Calculez chacun des groupes de Galois suivants. Lesquelles de ces extensions de corps sont des extensions normales ? Si l’extension n’est pas normale, trouvez une extension normale de \({\mathbb Q}\) contenant le corps d’extension.
alors \(G(\gf(729)/ \gf(9)) \cong {\mathbb Z}_3\text{.}\) Un générateur de \(G(\gf(729)/ \gf(9))\) est \(\sigma\text{,}\) où \(\sigma_{3^6}( \alpha) = \alpha^{3^6} = \alpha^{729}\) pour \(\alpha \in \gf(729)\text{.}\)
Déterminez le groupe de Galois de chacun des polynômes suivants dans \({\mathbb Q}[x]\) ; déterminez ensuite la résolubilité par radicaux de chacun de ces polynômes.
Soit \(E\) le corps de décomposition d’un polynôme cubique dans \(F[x]\text{.}\) Montrez que \([E:F]\) est inférieur ou égal à \(6\) et est divisible par \(3\text{.}\) Puisque \(G(E/F)\) est un sous-groupe de \(S_3\) dont l’ordre est divisible par \(3\text{,}\) concluez que ce groupe doit être isomorphe à \({\mathbb Z}_3\) ou à \(S_3\text{.}\)
Soient \(F \subset K \subset E\) des corps. Si \(E\) est une extension normale de \(F\text{,}\) montrez que \(E\) doit aussi être une extension normale de \(K\text{.}\)
Soit \(p\) premier. Montrez qu’il existe un polynôme \(f(x) \in{\mathbb Q}[x]\) de degré \(p\) dont le groupe de Galois est isomorphe à \(S_p\text{.}\) Concluez que pour chaque nombre premier \(p\) avec \(p \geq 5\) il existe un polynôme de degré \(p\) qui n’est pas résoluble par radicaux.
Soit \(p\) un nombre premier et \({\mathbb Z}_p(t)\) le corps des fractions rationnelles sur \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Montrez que \(f(x) = x^p - t\) est un polynôme irréductible dans \({\mathbb Z}_p(t)[x]\text{.}\) Montrez que \(f(x)\) n’est pas séparable.
Soit \(E\) une extension de corps de \(F\text{.}\) Supposons que \(K\) et \(L\) soient deux corps intermédiaires. S’il existe un élément \(\sigma \in G(E/F)\) tel que \(\sigma(K) = L\text{,}\) alors \(K\) et \(L\) sont dits corps conjugués. Montrez que \(K\) et \(L\) sont conjugués si et seulement si \(G(E/K)\) et \(G(E/L)\) sont des sous-groupes conjugués de \(G(E/F)\text{.}\)
Soit \(F\) un corps tel que \(\chr(F) \neq 2\text{.}\) Montrez que le corps de décomposition de \(f(x) = a x^2 + b x + c\) est \(F( \sqrt{\alpha}\, )\text{,}\) où \(\alpha = b^2 - 4ac\text{.}\)
Soit \(K\) le corps de décomposition d’un polynôme sur \(F\text{.}\) Si \(E\) est une extension de corps de \(F\) contenue dans \(K\) et \([E:F] = 2\text{,}\) alors \(E\) est le corps de décomposition d’un certain polynôme de \(F[x]\text{.}\)
est irréductible sur \({\mathbb Q}\) pour tout nombre premier \(p\text{.}\) Soit \(\omega\) un zéro de \(\Phi_p(x)\text{,}\) et considérons le corps \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\)
Montrez que \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1}\) sont des zéros distincts de \(\Phi_p(x)\text{,}\) et concluez qu’ils en sont tous les zéros.
Clairement \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) sont distincts puisque \(\omega \neq 1\) ou 0. Pour montrer que \(\omega^i\) est un zéro de \(\Phi_p\text{,}\) calculez \(\Phi_p( \omega^i)\text{.}\)
Les conjugués de \(\omega\) sont \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\text{.}\) Définissez une application \(\phi_i: {\mathbb Q}(\omega) \rightarrow {\mathbb Q}(\omega^i)\) par
où \(a_i \in {\mathbb Q}\text{.}\) Montrez que \(\phi_i\) est un isomorphisme de corps. Montrez que \(\phi_2\) engendre \(G({\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q})\text{.}\)
Montrez que \(\{ \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1} \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \omega )\) sur \({\mathbb Q}\text{,}\) et examinez quelles combinaisons linéaires de \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) sont laissées fixes par tous les éléments de \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q})\text{.}\)
Soit \(F\) un corps fini ou un corps de caractéristique zéro. Soit \(E\) une extension normale finie de \(F\) de groupe de Galois \(G(E/F)\text{.}\) Montrez que \(F \subset K \subset L \subset E\) si et seulement si \(\{ \identity \} \subset G(E/L) \subset G(E/K) \subset G(E/F)\text{.}\)
Soit \(F\) un corps de caractéristique zéro et soit \(f(x) \in F[x]\) un polynôme séparable de degré \(n\text{.}\) Si \(E\) est le corps de décomposition de \(f(x)\text{,}\) soient \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) les racines de \(f(x)\) dans \(E\text{.}\) Posons \(\Delta = \prod_{i \lt j} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}\) Nous définissons le discriminant de \(f(x)\) comme étant \(\Delta^2\text{.}\)
Si \(f(x) = x^2 + b x + c\text{,}\) montrez que \(\Delta^2 = b^2 - 4c\text{.}\)
