Pour additionner deux nombres complexes \(z=a+bi\) et \(w= c+di\text{,}\) nous additionnons simplement les parties réelles et imaginaires correspondantes :
\begin{equation*}
z + w=(a + bi ) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\text{.}
\end{equation*}
En se rappelant que \(i^2 = -1\text{,}\) nous multiplions les nombres complexes comme des polynômes. Le produit de \(z\) et \(w\) est
\begin{equation*}
(a + bi )(c + di) = ac + bdi^2 + adi + bci = (ac -bd) +(ad + bc)i\text{.}
\end{equation*}
Tout nombre complexe non nul \(z = a +bi\) possède un inverse multiplicatif ; c’est-à-dire qu’il existe un \(z^{-1} \in {\mathbb C}^\ast\) tel que \(z z^{-1} = z^{-1} z = 1\text{.}\) Si \(z = a + bi\text{,}\) alors
Le conjugué complexe d’un nombre complexe \(z = a + bi\) est défini par \(\overline{z} = a- bi\text{.}\) La valeur absolue ou le module de \(z = a + bi\) est \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\text{.}\)
Il existe plusieurs façons de représenter graphiquement les nombres complexes. Nous pouvons représenter un nombre complexe \(z = a +bi\) comme un couple ordonné dans le plan \(xy\) où \(a\) est la coordonnée \(x\) (ou réelle) et \(b\) est la coordonnée \(y\) (ou imaginaire). Cela s’appelle la représentation rectangulaire ou cartésienne. Les représentations rectangulaires de \(z_1 = 2 + 3i\text{,}\)\(z_2 = 1 - 2i\) et \(z_3 = - 3 + 2i\) sont représentées dans la Figure 4.2.2.
Les nombres complexes non nuls peuvent également être représentés en coordonnées polaires. Pour spécifier tout point non nul du plan, il suffit de donner un angle \(\theta\) à partir de l’axe \(x\) positif dans le sens antihoraire et une distance \(r\) depuis l’origine, comme dans la Figure 4.2.3. On voit que
\begin{equation*}
z = a + bi = r( \cos \theta + i \sin \theta)\text{.}
\end{equation*}
Donc,
\begin{equation*}
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\end{equation*}
et
\begin{align*}
a & = r \cos \theta\\
b & = r \sin \theta\text{.}
\end{align*}
Nous abrégeons parfois \(r( \cos \theta + i \sin \theta)\) par \(r \cis \theta\text{.}\) Pour s’assurer que la représentation de \(z\) est bien définie, nous exigeons également que \(0^{\circ} \leq \theta \lt 360^{\circ}\text{.}\) Si la mesure est en radians, alors \(0 \leq \theta \lt2 \pi\text{.}\)
Réciproquement, si nous disposons d’une représentation rectangulaire d’un nombre complexe, il est souvent utile de connaître sa représentation polaire. Si \(z = 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}\, i\text{,}\) alors
La représentation polaire d’un nombre complexe facilite le calcul des produits et des puissances de nombres complexes. La preuve de la proposition suivante est directe et est laissée comme exercice.
Nous allons utiliser une récurrence sur \(n\text{.}\) Pour \(n = 1\text{,}\) le théorème est trivial. Supposons que le théorème est vrai pour tout \(k\) tel que \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Alors
\begin{align*}
z^{n+1} & = z^n z\\
& = r^n( \cos n \theta + i \sin n \theta ) r( \cos \theta + i\sin \theta )\\
& = r^{n+1} [( \cos n \theta \cos \theta - \sin n \theta \sin \theta ) + i ( \sin n \theta \cos \theta + \cos n \theta \sin \theta)]\\
& = r^{n+1} [ \cos( n \theta + \theta) + i \sin( n \theta + \theta) ]\\
& = r^{n+1} [ \cos( n +1) \theta + i \sin( n+1) \theta ]\text{.}
\end{align*}
Supposons que \(z= 1+i\) et que nous souhaitions calculer \(z^{10}\text{.}\) Plutôt que de calculer \((1 + i)^{10}\) directement, il est beaucoup plus facile de passer en coordonnées polaires et de calculer \(z^{10}\) en utilisant le théorème de De Moivre :
Sous-section4.2.1Le groupe cercle et les racines de l’unité
Le groupe multiplicatif des nombres complexes, \({\mathbb C}^*\text{,}\) possède quelques sous-groupes intéressants. Alors que \({\mathbb Q}^*\) et \({\mathbb R}^*\) n’ont pas de sous-groupes intéressants d’ordre fini, \({\mathbb C}^*\) en possède beaucoup. Nous considérons d’abord le groupe cercle,
Bien que le groupe cercle soit d’ordre infini, il possède de nombreux sous-groupes finis intéressants. Supposons que \(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Alors \(H\) est un sous-groupe du groupe cercle. De plus, \(1\text{,}\)\(-1\text{,}\)\(i\) et \(-i\) sont exactement les nombres complexes qui satisfont l’équation \(z^4 = 1\text{.}\) Les nombres complexes satisfaisant l’équation \(z^n=1\) sont appelés les racines \(n\)-ièmes de l’unité.
Si \(z^n = 1\text{,}\) alors les racines \(n\)-ièmes de l’unité sont
\begin{equation*}
z = \cis\left( \frac{2 k \pi}{n } \right)\text{,}
\end{equation*}
où \(k = 0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) De plus, les racines \(n\)-ièmes de l’unité forment un sous-groupe cyclique de \({\mathbb T}\) d’ordre \(n\text{.}\)
\begin{equation*}
z^n = \cis \left( n \frac{2 k \pi}{n } \right) = \cis( 2 k \pi ) = 1\text{.}
\end{equation*}
Les \(z\) sont distincts puisque les nombres \(2 k \pi /n\) sont tous distincts et sont supérieurs ou égaux à 0 mais inférieurs à \(2 \pi\text{.}\) Le fait que ce soient toutes les racines de l’équation \(z^n=1\) découle du Corollaire 17.2.4, qui affirme qu’un polynôme de degré \(n\) peut avoir au plus \(n\) racines. Nous laisserons la preuve que les racines \(n\)-ièmes de l’unité forment un sous-groupe cyclique de \({\mathbb T}\) comme exercice.
Les racines 8-ièmes de l’unité peuvent être représentées comme huit points également espacés sur le cercle unité (Figure 4.2.12). Les racines primitives 8-ièmes de l’unité sont
