Proposition 22.1.1.
Si \(F\) est un corps fini, alors la caractéristique de \(F\) est \(p\text{,}\) où \(p\) est premier.
Section 22.1 Structure d’un corps fini
Rappelons qu’un corps \(F\) est de caractéristique \(p\) si \(p\) est le plus petit entier positif tel que pour tout élément non nul \(\alpha\) de \(F\text{,}\) on ait \(p \alpha = 0\text{.}\) Si un tel entier n’existe pas, alors \(F\) est de caractéristique \(0\text{.}\) D’après le Théorème 16.2.8, nous savons que \(p\) doit être premier. Supposons que \(F\) soit un corps fini à \(n\) éléments. Alors \(n \alpha = 0\) pour tout \(\alpha\) dans \(F\text{.}\) Par conséquent, la caractéristique de \(F\) doit être \(p\text{,}\) où \(p\) est un premier divisant \(n\text{.}\) Cette discussion est résumée dans la proposition suivante.
Tout au long de ce chapitre, nous supposerons que \(p\) est un nombre premier sauf mention contraire.
Proposition 22.1.2.
Si \(F\) est un corps fini de caractéristique \(p\text{,}\) alors l’ordre de \(F\) est \(p^n\) pour un certain \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)
Démonstration.
Soit \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow F\) l’homomorphisme d’anneaux défini par \(\phi(n) = n \cdot 1\text{.}\) Puisque la caractéristique de \(F\) est \(p\text{,}\) le noyau de \(\phi\) est \(p {\mathbb Z}\) et l’image de \(\phi\) est un sous-corps de \(F\) isomorphe à \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Nous noterons ce sous-corps \(K\text{.}\) Puisque \(F\) est un corps fini, c’est une extension finie de \(K\) et donc une extension algébrique de \(K\text{.}\) Supposons que \([F : K] = n\) soit la dimension de \(F\) en tant qu’espace vectoriel sur \(K\text{.}\) Il doit exister des éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\) tels que tout élément \(\alpha\) de \(F\) s’écrive de façon unique sous la forme
\begin{equation*}
\alpha = a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n\text{,}
\end{equation*}
où les \(a_i\) appartiennent à \(K\text{.}\) Puisqu’il y a \(p\) éléments dans \(K\text{,}\) il y a \(p^n\) combinaisons linéaires possibles des \(\alpha_i\text{.}\) Donc l’ordre de \(F\) est \(p^n\text{.}\)
Lemme 22.1.3. Rêve du premier cycle.
Soit \(p\) un premier et \(D\) un domaine intègre de caractéristique \(p\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
a^{p^n} + b^{p^n} = (a + b)^{p^n}
\end{equation*}
pour tout entier positif \(n\text{.}\)
Démonstration.
Nous allons prouver ce lemme par récurrence sur \(n\text{.}\) Nous pouvons utiliser la formule du binôme (voir Chapitre 2, Exemple 2.1.4) pour vérifier le cas \(n = 1\) ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
(a + b)^p = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} a^k b^{p - k}\text{.}
\end{equation*}
Si \(0 \lt k \lt p\text{,}\) alors
\begin{equation*}
\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p - k)!}
\end{equation*}
est divisible par \(p\text{,}\) puisque \(p\) ne peut pas diviser \(k!(p - k)!\text{.}\) Notons que \(D\) est un domaine intègre de caractéristique \(p\text{,}\) donc tous les termes de la somme sauf le premier et le dernier sont nuls. Ainsi, \((a + b)^p = a^p + b^p\text{.}\)
Supposons maintenant que le résultat soit vrai pour tout \(k\) avec \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Par hypothèse de récurrence,
\begin{equation*}
(a + b)^{p^{n + 1}} = ((a + b)^p)^{p^{n}} = (a^p + b^p)^{p^{n}} = (a^p)^{p^{n}} + (b^p)^{p^{n}} = a^{p^{n + 1}} + b^{p^{n + 1}}\text{.}
\end{equation*}
Donc le lemme est vrai pour \(n + 1\) et la preuve est complète.
