AATA Le théorème de Lagrange

Section 6.2 Le théorème de Lagrange

Proposition 6.2.1.

Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\) avec \(g \in G\) et définissons une application \(\phi:H \rightarrow gH\) par \(\phi(h) = gh\text{.}\) L’application \(\phi\) est bijective ; donc le nombre d’éléments dans \(H\) est le même que le nombre d’éléments dans \(gH\text{.}\)

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Démonstration.

Nous montrons d’abord que l’application \(\phi\) est injective. Supposons que \(\phi(h_1) = \phi(h_2)\) pour des éléments \(h_1, h_2 \in H\text{.}\) Nous devons montrer que \(h_1 = h_2\text{,}\) mais \(\phi(h_1) = gh_1\) et \(\phi(h_2) = gh_2\text{.}\) Donc \(gh_1 = gh_2\text{,}\) et par simplification à gauche \(h_1= h_2\text{.}\) Montrer que \(\phi\) est surjective est facile. Par définition, tout élément de \(gH\) est de la forme \(gh\) pour un certain \(h \in H\) et \(\phi(h) = gh\text{.}\)

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Théorème 6.2.2. Lagrange.

Soit \(G\) un groupe fini et soit \(H\) un sous-groupe de \(G\text{.}\) Alors \(|G|/|H| = [G : H]\) est le nombre de classes latérales gauches distinctes de \(H\) dans \(G\text{.}\) En particulier, le nombre d’éléments dans \(H\) doit diviser le nombre d’éléments dans \(G\text{.}\)

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Démonstration.

Le groupe \(G\) est partitionné en \([G : H]\) classes latérales gauches distinctes. Chaque classe latérale gauche contient \(|H|\) éléments ; donc \(|G| = [G : H] |H|\text{.}\)

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Corollaire 6.2.3.

Supposons que \(G\) est un groupe fini et que \(g \in G\text{.}\) Alors l’ordre de \(g\) doit diviser le nombre d’éléments dans \(G\text{.}\)

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Corollaire 6.2.4.

Soit \(|G| = p\) avec \(p\) un nombre premier. Alors \(G\) est cyclique et tout \(g \in G\) tel que \(g \neq e\) est un générateur.

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Démonstration.

Soit \(g\) dans \(G\) tel que \(g \neq e\text{.}\) Alors par le Corollaire 6.2.3, l’ordre de \(g\) doit diviser l’ordre du groupe. Puisque \(|\langle g \rangle| \gt 1\text{,}\) il doit être \(p\text{.}\) Donc \(g\) engendre \(G\text{.}\)

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Le Corollaire 6.2.4 suggère que les groupes d’ordre premier \(p\) doivent ressembler d’une certaine façon à \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

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Corollaire 6.2.5.

Soient \(H\) et \(K\) des sous-groupes d’un groupe fini \(G\) tels que \(G \supset H \supset K\text{.}\) Alors

\begin{equation*} [G:K] = [G:H][H:K]\text{.} \end{equation*}

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Démonstration.

Observons que

\begin{equation*} [G:K] = \frac{|G|}{|K|} = \frac{|G|}{|H|} \cdot \frac{|H|}{|K|} = [G:H][H:K]\text{.} \end{equation*}

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Remarque 6.2.6. La réciproque du théorème de Lagrange est fausse.

Le groupe \(A_4\) est d’ordre \(12\) ; cependant, on peut montrer qu’il ne possède pas de sous-groupe d’ordre \(6\text{.}\) D’après le théorème de Lagrange, les sous-groupes d’un groupe d’ordre \(12\) peuvent avoir des ordres égaux à \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) \(4\) ou \(6\text{.}\) Cependant, rien ne garantit que des sous-groupes de tout ordre possible existent. Pour prouver que \(A_4\) n’a pas de sous-groupe d’ordre \(6\text{,}\) nous supposerons qu’il en possède un tel sous-groupe \(H\) et montrerons qu’une contradiction doit se produire. Puisque \(A_4\) contient huit \(3\)-cycles, nous savons que \(H\) doit contenir un \(3\)-cycle. Nous allons montrer que si \(H\) contient un \(3\)-cycle, alors il doit contenir plus de \(6\) éléments.

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Proposition 6.2.7.

Le groupe \(A_4\) n’a pas de sous-groupe d’ordre \(6\text{.}\)

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Démonstration.

Puisque \([A_4 : H] = 2\text{,}\) il n’y a que deux classes latérales de \(H\) dans \(A_4\text{.}\) Étant donné que l’une des classes latérales est \(H\) lui-même, les classes latérales droites et gauches doivent coïncider ; donc \(gH = Hg\) ou \(g H g^{-1} = H\) pour tout \(g \in A_4\text{.}\) Puisqu’il y a huit \(3\)-cycles dans \(A_4\text{,}\) au moins un \(3\)-cycle doit être dans \(H\text{.}\) Sans perte de généralité, supposons que \((1 \, 2 \, 3)\) est dans \(H\text{.}\) Alors \((1 \, 2 \, 3)^{-1} = (1 \, 3 \, 2)\) doit également être dans \(H\text{.}\) Puisque \(g h g^{-1} \in H\) pour tout \(g \in A_4\) et tout \(h \in H\) et

\begin{align*} (1 \, 2 \, 4)(1 \, 2 \, 3)(1 \, 2 \, 4)^{-1} & = (1 \, 2 \, 4)(1 \, 2 \, 3)(1 \, 4 \, 2) = (2 \, 4 \, 3)\\ (2 \, 4 \, 3)(1 \, 2 \, 3)(2 \, 4 \, 3)^{-1} & = (2 \, 4 \, 3)(1 \, 2 \, 3)(2 \, 3 \, 4) = (1 \, 4 \, 2) \end{align*}

nous pouvons conclure que \(H\) doit avoir au moins sept éléments

\begin{equation*} (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (2 \, 4 \, 3), (2 \, 4 \, 3)^{-1} = (2 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 2), (1 \, 4 \, 2)^{-1} = (1 \, 2 \, 4)\text{.} \end{equation*}

Donc \(A_4\) n’a pas de sous-groupe d’ordre \(6\text{.}\)

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En fait, nous pouvons en dire davantage sur les cycles de même longueur.

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Théorème 6.2.8.

Deux cycles \(\tau\) et \(\mu\) dans \(S_n\) ont la même longueur si et seulement s’il existe un \(\sigma \in S_n\) tel que \(\mu = \sigma \tau \sigma^{-1}\text{.}\)

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Démonstration.

Supposons que

\begin{align*} \tau & = (a_1, a_2, \ldots, a_k )\\ \mu & = (b_1, b_2, \ldots, b_k )\text{.} \end{align*}

Définissons \(\sigma\) comme la permutation

\begin{align*} \sigma( a_1 ) & = b_1\\ \sigma( a_2 ) & = b_2\\ & \vdots\\ \sigma( a_k ) & = b_k\text{.} \end{align*}

Alors \(\mu = \sigma \tau \sigma^{-1}\text{.}\)

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Réciproquement, supposons que \(\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k )\) est un \(k\)-cycle et que \(\sigma \in S_n\text{.}\) Si \(\sigma( a_i ) = b\) et \(\sigma( a_{(i \bmod k) + 1}) = b'\text{,}\) alors \(\mu( b) = b'\text{.}\) Donc,

\begin{equation*} \mu = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k) )\text{.} \end{equation*}

Puisque \(\sigma\) est bijective, \(\mu\) est un cycle de même longueur que \(\tau\text{.}\)

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