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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 18.2 Factorisation dans les domaines intègres

Les briques élémentaires des entiers sont les nombres premiers. Si \(F\) est un corps, alors les polynômes irréductibles dans \(F[x]\) jouent un rôle très similaire à celui des nombres premiers dans l’anneau des entiers. Étant donné un domaine intègre arbitraire, nous sommes amenés à la série de définitions suivante.
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Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité, et soient \(a\) et \(b\) des éléments de \(R\text{.}\) On dit que \(a\) divise \(b\text{,}\) et on écrit \(a \mid b\text{,}\) s’il existe un élément \(c \in R\) tel que \(b = ac\text{.}\) Un inversible dans \(R\) est un élément qui possède un inverse pour la multiplication. Deux éléments \(a\) et \(b\) dans \(R\) sont dits associés s’il existe un inversible \(u\) dans \(R\) tel que \(a = ub\text{.}\)
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Soit \(D\) un domaine intègre. Un élément non nul \(p \in D\) qui n’est pas inversible est dit irréductible si chaque fois que \(p = ab\text{,}\) soit \(a\) soit \(b\) est inversible. De plus, \(p\) est premier si chaque fois que \(p \mid ab\text{,}\) soit \(p \mid a\) soit \(p \mid b\text{.}\)
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Exemple 18.2.1.

Il est important de remarquer que les éléments premiers et irréductibles ne coïncident pas toujours. Soit \(R\) le sous-anneau (avec identité) de \({\mathbb Q}[x, y]\) engendré par \(x^2\text{,}\) \(y^2\) et \(xy\text{.}\) Chacun de ces éléments est irréductible dans \(R\) ; cependant, \(xy\) n’est pas premier, car \(xy\) divise \(x^2 y^2\) mais ne divise ni \(x^2\) ni \(y^2\text{.}\)
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Le théorème fondamental de l’arithmétique affirme que tout entier positif \(n \gt 1\) peut se factoriser en un produit de nombres premiers \(p_1 \cdots p_k\text{,}\) où les \(p_i\) ne sont pas nécessairement distincts. Nous savons aussi que de telles factorisations sont uniques à l’ordre des \(p_i\) près. On peut facilement étendre ce résultat aux entiers. La question se pose de savoir si de telles factorisations sont possibles dans d’autres anneaux. En généralisant cette définition, on dit qu’un domaine intègre \(D\) est un domaine à factorisation unique, ou DFU, si \(D\) satisfait les critères suivants.
  1. Soit \(a \in D\) tel que \(a \neq 0\) et \(a\) n’est pas inversible. Alors \(a\) peut s’écrire comme un produit d’éléments irréductibles dans \(D\text{.}\)
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  2. Soit \(a = p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s\text{,}\) où les \(p_i\) et les \(q_i\) sont irréductibles. Alors \(r=s\) et il existe une \(\pi \in S_r\) telle que \(p_i\) et \(q_{\pi(j)}\) sont associés pour \(j = 1, \ldots, r\text{.}\)
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Exemple 18.2.2.

Les entiers forment un domaine à factorisation unique en vertu du théorème fondamental de l’arithmétique.
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Exemple 18.2.3.

