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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 21.1 Extensions de corps

Un corps \(E\) est un corps d’extension d’un corps \(F\) si \(F\) est un sous-corps de \(E\text{.}\) Le corps \(F\) est appelé le corps de base. On écrit \(F \subset E\text{.}\)
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Exemple 21.1.1.

Par exemple, soit
\begin{equation*} F = {\mathbb Q}( \sqrt{2}\,) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \} \end{equation*}
et soit \(E = {\mathbb Q }( \sqrt{2} + \sqrt{3}\,)\) le plus petit corps contenant à la fois \({\mathbb Q}\) et \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\text{.}\) \(E\) et \(F\) sont tous deux des corps d’extension des rationnels. Nous affirmons que \(E\) est un corps d’extension de \(F\text{.}\) Pour le voir, il suffit de montrer que \(\sqrt{2}\) est dans \(E\text{.}\) Puisque \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) est dans \(E\text{,}\) \(1 / (\sqrt{2} + \sqrt{3}\,) = \sqrt{3} - \sqrt{2}\) doit aussi être dans \(E\text{.}\) En prenant des combinaisons linéaires de \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) et \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\text{,}\) nous trouvons que \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) doivent tous deux être dans \(E\text{.}\)
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Exemple 21.1.2.

Soit \(p(x) = x^2 + x + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Puisque ni 0 ni 1 n’est une racine de ce polynôme, nous savons que \(p(x)\) est irréductible sur \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Nous allons construire un corps d’extension de \({\mathbb Z}_2\) contenant un élément \(\alpha\) tel que \(p(\alpha) = 0\text{.}\) Par le Théorème 17.3.12, l’idéal \(\langle p(x) \rangle\) engendré par \(p(x)\) est maximal ; donc \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\) est un corps. Soit \(f(x) + \langle p(x) \rangle\) un élément quelconque de \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\text{.}\) Par l’algorithme de division,
\begin{equation*} f(x) = (x^2 + x + 1) q(x) + r(x)\text{,} \end{equation*}
où le degré de \(r(x)\) est inférieur au degré de \(x^2 + x + 1\text{.}\) Donc,
\begin{equation*} f(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle = r(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle\text{.} \end{equation*}
Les seules possibilités pour \(r(x)\) sont alors \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(x\) et \(1 + x\text{.}\) Par conséquent, \(E = {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^2 + x + 1 \rangle\) est un corps à quatre éléments et doit être un corps d’extension de \({\mathbb Z}_2\text{,}\) contenant un zéro \(\alpha\) de \(p(x)\text{.}\) Le corps \({\mathbb Z}_2( \alpha)\) est constitué des éléments
\begin{align*} 0 + 0 \alpha & = 0\\ 1 + 0 \alpha & = 1\\ 0 + 1 \alpha & = \alpha\\ 1 + 1 \alpha & = 1 + \alpha\text{.} \end{align*}
Remarquons que \({\alpha}^2 + {\alpha} + 1 = 0\) ; ainsi, si nous calculons \((1 + \alpha)^2\text{,}\)
\begin{equation*} (1 + \alpha)(1 + \alpha)= 1 + \alpha + \alpha + (\alpha)^2 = \alpha\text{.} \end{equation*}
Les autres calculs s’effectuent de manière similaire. Nous résumons ces calculs dans les tables suivantes, qui nous indiquent comment additionner et multiplier les éléments dans \(E\text{.}\)
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\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} + & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \hline 0 & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ 1 & 1 & 0 & 1 + \alpha & \alpha \\ \alpha & \alpha & 1 + \alpha & 0 & 1 \\ 1 + \alpha & 1 + \alpha & \alpha & 1 & 0 \end{array} \end{equation*}
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Figure 21.1.3. Table d’addition pour \({\mathbb Z}_2(\alpha)\)
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\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \cdot & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \alpha & 0 & \alpha & 1 + \alpha & 1 \\ 1 + \alpha & 0 & 1 + \alpha & 1 & \alpha \end{array} \end{equation*}
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Figure 21.1.4. Table de multiplication pour \({\mathbb Z}_2(\alpha)\)
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Le théorème suivant, dû à Kronecker, est si important et si fondamental pour notre compréhension des corps qu’il est souvent connu sous le nom de Théorème fondamental de la théorie des corps.
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Démonstration.

