Théorème 21.3.1.
L’ensemble de tous les nombres réels constructibles forme un sous-corps \(F\) du corps des nombres réels.
Section 21.3 Constructions géométriques
Dans la Grèce antique, trois problèmes classiques furent posés. Ces problèmes sont de nature géométrique et font appel aux constructions à la règle et au compas telles qu’on les étudie aujourd’hui au lycée ; c’est-à-dire que nous n’avons le droit d’utiliser qu’une règle et un compas pour les résoudre. Les problèmes peuvent être énoncés comme suit.
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Étant donné un angle arbitraire, peut-on le trissecter en trois sous-angles égaux en utilisant uniquement une règle et un compas ?
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Étant donné un cercle arbitraire, peut-on construire un carré de même aire en utilisant uniquement une règle et un compas ?
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Étant donné un cube, peut-on construire l’arête d’un autre cube ayant deux fois le volume de l’original ? Là encore, nous n’avons le droit d’utiliser qu’une règle et un compas pour effectuer la construction.
Après avoir intrigué les mathématiciens pendant plus de deux mille ans, chacune de ces constructions fut finalement reconnue impossible. Nous utiliserons la théorie des corps pour fournir une preuve que les solutions n’existent pas. Il est tout à fait remarquable que la solution longtemps recherchée à chacun de ces trois problèmes géométriques soit venue de l’algèbre abstraite.
Commençons par déterminer plus précisément ce que nous entendons par règle et compas, et examinons également la nature de ces problèmes un peu plus en profondeur. Pour commencer, une règle n’est pas un instrument de mesure. On ne peut pas mesurer des longueurs arbitraires avec une règle. C’est simplement un outil pour tracer une droite passant par deux points. L’affirmation que la trissection d’un angle arbitraire est impossible signifie qu’il existe au moins un angle qu’il est impossible de trissecter par une construction à la règle et au compas. Il est certes possible de trissecter un angle dans des cas particuliers. Nous pouvons construire un angle de \(30^\circ\) ; donc il est possible de trissecter un angle de \(90^\circ\text{.}\) Cependant, nous allons montrer qu’il est impossible de construire un angle de \(20^\circ\text{.}\) Par conséquent, on ne peut pas trissecter un angle de \(60^\circ\text{.}\)
Sous-section 21.3.1 Nombres constructibles
Un nombre réel \(\alpha\) est constructible si l’on peut construire un segment de longueur \(| \alpha |\) en un nombre fini d’étapes à partir d’un segment de longueur unité en utilisant une règle et un compas.
Démonstration.
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) des nombres constructibles. Nous devons montrer que \(\alpha + \beta\text{,}\) \(\alpha - \beta\text{,}\) \(\alpha \beta\) et \(\alpha / \beta\) (\(\beta \neq 0\)) sont aussi des nombres constructibles. On peut supposer que \(\alpha\) et \(\beta\) sont tous deux positifs avec \(\alpha \gt \beta\text{.}\) Il est assez évident de construire \(\alpha + \beta\) et \(\alpha - \beta\text{.}\) Pour trouver un segment de longueur \(\alpha \beta\text{,}\) nous supposons que \(\beta \gt 1\) et construisons le triangle de la Figure 21.3.2 tel que les triangles \(\triangle ABC\) et \(\triangle ADE\) soient semblables. Puisque \(\alpha / 1 = x / \beta\text{,}\) le segment \(x\) est de longueur \(\alpha \beta\text{.}\) Une construction similaire peut être faite si \(\beta \lt 1\text{.}\) Nous laisserons en exercice la démonstration que le même triangle peut être utilisé pour construire \(\alpha / \beta\) pour \(\beta \neq 0\text{.}\)
Lemme 21.3.3.
Démonstration.
Dans la Figure 21.3.4 les triangles \(\triangle ABD\text{,}\) \(\triangle BCD\) et \(\triangle ABC\) sont semblables ; donc \(1 /x = x / \alpha\text{,}\) soit \(x^2 = \alpha\text{.}\)
Par le Théorème 21.3.1, nous pouvons localiser dans le plan tout point \(P =( p, q)\) ayant des coordonnées rationnelles \(p\) et \(q\text{.}\) Nous devons savoir quels autres points peuvent être construits à la règle et au compas à partir de points ayant des coordonnées rationnelles.