Tout domaine intègre n’est pas un domaine à factorisation unique. Le sous-anneau \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i\}\) des nombres complexes est un domaine intègre (Exercice 16.7.12, Chapitre 16). Soit \(z = a + b \sqrt{3}\, i\) et définissons \(\nu : {\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] \rightarrow {\mathbb N} \cup \{ 0 \}\) par \(\nu( z) = |z|^2 = a^2 + 3 b^2\text{.}\) Il est clair que \(\nu(z) \geq 0\) avec égalité lorsque \(z = 0\text{.}\) De plus, d’après notre connaissance des nombres complexes, nous savons que \(\nu(z w) = \nu(z) \nu(w)\text{.}\) Il est facile de montrer que si \(\nu(z) = 1\text{,}\) alors \(z\) est inversible, et que les seuls inversibles de \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) sont \(1\) et \(-1\text{.}\)
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Nous affirmons que \(4\) admet deux factorisations distinctes en éléments irréductibles :
\begin{equation*} 4 = 2 \cdot 2 = (1 - \sqrt{3}\, i) (1 + \sqrt{3}\, i)\text{.} \end{equation*}
Nous devons montrer que chacun de ces facteurs est un élément irréductible dans \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\text{.}\) Si \(2\) n’est pas irréductible, alors \(2 = z w\) pour des éléments \(z, w\) dans \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) où \(\nu( z) = \nu(w) = 2\text{.}\) Cependant, il n’existe pas d’élément \(z\) dans \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i ]\) tel que \(\nu(z) = 2\) car l’équation \(a^2 + 3 b^2 = 2\) n’a pas de solution entière. Donc \(2\) doit être irréductible. Un argument similaire montre que \(1 - \sqrt{3}\, i\) et \(1 + \sqrt{3}\, i\) sont tous deux irréductibles. Puisque \(2\) n’est pas un multiple inversible de \(1 - \sqrt{3}\, i\) ni de \(1 + \sqrt{3}\, i\text{,}\) \(4\) admet au moins deux factorisations distinctes en éléments irréductibles.
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Sous-section 18.2.1 Domaines à idéaux principaux

Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité. Rappelons qu’un idéal principal engendré par \(a \in R\) est un idéal de la forme \(\langle a \rangle = \{ ra : r \in R \}\text{.}\) Un domaine intègre dans lequel tout idéal est principal est appelé un domaine à idéaux principaux, ou DIP.
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Démonstration.

(1) Supposons que \(a \mid b\text{.}\) Alors \(b = ax\) pour un certain \(x \in D\text{.}\) Donc, pour tout \(r\) dans \(D\text{,}\) \(br =(ax)r = a(xr)\) et \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Réciproquement, supposons que \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Alors \(b \in \langle a \rangle\text{.}\) Par conséquent, \(b =a x\) pour un certain \(x \in D\text{.}\) Ainsi, \(a \mid b\text{.}\)
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(2) Puisque \(a\) et \(b\) sont associés, il existe un inversible \(u\) tel que \(a = u b\text{.}\) Donc \(b \mid a\) et \(\langle a \rangle \subset \langle b \rangle\text{.}\) De même, \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Il s’ensuit que \(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Réciproquement, supposons que \(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Par la partie (1), \(a \mid b\) et \(b \mid a\text{.}\) Alors \(a = bx\) et \(b = ay\) pour certains \(x, y \in D\text{.}\) Donc \(a = bx = ayx\text{.}\) Puisque \(D\) est un domaine intègre, \(x y = 1\) ; c’est-à-dire que \(x\) et \(y\) sont inversibles et que \(a\) et \(b\) sont associés.
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(3) Un élément \(a \in D\) est inversible si et seulement si \(a\) est un associé de \(1\text{.}\) Or \(a\) est un associé de \(1\) si et seulement si \(\langle a \rangle = \langle 1 \rangle = D\text{.}\)
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Démonstration.

Supposons que \(\langle p \rangle\) soit un idéal maximal. Si un élément \(a\) de \(D\) divise \(p\text{,}\) alors \(\langle p \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Puisque \(\langle p \rangle\) est maximal, soit \(D = \langle a \rangle\) soit \(\langle p \rangle = \langle a \rangle\text{.}\) Par conséquent, soit \(a\) et \(p\) sont associés, soit \(a\) est inversible. Donc \(p\) est irréductible.
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Réciproquement, supposons que \(p\) soit irréductible. Si \(\langle a \rangle\) est un idéal dans \(D\) tel que \(\langle p \rangle \subset \langle a \rangle \subset D\text{,}\) alors \(a \mid p\text{.}\) Puisque \(p\) est irréductible, soit \(a\) doit être inversible, soit \(a\) et \(p\) sont associés. Donc soit \(D = \langle a \rangle\) soit \(\langle p \rangle = \langle a \rangle\text{.}\) Ainsi, \(\langle p \rangle\) est un idéal maximal.
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Démonstration.