Pour prouver ce théorème, nous emploierons la méthode utilisée pour construire l’Exemple 21.1.2. On peut clairement supposer que \(p(x)\) est un polynôme irréductible. Nous souhaitons trouver un corps d’extension \(E\) de \(F\) contenant un élément \(\alpha\) tel que \(p(\alpha) = 0\text{.}\) L’idéal \(\langle p(x) \rangle\) engendré par \(p(x)\) est un idéal maximal dans \(F[x]\) par le Théorème 17.3.12 ; donc \(F[x]/\langle p(x) \rangle\) est un corps. Nous affirmons que \(E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) est le corps souhaité.
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Nous montrons d’abord que \(E\) est un corps d’extension de \(F\text{.}\) Nous pouvons définir un homomorphisme d’anneaux commutatifs par l’application \(\psi:F \rightarrow F[x]/\langle p(x) \rangle\text{,}\) où \(\psi(a) = a + \langle p(x)\rangle\) pour \(a \in F\text{.}\) Il est facile de vérifier que \(\psi\) est bien un homomorphisme d’anneaux. Observons que
\begin{equation*} \psi( a ) + \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) + (b + \langle p(x) \rangle) = (a + b) + \langle p(x) \rangle = \psi( a + b ) \end{equation*}
et
\begin{equation*} \psi( a ) \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) (b + \langle p(x) \rangle) = ab + \langle p(x) \rangle = \psi( ab )\text{.} \end{equation*}
Pour montrer que \(\psi\) est injective, supposons que
\begin{equation*} a + \langle p(x) \rangle = \psi(a) = \psi(b) = b + \langle p(x) \rangle\text{.} \end{equation*}
Alors \(a - b\) est un multiple de \(p(x)\text{,}\) car il appartient à l’idéal \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) Puisque \(p(x)\) est un polynôme non constant, la seule possibilité est que \(a - b = 0\text{.}\) Par conséquent, \(a = b\) et \(\psi\) est injective. Puisque \(\psi\) est injective, nous pouvons identifier \(F\) avec le sous-corps \(\{ a + \langle p(x) \rangle : a \in F \}\) de \(E\) et voir \(E\) comme un corps d’extension de \(F\text{.}\)
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Il nous reste à montrer que \(p(x)\) a un zéro \(\alpha \in E\text{.}\) Posons \(\alpha = x + \langle p(x) \rangle\text{.}\) Alors \(\alpha\) est dans \(E\text{.}\) Si \(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{,}\) alors
\begin{align*} p( \alpha ) & = a_0 + a_1( x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + a_n ( x + \langle p(x) \rangle)^n\\ & = a_0 + ( a_1 x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + (a_n x^n + \langle p(x) \rangle)\\ & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \langle p(x) \rangle\\ & = 0 + \langle p(x) \rangle\text{.} \end{align*}
Ainsi, nous avons trouvé un élément \(\alpha \in E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) tel que \(\alpha\) est un zéro de \(p(x)\text{.}\)
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Exemple 21.1.6.

Soit \(p(x) = x^5 + x^4 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Alors \(p(x)\) a pour facteurs irréductibles \(x^2 + x + 1\) et \(x^3 + x + 1\text{.}\) Pour un corps d’extension \(E\) de \({\mathbb Z}_2\) tel que \(p(x)\) ait une racine dans \(E\text{,}\) on peut prendre \(E\) égal à \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^2 + x + 1 \rangle\) ou à \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\text{.}\) Nous laissons en exercice la démonstration que \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) est un corps à \(2^3 = 8\) éléments.
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Sous-section 21.1.1 Éléments algébriques

Un élément \(\alpha\) dans un corps d’extension \(E\) sur \(F\) est algébrique sur \(F\) si \(f(\alpha)=0\) pour un certain polynôme non nul \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Un élément de \(E\) qui n’est pas algébrique sur \(F\) est transcendant sur \(F\text{.}\) Un corps d’extension \(E\) d’un corps \(F\) est une extension algébrique de \(F\) si tout élément de \(E\) est algébrique sur \(F\text{.}\) Si \(E\) est un corps d’extension de \(F\) et que \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) sont contenus dans \(E\text{,}\) nous notons le plus petit corps contenant \(F\) et \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) par \(F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{.}\) Si \(E = F( \alpha )\) pour un certain \(\alpha \in E\text{,}\) alors \(E\) est une extension simple de \(F\text{.}\)
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Exemple 21.1.7.