Lemme 21.3.5.
Soit \(F\) un sous-corps de \({\mathbb R}\text{.}\)
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Si une droite contient deux points dont les coordonnées sont dans \(F\text{,}\) alors elle a une équation de la forme \(a x + by + c = 0\text{,}\) où \(a\text{,}\) \(b\) et \(c\) sont dans \(F\text{.}\)
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Si un cercle a son centre en un point de coordonnées dans \(F\) et un rayon qui est aussi dans \(F\text{,}\) alors il a une équation de la forme \(x^2 + y^2 + d x + e y + f = 0\text{,}\) où \(d\text{,}\) \(e\) et \(f\) sont dans \(F\text{.}\)
Démonstration.
Soient \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) des points sur une droite dont les coordonnées sont dans \(F\text{.}\) Si \(x_1 = x_2\text{,}\) alors l’équation de la droite passant par les deux points est \(x - x_1 = 0\text{,}\) qui est de la forme \(a x + by + c = 0\text{.}\) Si \(x_1 \neq x_2\text{,}\) alors l’équation de la droite passant par les deux points est donnée par
\begin{equation*}
y - y_1 = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right) (x - x_1)\text{,}
\end{equation*}
qui peut aussi être mise sous la forme voulue.
Pour prouver la deuxième partie du lemme, supposons que \((x_1, y_1)\) est le centre d’un cercle de rayon \(r\text{.}\) Alors le cercle a pour équation
\begin{equation*}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 - r^2 = 0\text{.}
\end{equation*}
Cette équation peut facilement être mise sous la forme appropriée.
À partir d’un corps de nombres constructibles \(F\text{,}\) nous avons trois façons possibles de construire des points supplémentaires dans \({\mathbb R}\) à la règle et au compas.
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Pour trouver de nouveaux points possibles dans \({\mathbb R}\text{,}\) nous pouvons prendre l’intersection de deux droites, dont chacune passe par deux points connus de coordonnées dans \(F\text{.}\)
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L’intersection d’une droite passant par deux points de coordonnées dans \(F\) et d’un cercle dont le centre a des coordonnées dans \(F\) avec un rayon de longueur dans \(F\) donnera de nouveaux points dans \({\mathbb R}\text{.}\)
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On peut obtenir de nouveaux points dans \({\mathbb R}\) en intersectant deux cercles dont les centres ont des coordonnées dans \(F\) et dont les rayons sont de longueurs dans \(F\text{.}\)
Le premier cas ne donne aucun nouveau point dans \({\mathbb R}\text{,}\) puisque la solution de deux équations de la forme \(a x + by + c = 0\) à coefficients dans \(F\) sera toujours dans \(F\text{.}\) Le troisième cas peut se ramener au deuxième cas. Soit
\begin{gather*}
x^2 + y^2 + d_1 x + e_1 y + f_1 = 0\\
x^2 + y^2 + d_2 x + e_2 y + f_2 = 0
\end{gather*}
les équations de deux cercles, où \(d_i\text{,}\) \(e_i\) et \(f_i\) sont dans \(F\) pour \(i = 1, 2\text{.}\) Ces cercles ont la même intersection que le cercle
\begin{equation*}
x^2 + y^2 + d_1 x +e_1 x + f_1 = 0
\end{equation*}
et la droite
\begin{equation*}
(d_1 - d_2) x + b(e_2 - e_1)y + (f_2 - f_1) = 0\text{.}
\end{equation*}
La dernière équation est celle de la corde passant par les points d’intersection des deux cercles. Donc l’intersection de deux cercles peut se ramener au cas d’une intersection d’une droite avec un cercle.