Soit \(p\) irréductible et supposons que \(p \mid ab\text{.}\) Alors \(\langle ab \rangle \subset \langle p \rangle\text{.}\) Par le Corollaire 16.4.6, puisque \(\langle p \rangle\) est un idéal maximal, \(\langle p \rangle\) doit aussi être un idéal premier. Donc soit \(a \in \langle p \rangle\) soit \(b \in \langle p \rangle\text{.}\) Par conséquent, soit \(p \mid a \) soit \(p \mid b\text{.}\)
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Démonstration.

Nous affirmons que \(I= \bigcup_{i = 1}^\infty I_i\) est un idéal de \(D\text{.}\) Certes \(I\) n’est pas vide, puisque \(I_1 \subset I\) et \(0 \in I\text{.}\) Si \(a, b \in I\text{,}\) alors \(a \in I_i\) et \(b \in I_j\) pour certains \(i\) et \(j\) dans \({\mathbb N}\text{.}\) Sans perte de généralité, on peut supposer que \(i \leq j\text{.}\) Donc \(a\) et \(b\) sont tous deux dans \(I_j\) et donc \(a - b\) est aussi dans \(I_j\text{.}\) Soit maintenant \(r \in D\) et \(a \in I\text{.}\) À nouveau, on note que \(a \in I_i\) pour un certain entier positif \(i\text{.}\) Puisque \(I_i\) est un idéal, \(ra \in I_i\) et doit donc appartenir à \(I\text{.}\) Ainsi, nous avons montré que \(I\) est un idéal dans \(D\text{.}\)
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Puisque \(D\) est un domaine à idéaux principaux, il existe un élément \(\overline{a} \in D\) qui engendre \(I\text{.}\) Puisque \(\overline{a}\) est dans \(I_N\) pour un certain \(N \in {\mathbb N}\text{,}\) nous savons que \(I_N = I = \langle \overline{a} \rangle\text{.}\) Par conséquent, \(I_n = I_N\) pour \(n \geq N\text{.}\)
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Tout anneau commutatif satisfaisant la condition du Lemme 18.2.7 est dit satisfaire la condition de chaîne ascendante, ou CCA. De tels anneaux sont appelés anneaux noethériens, d’après Emmy Noether.
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Démonstration.

Existence d’une factorisation.
Soit \(D\) un DIP et \(a\) un élément non nul de \(D\) qui n’est pas inversible. Si \(a\) est irréductible, nous avons terminé. Sinon, il existe une factorisation \(a = a_1 b_1\text{,}\) où ni \(a_1\) ni \(b_1\) n’est inversible. Donc \(\langle a \rangle \subset \langle a_1 \rangle\text{.}\) Par le Lemme 18.2.4, nous savons que \(\langle a \rangle \neq \langle a_1 \rangle\) ; sinon, \(a\) et \(a_1\) seraient associés et \(b_1\) serait inversible, ce qui contredirait notre hypothèse. Supposons maintenant que \(a_1 = a_2 b_2\text{,}\) où ni \(a_2\) ni \(b_2\) n’est inversible. Par le même argument qu’auparavant, \(\langle a_1 \rangle \subset \langle a_2 \rangle\text{.}\) Nous pouvons continuer cette construction pour obtenir une chaîne ascendante d’idéaux
\begin{equation*} \langle a \rangle \subset \langle a_1 \rangle \subset \langle a_2 \rangle \subset \cdots\text{.} \end{equation*}
Par le Lemme 18.2.7, il existe un entier positif \(N\) tel que \(\langle a_n \rangle = \langle a_N \rangle\) pour tout \(n \geq N\text{.}\) Par conséquent, \(a_N\) doit être irréductible. Nous avons maintenant montré que \(a\) est le produit de deux éléments, dont l’un doit être irréductible.
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Supposons maintenant que \(a = c_1 p_1\text{,}\) où \(p_1\) est irréductible. Si \(c_1\) n’est pas inversible, nous pouvons répéter l’argument précédent pour conclure que \(\langle a \rangle \subset \langle c_1 \rangle\text{.}\) Soit \(c_1\) est irréductible, soit \(c_1 = c_2 p_2\text{,}\) où \(p_2\) est irréductible et \(c_2\) n’est pas inversible. En continuant ainsi, nous obtenons une autre chaîne d’idéaux
\begin{equation*} \langle a \rangle \subset \langle c_1 \rangle \subset \langle c_2 \rangle \subset \cdots\text{.} \end{equation*}
Cette chaîne doit satisfaire la condition de chaîne ascendante ; donc
\begin{equation*} a = p_1 p_2 \cdots p_r \end{equation*}
pour des éléments irréductibles \(p_1, \ldots, p_r\text{.}\)
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Unicité de la factorisation.
Pour montrer l’unicité, soit
\begin{equation*} a = p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_s\text{,} \end{equation*}
où chaque \(p_i\) et chaque \(q_i\) est irréductible. Sans perte de généralité, on peut supposer que \(r \lt s\text{.}\) Puisque \(p_1\) divise \(q_1 q_2 \cdots q_s\text{,}\) par le Corollaire 18.2.6 il doit diviser un certain \(q_i\text{.}\) En réordonnant les \(q_i\text{,}\) on peut supposer que \(p_1 \mid q_1\) ; donc \(q_1 = u_1 p_1\) pour un certain inversible \(u_1\) dans \(D\text{.}\) Donc,
\begin{equation*} a = p_1 p_2 \cdots p_r = u_1 p_1 q_2 \cdots q_s \end{equation*}
soit
\begin{equation*} p_2 \cdots p_r = u_1 q_2 \cdots q_s\text{.} \end{equation*}
En continuant ainsi, on peut arranger les \(q_i\) de sorte que \(p_2 = q_2, p_3 = q_3, \ldots, p_r = q_r\text{,}\) pour obtenir
\begin{equation*} u_1 u_2 \cdots u_r q_{r + 1} \cdots q_s = 1\text{.} \end{equation*}
Dans ce cas \(q_{r + 1} \cdots q_s\) est inversible, ce qui contredit le fait que \(q_{r + 1}, \ldots, q_s\) sont irréductibles. Donc \(r = s\) et la factorisation de \(a\) est unique.
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Exemple 18.2.10.