\(\sqrt{2}\) et \(i\) sont tous deux algébriques sur \({\mathbb Q}\) car ce sont des zéros des polynômes \(x^2 -2\) et \(x^2 + 1\text{,}\) respectivement. Clairement \(\pi\) et \(e\) sont algébriques sur les réels ; cependant, le fait qu’ils soient transcendants sur \({\mathbb Q}\) n’est pas trivial. Les nombres de \({\mathbb R}\) qui sont algébriques sur \({\mathbb Q}\) sont en fait assez rares. Presque tous les nombres réels sont transcendants sur \({\mathbb Q}\text{.}\)
 1 
La probabilité qu’un nombre réel choisi au hasard dans l’intervalle \([0, 1]\) soit transcendant sur les rationnels est un.
(Dans de nombreux cas nous ne savons pas si un nombre particulier est transcendant ou non ; par exemple, on ne sait toujours pas si \(\pi + e\) est transcendant ou algébrique.)
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Un nombre complexe qui est algébrique sur \({\mathbb Q}\) est un nombre algébrique. Un nombre transcendant est un élément de \({\mathbb C}\) qui est transcendant sur \({\mathbb Q}\text{.}\)
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Exemple 21.1.8.

Nous allons montrer que \(\sqrt{2 + \sqrt{3} }\) est algébrique sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Si \(\alpha = \sqrt{2 + \sqrt{3} }\text{,}\) alors \(\alpha^2 = 2 + \sqrt{3}\text{.}\) Donc \(\alpha^2 - 2 = \sqrt{3}\) et \(( \alpha^2 - 2)^2 = 3\text{.}\) Puisque \(\alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0\text{,}\) il est vrai que \(\alpha\) est un zéro du polynôme \(x^4 - 4 x^2 + 1 \in {\mathbb Q}[x]\text{.}\)
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Il est très facile de donner un exemple de corps d’extension \(E\) sur un corps \(F\text{,}\) où \(E\) contient un élément transcendant sur \(F\text{.}\) Le théorème suivant caractérise les extensions transcendantes.
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Démonstration.

Soit \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) l’homomorphisme d’évaluation en \(\alpha\text{.}\) Alors \(\alpha\) est transcendant sur \(F\) si et seulement si \(\phi_{\alpha} (p(x)) = p(\alpha) \neq 0\) pour tout polynôme non constant \(p(x) \in F[x]\text{.}\) Ceci est vrai si et seulement si \(\ker \phi_{\alpha} = \{ 0 \}\) ; c’est-à-dire que c’est vrai exactement lorsque \(\phi_{\alpha}\) est injective. Donc \(E\) doit contenir une copie de \(F[x]\text{.}\) Le plus petit corps contenant \(F[x]\) est le corps des fractions \(F(x)\text{.}\) Par le Théorème 18.1.4, \(E\) doit contenir une copie de ce corps.
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Nous avons une situation plus intéressante dans le cas des extensions algébriques.
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Démonstration.

Soit \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) l’homomorphisme d’évaluation en \(\alpha\text{.}\) Le noyau de \(\phi_{\alpha}\) est un idéal principal engendré par un certain \(p(x) \in F[x]\) avec \(\deg p(x) \geq 1\text{.}\) Un tel polynôme existe, puisque \(F[x]\) est un domaine à idéaux principaux et \(\alpha\) est algébrique. L’idéal \(\langle p(x) \rangle\) est constitué exactement des éléments de \(F[x]\) ayant \(\alpha\) comme zéro. Si \(f( \alpha ) = 0\) et \(f(x)\) n’est pas le polynôme nul, alors \(f(x) \in \langle p(x) \rangle\) et \(p(x)\) divise \(f(x)\text{.}\) Donc \(p(x)\) est un polynôme de degré minimal ayant \(\alpha\) comme zéro. Tout autre polynôme de même degré ayant \(\alpha\) comme zéro doit être de la forme \(\beta p( x)\) pour un certain \(\beta \in F\text{.}\)
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Supposons maintenant que \(p(x) = r(x) s(x)\) est une factorisation de \(p(x)\) en polynômes de degré inférieur. Puisque \(p( \alpha ) = 0\text{,}\) \(r( \alpha ) s( \alpha ) = 0\) ; par conséquent, soit \(r( \alpha )=0\) soit \(s( \alpha ) = 0\text{,}\) ce qui contredit le fait que \(p\) est de degré minimal. Donc \(p(x)\) doit être irréductible.
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Soit \(E\) un corps d’extension de \(F\) et \(\alpha \in E\) algébrique sur \(F\text{.}\) Le polynôme unitaire unique \(p(x)\) du théorème précédent est appelé le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(F\text{.}\) Le degré de \(p(x)\) est le degré de \(\alpha\) sur \(F\).
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Exemple 21.1.11.

