AATA Exercices

(a) \(\{ 0 \} \subset \langle 6 \rangle \subset \langle 3 \rangle \subset {\mathbb Z}_{12}\) ; (e) \(\{ (1) \} \times \{ 0 \} \subset \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \} \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \langle 2 \rangle\subset S_3 \times {\mathbb Z}_4\text{.}\)

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5.

Montrer que le produit direct infini \(G = {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times \cdots\) n’est pas de type fini.

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6.

Soit \(G\) un groupe abélien d’ordre \(m\text{.}\) Si \(n\) divise \(m\text{,}\) démontrer que \(G\) possède un sous-groupe d’ordre \(n\text{.}\)

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7.

Un groupe \(G\) est un groupe de torsion si tout élément de \(G\) est d’ordre fini. Démontrer qu’un groupe abélien de torsion de type fini est nécessairement fini.

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Indication.

Utiliser le Théorème fondamental des groupes abéliens de type fini.

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8.

Soient \(G\text{,}\) \(H\) et \(K\) des groupes abéliens de type fini. Montrer que si \(G \times H \cong G \times K\text{,}\) alors \(H \cong K\text{.}\) Donner un contre-exemple montrant que cela ne peut pas être vrai en général.

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9.

Soient \(G\) et \(H\) des groupes résolubles. Montrer que \(G \times H\) est également résoluble.

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10.

Si \(G\) possède une suite de composition (principale) et si \(N\) est un sous-groupe normal propre de \(G\text{,}\) montrer qu’il existe une suite de composition (principale) contenant \(N\text{.}\)

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11.

Démontrer ou réfuter : Soit \(N\) un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) Si \(N\) et \(G/N\) ont des suites de composition, alors \(G\) doit également avoir une suite de composition.

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12.

Soit \(N\) un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) Si \(N\) et \(G/N\) sont des groupes résolubles, montrer que \(G\) est également un groupe résoluble.

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Indication.

Si \(N\) et \(G/N\) sont résolubles, alors ils ont des suites résolubles

\begin{gather*} N = N_n \supset N_{n - 1} \supset \cdots \supset N_1 \supset N_0 = \{ e \}\\ G/N = G_n/N \supset G_{n - 1}/N \supset \cdots G_1/N \supset G_0/N = \{ N \}\text{.} \end{gather*}

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13.

Démontrer que \(G\) est un groupe résoluble si et seulement si \(G\) possède une suite de sous-groupes

\begin{equation*} G = P_n \supset P_{n - 1} \supset \cdots \supset P_1 \supset P_0 = \{ e \} \end{equation*}

où \(P_i\) est normal dans \(P_{i + 1}\) et l’ordre de \(P_{i + 1} / P_i\) est premier.

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14.

Soit \(G\) un groupe résoluble. Démontrer que tout sous-groupe de \(G\) est également résoluble.

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15.

Soit \(G\) un groupe résoluble et \(N\) un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) Démontrer que \(G/N\) est résoluble.

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16.

Démontrer que \(D_n\) est résoluble pour tout entier \(n\text{.}\)

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Indication.

Utiliser le fait que \(D_n\) possède un sous-groupe cyclique d’indice \(2\text{.}\)

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17.

Supposons que \(G\) possède une suite de composition. Si \(N\) est un sous-groupe normal de \(G\text{,}\) montrer que \(N\) et \(G/N\) ont également des suites de composition.

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18.

Soit \(G\) un \(p\)-groupe cyclique avec des sous-groupes \(H\) et \(K\text{.}\) Démontrer que soit \(H\) est contenu dans \(K\text{,}\) soit \(K\) est contenu dans \(H\text{.}\)

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19.

Supposons que \(G\) est un groupe résoluble d’ordre \(n \geq 2\text{.}\) Montrer que \(G\) contient un sous-groupe abélien normal non trivial.

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20.

Rappelons que le sous-groupe des commutateurs \(G'\) d’un groupe \(G\) est défini comme le sous-groupe de \(G\) engendré par les éléments de la forme \(a^{-1} b ^{-1} ab\) pour \(a, b \in G\text{.}\) Nous pouvons définir une suite de sous-groupes de \(G\) par \(G^{(0)} = G\text{,}\) \(G^{(1)} = G'\) et \(G^{(i + 1)} = (G^{(i)})'\text{.}\)

Démontrer que \(G^{(i+1)}\) est normal dans \((G^{(i)})'\text{.}\) La suite de sous-groupes

\begin{equation*} G^{(0)} = G \supset G^{(1)} \supset G^{(2)} \supset \cdots \end{equation*}

est appelée la suite dérivée de \(G\text{.}\)

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Montrer que \(G\) est résoluble si et seulement si \(G^{(n)} = \{ e \}\) pour un certain entier \(n\text{.}\)
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21.

Supposons que \(G\) est un groupe résoluble d’ordre \(n \geq 2\text{.}\) Montrer que \(G\) contient un groupe quotient abélien normal non trivial.

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Indication.

\(G/G'\) est abélien.

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22. Lemme de Zassenhaus.

Soient \(H\) et \(K\) des sous-groupes d’un groupe \(G\text{.}\) Supposons également que \(H^*\) et \(K^*\) sont des sous-groupes normaux de \(H\) et \(K\) respectivement. Alors

\(H^* ( H \cap K^*)\) est un sous-groupe normal de \(H^* ( H \cap K)\text{.}\)
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\(K^* ( H^* \cap K)\) est un sous-groupe normal de \(K^* ( H \cap K)\text{.}\)
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\(H^* ( H \cap K) / H^* ( H \cap K^*) \cong K^* ( H \cap K) / K^* ( H^* \cap K) \cong (H \cap K) / (H^* \cap K)(H \cap K^*)\text{.}\)
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23. Théorème de Schreier.

Utiliser le Lemme de Zassenhaus pour démontrer que deux suites sous-normales (normales) d’un groupe \(G\) ont des raffinements isomorphes.

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24.

Utiliser le Théorème de Schreier pour démontrer le Théorème de Jordan-Hölder.

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