Tout DIP est un DFU, mais il n’est pas vrai que tout DFU soit un DIP. Dans le Corollaire 18.2.24, nous montrerons que \({\mathbb Z}[x]\) est un DFU. Cependant, \({\mathbb Z}[x]\) n’est pas un DIP. Soit \(I = \{ 5 f(x) + x g(x) : f(x), g(x) \in {\mathbb Z}[x] \}\text{.}\) On peut facilement montrer que \(I\) est un idéal de \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Supposons que \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\) Puisque \(5 \in I\text{,}\) \(5 = f(x) p(x)\text{.}\) Dans ce cas \(p(x) = p\) doit être une constante. Puisque \(x \in I\text{,}\) \(x = p g(x)\) ; par conséquent \(p = \pm 1\text{.}\) Cependant, il s’ensuit de ce fait que \(\langle p(x) \rangle = {\mathbb Z}[x]\text{.}\) Mais cela signifierait que \(3\) est dans \(I\text{.}\) Donc, on peut écrire \(3 = 5 f(x) + x g(x)\) pour certains \(f(x)\) et \(g(x)\) dans \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) En examinant le terme constant de ce polynôme, on voit que \(3 = 5 f(x)\text{,}\) ce qui est impossible.
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Sous-section 18.2.2 Domaines euclidiens

Nous avons utilisé de façon répétée l’algorithme de division pour démontrer des résultats sur \({\mathbb Z}\) ou sur \(F[x]\text{,}\) où \(F\) est un corps. Nous devons maintenant nous demander quand un algorithme de division est disponible pour un domaine intègre.
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Soit \(D\) un domaine intègre tel qu’il existe une fonction \(\nu : D \setminus \{0\} \to \mathbb N_0 = \mathbb N \cup \{0\}\) satisfaisant les conditions suivantes.
  1. Si \(a\) et \(b\) sont des éléments non nuls de \(D\text{,}\) alors \(\nu(a) \leq \nu(ab)\text{.}\)
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  2. Soient \(a, b \in D\) avec \(b \neq 0\text{.}\) Alors il existe des éléments \(q, r \in D\) tels que \(a = bq + r\) et soit \(r = 0\) soit \(\nu(r) \lt \nu(b)\text{.}\)
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Alors \(D\) est appelé un domaine euclidien et \(\nu\) est appelée une valuation euclidienne.
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Exemple 18.2.11.