Soient \(f(x) = x^2 - 2\) et \(g(x) = x^4 - 4 x^2 + 1\text{.}\) Ces polynômes sont les polynômes minimaux de \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{2 + \sqrt{3} }\text{,}\) respectivement.
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Démonstration.

Soit \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) l’homomorphisme d’évaluation en \(\alpha\text{.}\) Le noyau de cette application est \(\langle p(x) \rangle\text{,}\) où \(p(x)\) est le polynôme minimal de \(\alpha\text{.}\) Par le premier théorème d’isomorphisme pour les anneaux, l’image de \(\phi_{\alpha}\) dans \(E\) est isomorphe à \(F( \alpha )\) puisqu’elle contient à la fois \(F\) et \(\alpha\text{.}\)
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Démonstration.

Puisque \(\phi_{\alpha} ( F[x] ) \cong F( \alpha )\text{,}\) tout élément de \(E = F( \alpha )\) doit être de la forme \(\phi_{\alpha} ( f(x) ) = f( \alpha )\text{,}\) où \(f(\alpha)\) est un polynôme en \(\alpha\) à coefficients dans \(F\text{.}\) Soit
\begin{equation*} p(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0 \end{equation*}
le polynôme minimal de \(\alpha\text{.}\) Alors \(p( \alpha ) = 0\) ; donc
\begin{equation*} {\alpha}^n = - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0\text{.} \end{equation*}
De même,
\begin{align*} {\alpha}^{n + 1} & = {\alpha} {\alpha}^n\\ & = - a_{n - 1} {\alpha}^n - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}\\ & = - a_{n - 1}( - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0) - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}\text{.} \end{align*}
En continuant ainsi, on peut exprimer tout monôme \({\alpha}^m\text{,}\) \(m \geq n\text{,}\) comme une combinaison linéaire de puissances de \({\alpha}\) inférieures à \(n\text{.}\) Donc tout \(\beta \in F( \alpha )\) peut s’écrire comme
\begin{equation*} \beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n - 1} \alpha^{n - 1}\text{.} \end{equation*}
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Pour montrer l’unicité, supposons que
\begin{equation*} \beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n-1} \alpha^{n-1} = c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n - 1} \alpha^{n - 1} \end{equation*}
pour \(b_i\) et \(c_i\) dans \(F\text{.}\) Alors
\begin{equation*} g(x) = (b_0 - c_0) + (b_1 - c_1) x + \cdots + (b_{n - 1} - c_{n - 1})x^{n - 1} \end{equation*}
est dans \(F[x]\) et \(g( \alpha ) = 0\text{.}\) Puisque le degré de \(g(x)\) est inférieur au degré de \(p( x )\text{,}\) le polynôme irréductible de \(\alpha\text{,}\) \(g(x)\) doit être le polynôme nul. Par conséquent,
\begin{equation*} b_0 - c_0 = b_1 - c_1 = \cdots = b_{n - 1} - c_{n - 1} = 0\text{,} \end{equation*}
soit \(b_i = c_i\) pour \(i = 0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) Nous avons donc montré l’unicité.
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Exemple 21.1.14.