Soit \(F\) un corps. Un polynôme \(f(x) \in F[x]\) de degré \(n\) est dit séparable s’il possède \(n\) racines distinctes dans le corps de décomposition de \(f(x)\) ; c’est-à-dire que \(f(x)\) est séparable lorsqu’il se factorise en facteurs linéaires distincts sur le corps de décomposition de \(f\text{.}\) Une extension \(E\) de \(F\) est une extension séparable de \(F\) si tout élément de \(E\) est racine d’un polynôme séparable de \(F[x]\text{.}\)
Exemple 22.1.4.
Le polynôme \(x^2 - 2\) est séparable sur \({\mathbb Q}\) car il se factorise en \((x - \sqrt{2}\, )(x + \sqrt{2}\, )\text{.}\) En fait, \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) est une extension séparable de \({\mathbb Q}\text{.}\) Soit \(\alpha = a + b \sqrt{2}\) un élément quelconque de \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\text{.}\) Si \(b = 0\text{,}\) alors \(\alpha\) est racine de \(x - a\text{.}\) Si \(b \neq 0\text{,}\) alors \(\alpha\) est racine du polynôme séparable
\begin{equation*}
x^2 - 2 a x + a^2 - 2 b^2 = (x - (a + b \sqrt{2}\, ))(x - (a - b \sqrt{2}\, ))\text{.}
\end{equation*}
Heureusement, nous disposons d’un test simple pour déterminer la séparabilité d’un polynôme. Soit
\begin{equation*}
f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n
\end{equation*}
un polynôme quelconque de \(F[x]\text{.}\) Définissons la dérivée de \(f(x)\) par
\begin{equation*}
f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\text{.}
\end{equation*}
Lemme 22.1.5.
Soit \(F\) un corps et \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Alors \(f(x)\) est séparable si et seulement si \(f(x)\) et \(f'(x)\) sont premiers entre eux.
Démonstration.
Supposons \(f(x)\) séparable. Alors \(f(x)\) se factorise sur une extension de \(F\) comme \(f(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{,}\) où \(\alpha_i \neq \alpha_j\) pour \(i \neq j\text{.}\) En dérivant \(f(x)\text{,}\) on obtient
\begin{align*}
f'(x) & = (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\\
& + (x - \alpha_1) (x - \alpha_3) \cdots (x - \alpha_n)\\
& + \cdots + (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_{n - 1})\text{.}
\end{align*}
Ainsi, \(f(x)\) et \(f'(x)\) n’ont pas de facteur commun.
Pour prouver la réciproque, nous allons montrer que la contraposée de l’énoncé est vraie. Supposons que \(f(x) = (x - \alpha)^k g(x)\text{,}\) avec \(k \gt 1\text{.}\) En dérivant, on a
\begin{equation*}
f'(x) = k ( x - \alpha)^{k-1} g(x) + (x- \alpha)^k g'(x)\text{.}
\end{equation*}
Donc \(f(x)\) et \(f'(x)\) ont un facteur commun.
Théorème 22.1.6.
Pour tout premier \(p\) et tout entier positif \(n\text{,}\) il existe un corps fini \(F\) à \(p^n\) éléments. De plus, tout corps d’ordre \(p^n\) est isomorphe au corps de décomposition de \(x^{p^n} -x\) sur \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
Démonstration.