La valeur absolue sur \({\mathbb Z}\) est une valuation euclidienne.
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Exemple 18.2.12.

Soit \(F\) un corps. Alors le degré d’un polynôme dans \(F[x]\) est une valuation euclidienne.
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Exemple 18.2.13.

Rappelons que les entiers de Gauss de l’Exemple 16.2.1 du Chapitre 16 sont définis par
\begin{equation*} {\mathbb Z}[i] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.} \end{equation*}
Nous mesurons habituellement la taille d’un nombre complexe \(a + bi\) par sa valeur absolue, \(|a + bi| = \sqrt{ a^2 + b^2}\) ; cependant, \(\sqrt{a^2 + b^2}\) peut ne pas être un entier. Pour notre valuation, nous poserons \(\nu(a + bi) = a^2 + b^2\) afin de garantir que nous obtenons un entier.
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Nous affirmons que \(\nu( a+ bi) = a^2 + b^2\) est une valuation euclidienne sur \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Soient \(z, w \in {\mathbb Z}[i]\text{.}\) Alors \(\nu( zw) = |zw|^2 = |z|^2 |w|^2 = \nu(z) \nu(w)\text{.}\) Puisque \(\nu(z) \geq 1\) pour tout \(z \in {\mathbb Z}[i]\) non nul, \(\nu( z) \leq \nu(z) \nu(w)\text{.}\)
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Ensuite, nous devons montrer que pour tout \(z= a+bi\) et \(w = c+di\) dans \({\mathbb Z}[i]\) avec \(w \neq 0\text{,}\) il existe des éléments \(q\) et \(r\) dans \({\mathbb Z}[i]\) tels que \(z = qw + r\) avec soit \(r=0\) soit \(\nu(r) \lt \nu(w)\text{.}\) On peut voir \(z\) et \(w\) comme des éléments de \({\mathbb Q}(i) = \{ p + qi : p, q \in {\mathbb Q} \}\text{,}\) le corps des fractions de \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) On remarque que
\begin{align*} z w^{-1} & = (a +b i) \frac{c -d i}{c^2 + d^2}\\ & = \frac{ac + b d}{c^2 + d^2} + \frac{b c -ad}{c^2 + d^2}i\\ & = \left( m_1 + \frac{n_1}{c^2 + d^2} \right) + \left( m_2 + \frac{n_2}{c^2 + d^2} \right) i\\ & = (m_1 + m_2 i) + \left( \frac{n_1}{c^2 + d^2} + \frac{n_2}{c^2 + d^2}i \right)\\ & = (m_1 + m_2 i) + (s + ti) \end{align*}
dans \({\mathbb Q}(i)\text{.}\) Dans les dernières étapes, nous écrivons les parties réelle et imaginaire comme un entier plus une fraction propre. C’est-à-dire que nous prenons l’entier le plus proche \(m_i\) tel que la partie fractionnaire satisfasse \(|n_i / (a^2 + b^2)| \leq 1/2\text{.}\) Par exemple, nous écrivons
\begin{align*} \frac{9}{8} & = 1 + \frac{1}{8}\\ \frac{15}{8} & = 2 - \frac{1}{8}\text{.} \end{align*}
Ainsi, \(s\) et \(t\) sont les « parties fractionnaires » de \(z w^{-1} = (m_1 + m_2 i) + (s + ti)\text{.}\) Nous savons aussi que \(s^2 + t^2 \leq 1/4 + 1/4 = 1/2\text{.}\) En multipliant par \(w\text{,}\) nous obtenons
\begin{equation*} z = z w^{-1} w = w (m_1 + m_2 i) + w (s + ti) = q w + r\text{,} \end{equation*}
où \(q = m_1 + m_2 i\) et \(r = w (s + ti)\text{.}\) Puisque \(z\) et \(qw\) sont dans \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) \(r\) doit être dans \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Enfin, nous devons montrer que soit \(r = 0\) soit \(\nu(r) \lt \nu(w)\text{.}\) Or,
\begin{equation*} \nu(r) = \nu(w) \nu(s + ti) \leq \frac{1}{2} \nu(w) \lt \nu(w)\text{.} \end{equation*}
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Démonstration.