Puisque \(x^2 + 1\) est irréductible sur \({\mathbb R}\text{,}\) \(\langle x^2 + 1 \rangle\) est un idéal maximal dans \({\mathbb R}[x]\text{.}\) Donc \(E = {\mathbb R}[x]/\langle x^2 + 1 \rangle\) est un corps d’extension de \({\mathbb R}\) qui contient une racine de \(x^2 + 1\text{.}\) Soit \(\alpha = x + \langle x^2 + 1 \rangle\text{.}\) On peut identifier \(E\) avec les nombres complexes. Par la Proposition 21.1.12, \(E\) est isomorphe à \({\mathbb R}( \alpha ) = \{ a + b \alpha : a, b \in {\mathbb R} \}\text{.}\) Nous savons que \(\alpha^2 = -1\) dans \(E\text{,}\) puisque
\begin{align*} \alpha^2 + 1 & = (x + \langle x^2 + 1 \rangle)^2 + (1 + \langle x^2 + 1 \rangle)\\ & = (x^2 + 1) + \langle x^2 + 1 \rangle\\ & = 0\text{.} \end{align*}
Donc nous avons un isomorphisme de \({\mathbb R}( \alpha )\) avec \({\mathbb C}\) défini par l’application qui envoie \(a + b \alpha\) sur \(a + bi\text{.}\)
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Soit \(E\) un corps d’extension d’un corps \(F\text{.}\) Si nous considérons \(E\) comme un espace vectoriel sur \(F\text{,}\) alors nous pouvons faire appel aux outils de l’algèbre linéaire pour aborder les problèmes que nous rencontrerons dans notre étude des corps. Les éléments du corps \(E\) sont des vecteurs ; les éléments du corps \(F\) sont des scalaires. Nous pouvons concevoir l’addition dans \(E\) comme l’addition de vecteurs. Lorsque nous multiplions un élément de \(E\) par un élément de \(F\text{,}\) nous multiplions un vecteur par un scalaire. Cette vision des extensions de corps est particulièrement féconde si un corps d’extension \(E\) de \(F\) est un espace vectoriel de dimension finie sur \(F\text{,}\) et le Théorème 21.1.13 affirme que \(E = F(\alpha )\) est un espace vectoriel de dimension finie sur \(F\) avec base \(\{ 1, \alpha, {\alpha}^2, \ldots, {\alpha}^{n - 1} \}\text{.}\)
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Si un corps d’extension \(E\) d’un corps \(F\) est un espace vectoriel de dimension finie \(n\) sur \(F\text{,}\) alors nous disons que \(E\) est une extension finie de degré \(n\) sur \(F\). Nous écrivons
\begin{equation*} [E:F]= n \end{equation*}
pour indiquer la dimension de \(E\) sur \(F\text{.}\)
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Démonstration.

Soit \(\alpha \in E\text{.}\) Puisque \([E:F] = n\text{,}\) les éléments
\begin{equation*} 1, \alpha, \ldots, {\alpha}^n \end{equation*}
ne peuvent pas être linéairement indépendants. Donc il existe \(a_i \in F\text{,}\) non tous nuls, tels que
\begin{equation*} a_n {\alpha}^n + a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} + \cdots + a_1 \alpha + a_0 = 0\text{.} \end{equation*}
Donc,
\begin{equation*} p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in F[x] \end{equation*}
est un polynôme non nul avec \(p( \alpha ) = 0\text{.}\)
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Remarque 21.1.16.

Le Théorème 21.1.15 affirme que toute extension finie d’un corps \(F\) est une extension algébrique. La réciproque est fausse, cependant. Nous laisserons en exercice la démonstration que l’ensemble de tous les éléments de \({\mathbb R}\) qui sont algébriques sur \({\mathbb Q}\) forme une extension infinie de \({\mathbb Q}\text{.}\)
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Le théorème suivant est un théorème de comptage, similaire au théorème de Lagrange en théorie des groupes. Le Théorème 21.1.17 sera un outil extrêmement utile dans notre étude des extensions finies de corps.
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Démonstration.

Soit \(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}\) une base de \(E\) comme espace vectoriel sur \(F\) et \(\{ \beta_1, \ldots, \beta_m \}\) une base de \(K\) comme espace vectoriel sur \(E\text{.}\) Nous affirmons que \(\{ \alpha_i \beta_j \}\) est une base de \(K\) sur \(F\text{.}\) Nous allons d’abord montrer que ces vecteurs engendrent \(K\text{.}\) Soit \(u \in K\text{.}\) Alors \(u = \sum_{j = 1}^{m} b_j \beta_j\) et \(b_j = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i\text{,}\) où \(b_j \in E\) et \(a_{ij} \in F\text{.}\) Alors
\begin{equation*} u = \sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = \sum_{i,j} a_{ij} ( \alpha_i \beta_j )\text{.} \end{equation*}
Donc les \(mn\) vecteurs \(\alpha_i \beta_j\) doivent engendrer \(K\) sur \(F\text{.}\)
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Nous devons montrer que \(\{ \alpha_i \beta_j \}\) sont linéairement indépendants. Rappelons qu’un ensemble de vecteurs \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) dans un espace vectoriel \(V\) sont linéairement indépendants si
\begin{equation*} c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0 \end{equation*}
implique que
\begin{equation*} c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\text{.} \end{equation*}
Soit
\begin{equation*} u = \sum_{i,j} c_{ij} ( \alpha_i \beta_j ) = 0 \end{equation*}
pour \(c_{ij} \in F\text{.}\) Nous devons montrer que tous les \(c_{ij}\) sont nuls. On peut réécrire \(u\) comme
\begin{equation*} \sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} c_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = 0\text{,} \end{equation*}
où \(\sum_i c_{ij} \alpha_i \in E\text{.}\) Puisque les \(\beta_j\) sont linéairement indépendants sur \(E\text{,}\) il doit être le cas que
\begin{equation*} \sum_{i = 1}^n c_{ij} \alpha_i = 0 \end{equation*}
pour tout \(j\text{.}\) Or les \(\alpha_j\) sont aussi linéairement indépendants sur \(F\text{.}\) Donc \(c_{ij} = 0\) pour tout \(i\) et \(j\text{,}\) ce qui complète la preuve.
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Le corollaire suivant se prouve facilement par récurrence.
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Démonstration.

