(x)\text{,}\) alors \(\phi\) se prolonge en un isomorphisme \(\psi : K \rightarrow L\text{.}\)
Nous utiliserons la récurrence sur le degré de \(p(x)\text{.}\) On peut supposer que \(p(x)\) est irréductible sur \(E\text{.}\) Donc \(q(x)\) est aussi irréductible sur \(F\text{.}\) Si \(\deg p(x) = 1\text{,}\) alors par définition d’un corps de décomposition, \(K = E\) et \(L = F\) et il n’y a rien à prouver.
Supposons que le théorème est vrai pour tous les polynômes de degré inférieur à \(n\text{.}\) Puisque \(K\) est un corps de décomposition de \(p(x)\text{,}\) toutes les racines de \(p(x)\) sont dans \(K\text{.}\) Choisissons l’une de ces racines, disons \(\alpha\text{,}\) telle que \(E \subset E( \alpha ) \subset K\text{.}\) De même, nous pouvons trouver une racine \(\beta\) de \(q(x)\) dans \(L\) telle que \(F \subset F( \beta) \subset L\text{.}\) Par le Lemme 21.2.4, il existe un isomorphisme \(\overline{\phi} : E(\alpha ) \rightarrow F( \beta)\) tel que \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) et \(\overline{\phi}\) coïncide avec \(\phi\) sur \(E\) (voir la Figure 21.2.7).
\begin{equation*}
\begin{CD}
K @>\psi>> L \\
@VV{\sigma}V @VV{\tau}V\\
E(\alpha) @>\overline{\phi}>> F(\beta) \\
@VVV @VVV\\
E @>\phi>> F
\end{CD}
\end{equation*}
Écrivons maintenant \(p(x) = (x - \alpha ) f(x)\) et \(q(x) = ( x - \beta) g(x)\text{,}\) où les degrés de \(f(x)\) et \(g(x)\) sont inférieurs aux degrés de \(p(x)\) et \(q(x)\text{,}\) respectivement. Le corps d’extension \(K\) est un corps de décomposition de \(f(x)\) sur \(E( \alpha)\text{,}\) et \(L\) est un corps de décomposition de \(g(x)\) sur \(F( \beta )\text{.}\) Par notre hypothèse de récurrence il existe un isomorphisme \(\psi : K \rightarrow L\) tel que \(\psi\) coïncide avec \(\overline{\phi}\) sur \(E( \alpha)\text{.}\) Donc il existe un isomorphisme \(\psi : K \rightarrow L\) tel que \(\psi\) coïncide avec \(\phi\) sur \(E\text{.}\)