Soit \(D\) un domaine euclidien et soit \(\nu\) une valuation euclidienne sur \(D\text{.}\) Supposons que \(I\) est un idéal non trivial dans \(D\) et choisissons un élément non nul \(b \in I\) tel que \(\nu(b)\) soit minimal pour tout \(a \in I\text{.}\) Puisque \(D\) est un domaine euclidien, il existe des éléments \(q\) et \(r\) dans \(D\) tels que \(a = bq + r\) et soit \(r = 0\) soit \(\nu(r) \lt \nu(b)\text{.}\) Mais \(r = a - bq\) est dans \(I\) puisque \(I\) est un idéal ; donc \(r = 0\) par la minimalité de \(b\text{.}\) Il s’ensuit que \(a = bq\) et \(I = \langle b \rangle\text{.}\)
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Sous-section 18.2.3 Factorisation dans \(D\lbrack x \rbrack\)

L’un des anneaux de polynômes les plus importants est \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) L’une des premières questions qui vient à l’esprit concernant \({\mathbb Z}[x]\) est de savoir si c’est ou non un DFU. Nous allons prouver ici un résultat plus général. Notre première tâche est d’obtenir une version plus générale du lemme de Gauss (Théorème 17.3.4).
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Soit \(D\) un domaine à factorisation unique et supposons que
\begin{equation*} p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 \end{equation*}
dans \(D[x]\text{.}\) Alors le contenu de \(p(x)\) est le plus grand commun diviseur de \(a_0, \ldots, a_n\text{.}\) On dit que \(p(x)\) est primitif si \(\gcd(a_0, \ldots, a_n ) = 1\text{.}\)
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Exemple 18.2.16.

Dans \({\mathbb Z}[x]\) le polynôme \(p(x)= 5 x^4 - 3 x^3 + x -4\) est un polynôme primitif car le plus grand commun diviseur des coefficients est \(1\) ; cependant, le polynôme \(q(x) = 4 x^2 - 6 x + 8\) n’est pas primitif car le contenu de \(q(x)\) est \(2\text{.}\)
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Démonstration.

Soient \(f(x) = \sum_{i=0}^{m} a_i x^i\) et \(g(x) = \sum_{i=0}^{n} b_i x^i\text{.}\) Supposons que \(p\) est un élément premier divisant les coefficients de \(f(x) g(x)\text{.}\) Soit \(r\) le plus petit entier tel que \(p \notdivide a_r\) et \(s\) le plus petit entier tel que \(p \notdivide b_s\text{.}\) Le coefficient de \(x^{r+s}\) dans \(f(x) g(x)\) est
\begin{equation*} c_{r + s} = a_0 b_{r + s} + a_1 b_{r + s - 1} + \cdots + a_{r + s - 1} b_1 + a_{r + s} b_0\text{.} \end{equation*}
Puisque \(p\) divise \(a_0, \ldots, a_{r-1}\) et \(b_0, \ldots, b_{s-1}\text{,}\) \(p\) divise chaque terme de \(c_{r+s}\) sauf le terme \(a_r b_s\text{.}\) Cependant, puisque \(p \mid c_{r+s}\text{,}\) soit \(p\) divise \(a_r\) soit \(p\) divise \(b_s\text{.}\) Mais cela est impossible.
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Démonstration.

Soient \(p(x) = c p_1(x)\) et \(q(x) = d q_1(x)\text{,}\) où \(c\) et \(d\) sont les contenus de \(p(x)\) et \(q(x)\text{,}\) respectivement. Alors \(p_1(x)\) et \(q_1(x)\) sont primitifs. On peut maintenant écrire \(p(x) q(x) = c d p_1(x) q_1(x)\text{.}\) Puisque \(p_1(x) q_1(x)\) est primitif, le contenu de \(p(x) q(x)\) doit être \(cd\text{.}\)
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Démonstration.