Nous savons que \(\deg p(x) = [F( \alpha ) : F ]\) et \(\deg q(x) = [F( \beta ) : F ]\text{.}\) Puisque \(F \subset F( \beta ) \subset F( \alpha )\text{,}\)
\begin{equation*} [F( \alpha ) : F ]= [ F( \alpha ) : F( \beta ) ] [ F( \beta ) : F ]\text{.} \end{equation*}
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Exemple 21.1.20.

Déterminons un corps d’extension de \({\mathbb Q}\) contenant \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\text{.}\) Il est facile de déterminer que le polynôme minimal de \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) est \(x^4 - 16 x^2 + 4\text{.}\) Il s’ensuit que
\begin{equation*} [{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, ) : {\mathbb Q} ] = 4\text{.} \end{equation*}
Nous savons que \(\{ 1, \sqrt{3}\, \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Donc \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) ne peut pas être dans \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\) Il s’ensuit que \(\sqrt{5}\) ne peut pas non plus être dans \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\) Donc \(\{ 1, \sqrt{5}\, \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = ( {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, ))( \sqrt{5}\, )\) sur \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) et \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{3} \sqrt{5} = \sqrt{15}\, \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\) sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Cet exemple montre qu’il est possible que certaines extensions \(F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) soient en fait des extensions simples de \(F\) même lorsque \(n \gt 1\text{.}\)
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Exemple 21.1.21.

Calculons une base de \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5} \, i )\text{,}\) où \(\sqrt{5}\) est la racine carrée positive de \(5\) et \(\sqrt[3]{5}\) est la racine cubique réelle de \(5\text{.}\) Nous savons que \(\sqrt{5} \, i \notin {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )\text{,}\) donc
\begin{equation*} [ {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i) : {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )] = 2\text{.} \end{equation*}
Il est facile de déterminer que \(\{ 1, \sqrt{5}i\, \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\) sur \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}\, )\text{.}\) Nous savons aussi que \(\{ 1, \sqrt[3]{5}, (\sqrt[3]{5}\, )^2 \}\) est une base de \({\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )\) sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Donc une base de \({\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\) sur \({\mathbb Q}\) est
\begin{equation*} \{ 1, \sqrt{5}\, i, \sqrt[3]{5}, (\sqrt[3]{5}\, )^2, (\sqrt[6]{5}\, )^5 i, (\sqrt[6]{5}\, )^7 i = 5 \sqrt[6]{5}\, i \text{ ou } \sqrt[6]{5}\, i \}\text{.} \end{equation*}
Remarquons que \(\sqrt[6]{5}\, i\) est un zéro de \(x^6 + 5\text{.}\) On peut montrer que ce polynôme est irréductible sur \({\mathbb Q}\) en utilisant le critère d’Eisenstein, avec \(p = 5\text{.}\) Par conséquent,
\begin{equation*} {\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i) \subset {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\text{.} \end{equation*}
Mais il doit être le cas que \({\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i) = {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\text{,}\) puisque le degré de ces deux extensions est \(6\text{.}\)
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Démonstration.