En considérant le cas de l’intersection d’une droite et d’un cercle, nous devons déterminer la nature des solutions des équations
\begin{align*}
a x + by + c & = 0\\
x^2 + y^2 + d x + e y + f & = 0\text{.}
\end{align*}
Si nous éliminons \(y\) de ces équations, nous obtenons une équation de la forme \(Ax^2 + B x + C = 0\text{,}\) où \(A\text{,}\) \(B\) et \(C\) sont dans \(F\text{.}\) La coordonnée \(x\) des points d’intersection est donnée par
\begin{equation*}
x = \frac{- B \pm \sqrt{B^2 - 4 A C} }{2 A}
\end{equation*}
et est dans \(F( \sqrt{\alpha}\, )\text{,}\) où \(\alpha = B^2 - 4 A C \gt 0\text{.}\) Nous avons prouvé le lemme suivant.
Lemme 21.3.6.
Soit \(F\) un corps de nombres constructibles. Alors les points déterminés par les intersections de droites et de cercles dans \(F\) se trouvent dans le corps \(F( \sqrt{\alpha}\, )\) pour un certain \(\alpha\) dans \(F\text{.}\)
Théorème 21.3.7.
Un nombre réel \(\alpha\) est un nombre constructible si et seulement s’il existe une suite de corps
\begin{equation*}
{\mathbb Q} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_k
\end{equation*}
tels que \(F_i = F_{i-1}( \sqrt{ \alpha_i}\, )\) avec \(\alpha_i \in F_{i-1}\) et \(\alpha \in F_k\text{.}\) En particulier, il existe un entier \(k \gt 0\) tel que \([{\mathbb Q}(\alpha) : {\mathbb Q} ] = 2^k\text{.}\)
Démonstration.
L’existence des \(F_i\) et des \(\alpha_i\) est une conséquence directe du Lemme 21.3.6 et du fait que
\begin{equation*}
[F_k: {\mathbb Q}] = [F_k : F_{k - 1}][F_{k - 1} : F_{k - 2}] \cdots [F_1: {\mathbb Q} ] = 2^k\text{.}
\end{equation*}
Corollaire 21.3.8.
Le corps de tous les nombres constructibles est une extension algébrique de \({\mathbb Q}\text{.}\)
Comme nous pouvons le voir avec le corps des nombres constructibles, toute extension algébrique d’un corps n’est pas nécessairement une extension finie.
Sous-section 21.3.2 Duplication du cube et quadrature du cercle
Nous sommes maintenant prêts à étudier les problèmes classiques de la duplication du cube et de la quadrature du cercle. Nous pouvons utiliser le corps des nombres constructibles pour montrer exactement quand une construction géométrique particulière peut être effectuée.
La duplication du cube est impossible.
Étant donné l’arête du cube, il est impossible de construire à la règle et au compas l’arête du cube qui a deux fois le volume du cube original. Soit le cube original d’arête de longueur \(1\) et, donc, de volume \(1\text{.}\) Si nous pouvions construire un cube de volume \(2\text{,}\) alors ce nouveau cube aurait une arête de longueur \(\sqrt[3]{2}\text{.}\) Or \(\sqrt[3]{2}\) est un zéro du polynôme irréductible \(x^3 -2\) sur \({\mathbb Q}\) ; donc
\begin{equation*}
[{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}\, ) : {\mathbb Q}] = 3\text{.}
\end{equation*}
Ceci est impossible, puisque \(3\) n’est pas une puissance de \(2\text{.}\)
La quadrature du cercle.
Supposons que nous ayons un cercle de rayon \(1\text{.}\) L’aire du cercle est \(\pi\) ; donc nous devons pouvoir construire un carré de côté \(\sqrt{\pi}\text{.}\) Ceci est impossible puisque \(\pi\) et par conséquent \(\sqrt{\pi}\) sont tous deux transcendants. Donc, à la règle et au compas, il n’est pas possible de construire un carré de même aire que le cercle.