Soient \(a\) et \(b\) des éléments non nuls de \(D\) tels que \(a f(x), b g(x)\) soient dans \(D[x]\text{.}\) On peut trouver \(a_1, b_1 \in D\) tels que \(a f(x) = a_1 f_1(x)\) et \(b g(x) = b_1 g_1(x)\text{,}\) où \(f_1(x)\) et \(g_1(x)\) sont des polynômes primitifs dans \(D[x]\text{.}\) Donc \(a b p(x) = (a_1 f_1(x))( b_1 g_1(x))\text{.}\) Puisque \(f_1(x)\) et \(g_1(x)\) sont des polynômes primitifs, il doit être le cas que \(ab \mid a_1 b_1\) d’après le lemme de Gauss. Ainsi il existe un \(c \in D\) tel que \(p(x) = c f_1(x) g_1(x)\text{.}\) Clairement, \(\deg f(x) = \deg f_1(x)\) et \(\deg g(x) = \deg g_1(x)\text{.}\)
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Les corollaires suivants sont des conséquences directes du Lemme 18.2.19.
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Démonstration.

Soit \(p(x)\) un polynôme non nul dans \(D[x]\text{.}\) Si \(p(x)\) est un polynôme constant, alors il doit avoir une factorisation unique puisque \(D\) est un DFU. Supposons maintenant que \(p(x)\) est un polynôme de degré positif dans \(D[x]\text{.}\) Soit \(F\) le corps des fractions de \(D\text{,}\) et soit \(p(x) = f_1(x) f_2(x) \cdots f_n(x)\) une factorisation de \(p(x)\text{,}\) où chaque \(f_i(x)\) est irréductible. Choisissons \(a_i \in D\) tels que \(a_i f_i(x)\) soit dans \(D[x]\text{.}\) Il existe \(b_1, \ldots, b_n \in D\) tels que \(a_i f_i(x) = b_i g_i(x)\text{,}\) où \(g_i(x)\) est un polynôme primitif dans \(D[x]\text{.}\) Par le Corollaire 18.2.20, chaque \(g_i(x)\) est irréductible dans \(D[x]\text{.}\) Par conséquent, on peut écrire
\begin{equation*} a_1 \cdots a_n p(x) = b_1 \cdots b_n g_1(x) \cdots g_n(x)\text{.} \end{equation*}
Soit \(b = b_1 \cdots b_n\text{.}\) Puisque \(g_1(x) \cdots g_n(x)\) est primitif, \(a_1 \cdots a_n\) divise \(b\text{.}\) Donc \(p(x) = a g_1(x) \cdots g_n(x)\text{,}\) où \(a \in D\text{.}\) Puisque \(D\) est un DFU, on peut factoriser \(a\) comme \(u c_1 \cdots c_k\text{,}\) où \(u\) est un inversible et chacun des \(c_i\) est irréductible dans \(D\text{.}\)
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Nous allons maintenant montrer l’unicité de cette factorisation. Soit
\begin{equation*} p(x) = a_1 \cdots a_m f_1(x) \cdots f_n(x) = b_1 \cdots b_r g_1(x) \cdots g_s(x) \end{equation*}
deux factorisations de \(p(x)\text{,}\) où tous les facteurs sont irréductibles dans \(D[x]\text{.}\) Par le Corollaire 18.2.20, chacun des \(f_i\) et des \(g_i\) est irréductible dans \(F[x]\text{.}\) Les \(a_i\) et les \(b_i\) sont des inversibles dans \(F\text{.}\) Puisque \(F[x]\) est un DIP, c’est un DFU ; donc \(n=s\text{.}\) Réarrangeons maintenant les \(g_i(x)\) de façon que \(f_i(x)\) et \(g_i(x)\) soient associés pour \(i = 1, \ldots, n\text{.}\) Alors il existe \(c_1, \ldots, c_n\) et \(d_1, \ldots, d_n\) dans \(D\) tels que \((c_i / d_i) f_i(x) = g_i(x)\) soit \(c_i f_i(x) = d_i g_i(x)\text{.}\) Les polynômes \(f_i(x)\) et \(g_i(x)\) sont primitifs ; donc \(c_i\) et \(d_i\) sont associés dans \(D\text{.}\) Ainsi, \(a_1 \cdots a_m = u b_1 \cdots b_r\) dans \(D\text{,}\) où \(u\) est un inversible dans \(D\text{.}\) Puisque \(D\) est un domaine à factorisation unique, \(m = s\text{.}\) Enfin, on peut réordonner les \(b_i\) de façon que \(a_i\) et \(b_i\) soient associés pour chaque \(i\text{.}\) Ceci complète la partie unicité de la preuve.
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Le théorème que nous venons de prouver a plusieurs corollaires évidents mais importants.
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Remarque 18.2.26.