(1) \(\Rightarrow\) (2). Soit \(E\) une extension algébrique finie de \(F\text{.}\) Alors \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie sur \(F\) et il existe une base constituée d’éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dans \(E\) tels que \(E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{.}\) Chaque \(\alpha_i\) est algébrique sur \(F\) par le Théorème 21.1.15.
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(2) \(\Rightarrow\) (3). Supposons que \(E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{,}\) où chaque \(\alpha_i\) est algébrique sur \(F\text{.}\) Alors
\begin{equation*} E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1} ) \supset \cdots \supset F( \alpha_1 ) \supset F\text{,} \end{equation*}
où chaque corps \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\) est algébrique sur \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{.}\)
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(3) \(\Rightarrow\) (1). Soit
\begin{equation*} E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1} ) \supset \cdots \supset F( \alpha_1 ) \supset F\text{,} \end{equation*}
où chaque corps \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\) est algébrique sur \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{.}\) Puisque
\begin{equation*} F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1} )(\alpha_i) \end{equation*}
est une extension simple et que \(\alpha_i\) est algébrique sur \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{,}\) il s’ensuit que
\begin{equation*} [ F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) : F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1} )] \end{equation*}
est fini pour chaque \(i\text{.}\) Donc \([E : F]\) est fini.
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Sous-section 21.1.2 Clôture algébrique

Étant donné un corps \(F\text{,}\) la question se pose de savoir si l’on peut ou non trouver un corps \(E\) tel que tout polynôme \(p(x)\) ait une racine dans \(E\text{.}\) Cela nous amène au théorème suivant.
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Démonstration.

Soient \(\alpha, \beta \in E\) algébriques sur \(F\text{.}\) Alors \(F( \alpha, \beta )\) est une extension finie de \(F\text{.}\) Puisque tout élément de \(F( \alpha, \beta )\) est algébrique sur \(F\text{,}\) \(\alpha \pm \beta\text{,}\) \(\alpha \beta\) et \(\alpha / \beta\) (\(\beta \neq 0\)) sont tous algébriques sur \(F\text{.}\) Par conséquent, l’ensemble des éléments de \(E\) qui sont algébriques sur \(F\) forme un corps.
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Soit \(E\) un corps d’extension d’un corps \(F\text{.}\) Nous définissons la clôture algébrique d’un corps \(F\) dans \(E\) comme le corps constitué de tous les éléments de \(E\) qui sont algébriques sur \(F\text{.}\) Un corps \(F\) est algébriquement clos si tout polynôme non constant de \(F[x]\) a une racine dans \(F\text{.}\)
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Démonstration.

Soit \(F\) un corps algébriquement clos. Si \(p(x) \in F[x]\) est un polynôme non constant, alors \(p(x)\) a un zéro dans \(F\text{,}\) disons \(\alpha\text{.}\) Donc \(x-\alpha\) doit être un facteur de \(p(x)\) et donc \(p(x) = (x - \alpha) q_1(x)\text{,}\) où \(\deg q_1(x) = \deg p(x) - 1\text{.}\) Continuons ce processus avec \(q_1(x)\) pour trouver une factorisation
\begin{equation*} p(x) = (x - \alpha)(x - \beta)q_2(x)\text{,} \end{equation*}
où \(\deg q_2(x) = \deg p(x) -2\text{.}\) Le processus doit éventuellement s’arrêter puisque le degré de \(p(x)\) est fini.
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Réciproquement, supposons que tout polynôme non constant \(p(x)\) de \(F[x]\) se factorise en facteurs linéaires. Soit \(ax - b\) un tel facteur. Alors \(p( b/a ) = 0\text{.}\) Par conséquent, \(F\) est algébriquement clos.
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Démonstration.

Soit \(E\) une extension algébrique de \(F\) ; alors \(F \subset E\text{.}\) Pour \(\alpha \in E\text{,}\) le polynôme minimal de \(\alpha\) est \(x - \alpha\text{.}\) Donc \(\alpha \in F\) et \(F = E\text{.}\)
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Le fait que tout corps possède une unique clôture algébrique n’est pas trivial. La preuve n’est pas extrêmement difficile, mais requiert une théorie des ensembles assez sophistiquée. Nous renvoyons le lecteur à [3], [4] ou [8] pour une preuve de ce résultat.
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Nous énonçons maintenant le Théorème fondamental de l’algèbre, prouvé pour la première fois par Gauss à l’âge de 22 ans dans sa thèse de doctorat. Ce théorème affirme que tout polynôme à coefficients dans les nombres complexes a une racine dans les nombres complexes. La preuve de ce théorème sera donnée dans le Chapitre 23.
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