Soit \(f(x) = x^{p^n} - x\) et \(F\) le corps de décomposition de \(f(x)\text{.}\) Alors par le Lemme 22.1.5, \(f(x)\) possède \(p^n\) zéros distincts dans \(F\text{,}\) puisque \(f'(x) = p^n x^{p^n - 1} - 1 = -1\) est premier avec \(f(x)\text{.}\) Nous affirmons que les racines de \(f(x)\) forment un sous-corps de \(F\text{.}\) Certes, 0 et 1 sont des zéros de \(f(x)\text{.}\) Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont des zéros de \(f(x)\text{,}\) alors \(\alpha + \beta\) et \(\alpha \beta\) sont aussi des zéros de \(f(x)\text{,}\) puisque \(\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = (\alpha + \beta)^{p^n}\) et \(\alpha^{p^n} \beta^{p^n} = (\alpha \beta)^{p^n}\text{.}\) Nous devons aussi montrer que l’inverse additif et l’inverse multiplicatif de chaque racine de \(f(x)\) sont des racines de \(f(x)\text{.}\) Pour tout zéro \(\alpha\) de \(f(x)\text{,}\) \(-\alpha\) est aussi un zéro de \(f(x)\text{,}\) car
\begin{equation*}
f(-\alpha) = (-\alpha)^{p^n} - (-\alpha) = -\alpha^{p^n} + \alpha = -(\alpha^{p^n} - \alpha) = 0\text{,}
\end{equation*}
pourvu que \(p\) soit impair. Si \(p = 2\text{,}\) alors
\begin{equation*}
f(-\alpha) = (-\alpha)^{2^n} - (-\alpha) = \alpha + \alpha = 0\text{.}
\end{equation*}
Si \(\alpha \neq 0\text{,}\) alors \((\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}\text{.}\) Puisque les zéros de \(f(x)\) forment un sous-corps de \(F\) et que \(f(x)\) se décompose dans ce sous-corps, le sous-corps doit être tout entier \(F\text{.}\)
Soit \(E\) un autre corps d’ordre \(p^n\text{.}\) Pour montrer que \(E\) est isomorphe à \(F\text{,}\) nous devons montrer que tout élément de \(E\) est une racine de \(f(x)\text{.}\) Certes, 0 est une racine de \(f(x)\text{.}\) Soit \(\alpha\) un élément non nul de \(E\text{.}\) L’ordre du groupe multiplicatif des éléments non nuls de \(E\) est \(p^n-1\) ; donc \(\alpha^{p^n-1} =1\text{,}\) soit \(\alpha^{p^n} -\alpha = 0\text{.}\) Puisque \(E\) contient \(p^n\) éléments, \(E\) est un corps de décomposition de \(f(x)\) ; or, par le Corollaire 21.2.8, le corps de décomposition d’un polynôme est unique à isomorphisme près.
Le corps fini unique à \(p^n\) éléments est appelé le corps de Galois d’ordre \(p^n\text{.}\) Nous noterons ce corps \(\gf(p^n)\text{.}\)
Théorème 22.1.7.
Tout sous-corps du corps de Galois \(\gf(p^n)\) a \(p^m\) éléments, où \(m\) divise \(n\text{.}\) Réciproquement, si \(m \mid n\) pour \(m \gt 0\text{,}\) alors il existe un unique sous-corps de \(\gf(p^n)\) isomorphe à \(\gf(p^m)\text{.}\)
Démonstration.
Soit \(F\) un sous-corps de \(E = \gf(p^n)\text{.}\) Alors \(F\) est une extension de corps de \(K\) contenant \(p^m\) éléments, où \(K\) est isomorphe à \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Donc \(m \mid n\text{,}\) puisque \([E:K] = [E:F][F:K]\text{.}\)
Pour prouver la réciproque, supposons que \(m \mid n\) pour un certain \(m \gt 0\text{.}\) Alors \(p^m -1\) divise \(p^n -1\text{.}\) Par conséquent, \(x^{p^m -1} - 1\) divise \(x^{p^n -1} -1\text{.}\) Donc \(x^{p^m} - x\) divise \(x^{p^n} - x\text{,}\) et tout zéro de \(x^{p^m} - x\) est aussi un zéro de \(x^{p^n} - x\text{.}\) Ainsi, \(\gf(p^n)\) contient, comme sous-corps, un corps de décomposition de \(x^{p^m} - x\text{,}\) qui est nécessairement isomorphe à \(\gf(p^m)\text{.}\)
Exemple 22.1.8.