Il est important de remarquer que tout domaine euclidien est un DIP et tout DIP est un DFU. Cependant, la réciproque de chacun de ces énoncés est fausse. Il existe des domaines à idéaux principaux qui ne sont pas des domaines euclidiens, et il existe des domaines à factorisation unique qui ne sont pas des domaines à idéaux principaux (\({\mathbb Z}[x]\)).
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Sous-section 18.2.4 Note historique

Karl Friedrich Gauss, né à Brunswick, en Allemagne, le 30 avril 1777, est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens qui aient jamais vécu. Gauss était véritablement un enfant prodige. À l’âge de trois ans, il était capable de détecter des erreurs dans les livres de comptes de son père. Gauss entra à l’université à l’âge de 15 ans. Avant l’âge de 20 ans, Gauss fut capable de construire un polygone régulier à \(17\) côtés à la règle et au compas. C’était la première nouvelle construction d’un polygone régulier à \(n\) côtés depuis l’époque des Grecs de l’Antiquité. Gauss réussit à montrer que si \(N= 2^{2^n} + 1\) était premier, alors il était possible de construire un polygone régulier à \(N\) côtés.
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Gauss obtint son doctorat en 1799 sous la direction de Pfaff à l’Université de Helmstedt. Dans sa thèse, il donna la première preuve complète du théorème fondamental de l’algèbre, qui affirme que tout polynôme à coefficients réels peut se factoriser en facteurs linéaires sur les nombres complexes. L’acceptation des nombres complexes fut amenée par Gauss, qui fut la première personne à utiliser la notation \(i\) pour \(\sqrt{-1}\text{.}\)
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Gauss se tourna ensuite vers la théorie des nombres ; en 1801, il publia son célèbre ouvrage sur la théorie des nombres, Disquisitiones Arithmeticae. Tout au long de sa vie, Gauss fut fasciné par cette branche des mathématiques. Il écrivit un jour : « Les mathématiques sont la reine des sciences, et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. »
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En 1807, Gauss fut nommé directeur de l’Observatoire de l’Université de Göttingen, poste qu’il occupa jusqu’à sa mort. Ce poste lui imposa d’étudier les applications des mathématiques aux sciences. Il réussit à apporter des contributions à des domaines tels que l’astronomie, la mécanique, l’optique, la géodésie et le magnétisme. Avec Wilhelm Weber, il co-inventa le premier télégraphe électrique pratique quelques années avant qu’une meilleure version ne soit inventée par Samuel F. B. Morse.
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Gauss était clairement le mathématicien le plus éminent du monde au début du dix-neuvième siècle. Son statut soumettait naturellement ses découvertes à un examen minutieux. La personnalité froide et distante de Gauss le conduisit souvent à ignorer le travail de ses contemporains, ce qui lui valut de nombreux ennemis. Il n’aimait pas beaucoup enseigner, et les jeunes mathématiciens qui le sollicitaient pour des encouragements étaient souvent repoussés. Néanmoins, il eut de nombreux élèves remarquables, parmi lesquels Eisenstein, Riemann, Kummer, Dirichlet et Dedekind. Gauss apporta aussi beaucoup d’encouragement à Sophie Germain (1776–1831), qui surmonta les nombreux obstacles auxquels les femmes de son époque faisaient face pour devenir une mathématicienne très éminente. Gauss mourut à l’âge de 78 ans à Göttingen le 23 février 1855.
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