Sous-section 21.3.3 Trissection d’un angle
La trissection d’un angle arbitraire est impossible. Nous allons montrer qu’il est impossible de construire un angle de \(20^\circ\text{.}\) Par conséquent, un angle de \(60^{\circ}\) ne peut pas être trisecté. Nous devons d’abord calculer la formule trigonométrique du cosinus de l’angle triple :
\begin{align*}
\cos 3 \theta & = \cos( 2 \theta + \theta )\\
& = \cos 2 \theta \cos \theta - \sin 2 \theta \sin \theta\\
& = ( 2 \cos^2 \theta - 1) \cos \theta - 2 \sin^2 \theta \cos \theta\\
& = ( 2 \cos^2 \theta - 1) \cos \theta - 2 (1- \cos^2 \theta) \cos \theta\\
& = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta\text{.}
\end{align*}
L’angle \(\theta\) peut être construit si et seulement si \(\alpha = \cos \theta\) est constructible. Soit \(\theta = 20^{\circ}\text{.}\) Alors \(\cos 3 \theta = \cos 60^\circ = 1/2\text{.}\) Par la formule du cosinus de l’angle triple,
\begin{equation*}
4 \alpha^3 - 3 \alpha = \frac{1}{2}\text{.}
\end{equation*}
Donc \(\alpha\) est un zéro de \(8 x^3 - 6 x -1\text{.}\) Ce polynôme n’a pas de facteurs dans \({\mathbb Z}[x]\text{,}\) et est donc irréductible sur \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Ainsi \([{\mathbb Q}( \alpha ) : {\mathbb Q }] = 3\text{.}\) Par conséquent, \(\alpha\) ne peut pas être un nombre constructible.
Sous-section 21.3.4 Note historique
La théorie algébrique des nombres utilise les outils de l’algèbre pour résoudre des problèmes en théorie des nombres. La théorie algébrique des nombres moderne a commencé avec Pierre de Fermat (1601–1665). Certes, nous pouvons trouver beaucoup d’entiers positifs qui satisfont l’équation \(x^2 + y^2 = z^2\) ; Fermat conjectura que l’équation \(x^n + y^n = z^n\) n’a pas de solution en entiers positifs pour \(n \geq 3\text{.}\) Il affirma dans la marge de son exemplaire de la traduction latine de l’Arithmetica de Diophante qu’il avait trouvé une démonstration merveilleuse de ce théorème, mais que la marge du livre était trop étroite pour la contenir. S’appuyant sur les travaux d’autres mathématiciens, c’est Andrew Wiles qui réussit finalement à prouver le dernier théorème de Fermat dans les années 1990. La réalisation de Wiles fut rapportée en première page du New York Times.
Les tentatives de prouver le dernier théorème de Fermat ont conduit à d’importantes contributions à la théorie algébrique des nombres par des mathématiciens éminents tels que Leonhard Euler (1707–1783). Des avancées significatives dans la compréhension du dernier théorème de Fermat furent réalisées par Ernst Kummer (1810–1893). L’étudiant de Kummer, Leopold Kronecker (1823–1891), devint l’un des principaux algébristes du dix-neuvième siècle. La théorie des idéaux de Kronecker et son étude de la théorie algébrique des nombres contribuèrent beaucoup à la compréhension des corps.
David Hilbert (1862–1943) et Hermann Minkowski (1864–1909) figuraient parmi les mathématiciens qui ouvrirent la voie dans ce domaine au début du vingtième siècle. Hilbert et Minkowski étaient tous deux mathématiciens à l’Université de Göttingen en Allemagne. Göttingen fut vraiment l’un des centres de recherche mathématique les plus importants au cours des deux derniers siècles. Le grand nombre de mathématiciens exceptionnels qui y étudièrent comprend Gauss, Dirichlet, Riemann, Dedekind, Noether et Weyl.
André Weil répondit à des questions de théorie des nombres en utilisant la géométrie algébrique, un domaine des mathématiques qui étudie la géométrie par l’étude des anneaux commutatifs. D’environ 1955 à 1970, Alexander Grothendieck domina le domaine de la géométrie algébrique. Pierre Deligne, un étudiant de Grothendieck, résolut plusieurs des conjectures de Weil en théorie des nombres. L’une des contributions les plus récentes à l’algèbre et à la théorie des nombres est la preuve par Gerd Faltings de la conjecture de Mordell. Cette conjecture de Mordell, maintenant connue sous le nom de théorème de Faltings, affirme essentiellement que certains polynômes \(p(x, y)\) dans \({\mathbb Z}[x,y]\) n’ont qu’un nombre fini de solutions entières.