Un treillis d’inclusions de corps dont le niveau supérieur est un corps de Galois à \(p^{24}\) éléments. Le deuxième niveau contient des corps de Galois à \(p^8\) et \(p^{12}\) éléments, inclus dans le niveau supérieur. Le troisième niveau contient des corps de Galois à \(p^4\) éléments (inclus dans les corps à \(p^8\) et \(p^{12}\) éléments) et à \(p^6\) éléments (inclus dans le corps à \(p^{12}\) éléments). Le quatrième niveau contient des corps de Galois à \(p^2\) éléments (inclus dans les corps à \(p^4\) et \(p^{16}\) éléments) et à \(p^3\) éléments (inclus dans le corps à \(p^6\) éléments). Le niveau inférieur est un corps de Galois à \(p\) éléments (inclus dans les corps à \(p^2\) et \(p^3\) éléments).
À chaque corps \(F\) est associé un groupe multiplicatif des éléments non nuls de \(F\text{,}\) noté \(F^*\text{.}\) Le groupe multiplicatif de tout corps fini est cyclique. Ce résultat découle du résultat plus général que nous allons prouver dans le théorème suivant.
Théorème 22.1.10.
Si \(G\) est un sous-groupe fini de \(F^\ast\text{,}\) le groupe multiplicatif des éléments non nuls d’un corps \(F\text{,}\) alors \(G\) est cyclique.
Démonstration.
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(F^\ast\) d’ordre \(n\text{.}\) Par le théorème fondamental des groupes abéliens finis (Théorème 13.1.4),
\begin{equation*}
G \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}\text{,}
\end{equation*}
où \(n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}\) et les \(p_1, \ldots,
p_k\) sont des nombres premiers (pas nécessairement distincts). Soit \(m\) le plus petit commun multiple de \(p_1^{e_1}, \ldots,
p_k^{e_k}\text{.}\) Alors \(G\) contient un élément d’ordre \(m\text{.}\) Puisque tout \(\alpha\) dans \(G\) satisfait \(x^r - 1\) pour un certain \(r\) divisant \(m\text{,}\) \(\alpha\) est aussi une racine de \(x^m - 1\text{.}\) Puisque \(x^m -1\) a au plus \(m\) racines dans \(F\text{,}\) on a \(n \leq m\text{.}\) Par ailleurs, nous savons que \(m \leq |G|\) ; donc \(m = n\text{.}\) Ainsi, \(G\) contient un élément d’ordre \(n\) et est cyclique.
Corollaire 22.1.11.
Le groupe multiplicatif de tous les éléments non nuls d’un corps fini est cyclique.
Corollaire 22.1.12.
Démonstration.
Soit \(\alpha\) un générateur du groupe cyclique \(E^{\ast}\) des éléments non nuls de \(E\text{.}\) Alors \(E = F( \alpha )\text{.}\)
Exemple 22.1.13.
Le corps fini \(\gf(2^4)\) est isomorphe au corps \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle 1 + x + x^4 \rangle\text{.}\) Ainsi, les éléments de \(\gf(2^4)\) peuvent être pris comme
\begin{equation*}
\{ a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + a_3 \alpha^3 : a_i \in {\mathbb Z}_2 \text{ et } 1 + \alpha + \alpha^4 = 0 \}\text{.}
\end{equation*}
En se souvenant que \(1 + \alpha +\alpha^4 = 0\text{,}\) on additionne et multiplie les éléments de \(\gf(2^4)\) exactement comme on additionne et multiplie des polynômes. Le groupe multiplicatif de \(\gf(2^4)\) est isomorphe à \({\mathbb Z}_{15}\) avec générateur \(\alpha\) :
\begin{align*}
& \alpha^1 = \alpha & & \alpha^6 = \alpha^2 + \alpha^3 & & \alpha^{11} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\
& \alpha^2 = \alpha^2 & & \alpha^7 = 1 + \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{12} = 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\
& \alpha^3 = \alpha^3 & & \alpha^8 = 1 + \alpha^2 & & \alpha^{13} = 1 + \alpha^2 + \alpha^3 &\\
& \alpha^4 = 1 + \alpha & & \alpha^9 = \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{14} = 1 + \alpha^3 &\\
&\alpha^5 = \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{10} = 1 + \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{15} = 1. &
\end{align*}
